Esempio 1 In una circonferenza sono date due corde AB e CD, che si incontrano in P.

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1 TEOREMI DELLE CORDE, DELLE SECANTI E DELLA TANGENTE Esempio 1 In una circonferenza sono date due corde AB e CD, che si incontrano in P. Sapendo che PA 6 cm, PB cm, PC cm, determina la lunghezza di PD. PA PB PC PD 6 PD PD 3 cm. Esempio Da un punto P esterno ad una circonferenza sono condotte le due rette secanti (come in figura). Sapendo che AB 6 cm, PB 10 cm, PD 8 cm, determina la lunghezza di CD. PA AB + PB (6 + 10) cm 16 cm. Poniamo CD x, con x ε R. PC PD + CD (8 + x) cm. Applicando il T. delle Secanti si ha: PA PB PC PD ; (8 + x) 8 ; x ; 8x 96 ; x 1 ; CD 1 cm. x Esempio 3 Da un punto P esterno ad una circonferenza sono condotte una retta tangente in T alla circonferenza e una retta secante (come in figura). Sapendo che AB 16 cm, PB 9 cm, determina la lunghezza di PT. PA AB + PB (16 + 9) cm 5 cm. Applicando il T. della secante e della tangente si ha: PT PA PB ; PT 5 9 ; PT 5 ; PT 15 cm. x Matematica 1

2 Problema È data una circonferenza di centro O e diametro AB. Sul prolungamento di AB, dalla parte di A, considera un punto C tale che CA a. Da un punto C traccia una secante che incontra la circonferenza in D e in E (CD < CE). Sapendo che CD a e DE a, determina: a. la misura del raggio della circonferenza; b. l area del triangolo DOE; c. l area del triangolo ACD. a Applicando il T. delle Secanti si ha: CA CB CD CE a CB a a r AO CB CA 8a a 7 a. b Tracciamo l altezza OH del triangolo DOE. CB 8a. Essendo il triangolo DOE isoscele sulla base DE si ha: HE DE a. Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo OHE si ha: OH OE HE a a a a a 5 a. Pertanto l area del triangolo DOE è: S DE OH a 3 5 a 3 5 a. c Tracciamo l altezza AK del triangolo ACD. I triangoli ACK e OCH sono simili per il 1 Criterio di Similitudine dei Triangoli. Infatti: L angolo C è in comune. Gli angoli AKC OHC perché entrambi angoli retti. Pertanto i due triangoli hanno i lati corrispondenti proporzionali. AK OH CA CO ; 3 AK 5 a a 9 a 5 3 a Pertanto l area del triangolo ACD è: S CD AK 5 a 3 a 5 3 a. AK 3 5 a a 9 a Matematica

3 Problema 87.3 In una circonferenza di centro O, è data una corda AB, la quale passa per il punto medio P di una corda CD. Sapendo che PA 16a e PB a, determina la misura di CD. Poniamo PC PD x, con x R. PA PB PC PD 16a a x x x 6a x 8a. Pertanto CD PC + PD 16a. Problema In una circonferenza di centro O e raggio di lunghezza 1 cm, sono date due corde AB e CD, che si incontrano in P. Sapendo che AP 8 cm, PB 1 cm, PD 6 cm, determina le lunghezze di PC e di PO. PA PB PC PD 8 1 PC 6 PC 16 cm. Congiungiamo il centro O della circonferenza con i punti A e B. AB AP + AB (8 + 1) cm 0 cm. Tracciamo l altezza OH del triangolo isoscele ABO. Essendo ABO un triangolo isoscele sulla base AB si ha: AH AB 10 cm. Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo AHO si ha: OH AO AH (1 cm) (10 cm) cm 11 cm. Il segmentino PH misura: PH AH AP (10 8) cm cm. Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo PHO si ha: PO OH PH 11 cm + ( cm) cm + cm 8 cm 3 cm. Matematica 3

4 Problema 87.3 In una circonferenza di centro O, una corda AB misura a. Sia P il punto della corda AB tale che AP AB. Sapendo che OP AB, determina la misura del raggio della circonferenza. AP 1 AB 1 a 1 a. OP 3 AB 3 a 3 a. AH 1 AB 1 a a. PH AH AP 1 a. Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo PHO si ha: OH OP PH 3 a 1 a 9 a 1 a 8 a a. Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo AHO si ha: AO AH + OH a + a a + a 3a 3 a. Problema È data una circonferenza di centro O e raggio r. Un punto P, esterno alla circonferenza, ha distanza da O uguale a 3r. Da P viene condotta una secante, che incontra la circonferenza in A e in B (PA > PB). Sapendo che AB, determina la misura di PA. PD PO DO 3r r r PC PO CO 3r + r r Poniamo PB x con x ε R PA PB + AB x + r 3 Applicando il T. delle Secanti si ha: PA PB PC PD ; x + r 3 x r r ; x + r 3 x 8r 0 ; 3x + rx r 0 ; x, r 89r 3 r 17 r 6 Δ r + 88r 89r x x Pertanto PA PB + AB r + 3r r 17 r 6 r + 17 r 6 3r Non accettabile 8 3 r Matematica

5 Problema In una una circonferenza sono date due corde AB e CD, che si intersecano in P. Sapendo che AB a, CP a e PD a, determina le misure dei due segmenti in cui P divide AB. Poniamo PB x con x ε R PA AB PB 13 a x PA PB PC PD 13 a x x 1 a 9 a 13 ax x 9 a 0 13ax x 9a 0 x 13ax + 9a 0 Δ 169a 1a 5a x, 13a 5a 13a 5a 8 x x 13a 5a 8 13a 5a 8 a 9 a Pertanto PB a e PA AB PB Oppure Pertanto PB a e PA AB PB a a a Problema È data una circonferenza di diametro AB e raggio r. Una corda CD è parallela ad AB (AC < AD), una corda EF, perpendicolare ad AB, incontra CD in G. La distanza della corda EF da O è r. Quale deve essere la distanza della corda CD da O, affinchè risulti GC GD r. Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo EHO si ha: EH EO OH r 3 5 r r 5 r Poniamo GH x con x ε R. Si ottiene: GE r x e GF r + x GE GF GC GD x 16 5 r 3 5 r x Pertanto GH. 5 r x 5 r + x 5 r r 5 x r r x 3 5 r x r 5. Matematica 5

6 Problema Una corda AB di una circonferenza misura a e una corda CD della stessa circonferenza, distinta dalla corda AB, passa per il punto medio M di AB. Sapendo che DM + 3 CM a, determina la misura di CD. Indichiamo: DM x e CM y con x, y ε R. La relazione si traduce in: x + 3y a. DM CM AM BM x y 1 a 1 a xy 1 a. Risoviamo il sistema formato da queste due equazioni in x e y. x + 3y a xy 1 x a 3y a (a 3y)y 1 a 8ay 1y a 0 1y 8ay + a 0 Δ 16a 1a a ay 3y 1 a 0 y, a a 1 a a 1 y y a a 1 a + a 1 a 1 a 6 6a 1 a x a 3 a 6 3 a y a 6 x a 3 a 1 a y a Non Accettabile Pertanto si ottiene: CD DM + CM 3 a + a La soluzione DM CM 6 a 10 6 a 5 3 a. non è accettabile perché risulterebbe non distinta dalla corda AB. Matematica 6

7 Problema In una circonferenza di centro O e raggio r, considera una corda AB, di lunghezza uguale al lato di un quadrato inscritto nella circonferenza. Una corda CD, passante per il punto medio M di AB, è tale che MD CM. Determina la distanza della corda CD dal centro della circonferenza. Il lato di un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio r è l r. Pertanto AB r e MA MB r Indichiamo: MC x con x ε R. Si ottiene: MD x. MA MB MC MD x r x r. r r x x 1 r x Pertanto MC r e MD r CD MC + MD 1 r + r 3 r. HD 1 CD 1 3 r 3 r. La distanza della corda CD dal centro della circonferenza è: OH OD HD r 3 r r 7 16 r 7 r. Matematica 7

8 Problema 87.0 Sia ABC un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio r. Considera un punto P, sul prolungamento di AB dalla parte di B, e traccia una semiretta di origine P tangente alla circonferenza, indicando con T il punto di contatto. Determina la distanza di P da B, in modo che la lunghezza del sgmento PT sia uguale a quella del lato di un quadrato inscritto nella circonferenza. Il lato di un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio r è l r. Il lato di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio r è l 3 r. Indichiamo: PB x con x ε R. Si ottiene: PA 3 r + x. Applicando il T. della tangente si ha: PA PB PT 3 r + x x r x + 3r x r 0 Δ 3r + 8r 11 r x, 3r 11 r 1 x x 3 r 11 r 3 r + 11 r 3 11 r Non accettabile r Accettabile Matematica 8

9 Problema 87.1 È data una circonferenza di diametro AB, centro O e raggio r. Sia CD la corda, perpendicolare ad AB, passante per il punto medio M di AO, ed EF la corda, perpendicolare a CD, passante per il punto medio N di CM. Determina le misure dei due segmenti in cui EF resta divisa da N. MO 1 AO 1 r. Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo CMO si ha: CM CO MO r r 3 r 3 r. DM CM 3 r CN 1 CM 1 3 DN DM + MN r + r r 3 3 r. Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo EKO si ha: EK EO KO r 3 r r 3 16 r r r. EF EK r r Poniamo EN x, x R FN r x Applicando il T. delle secanti si ha: CN DN EN FN 9 16 r 3 r 3 3 r x r x r x r 0 r x x x Δ 13 9 r 16 r 13 r 9 r r r x, Pertanto r r 1 x r r x r + r EN r e FN Oppure EN + r e FN r r r + r r x r x 3 r r MN CN 3 r. r + r r r + r r + r + r r r. Matematica 9

10 Problema In una circonferenza di centro O inscrivi un triangolo isoscele avente la base di 16 cm e i lati obliqui di 0 cm ciascuno. Calcola la misura del raggio. 1 BH AB 8 cm Applicando il T. di Pitagora al triangolo BCH si ha: CH BC BH 0 8 cm Applicando il I T. di Euclide al triangolo BCD si ha: BC CH CD ; 0 1 CD ; CD Pertanto il raggio misura: r CD 50 1 cm cm 1 cm Applicando il T. delle corde si ha: CH DH AH BH ; DH cm cm Pertanto: r CH + DH cm cm DH 8 8 ; cm cm cm 1 cm. 1 Matematica 10

11 Problema Due corde AB e CD di una circonferenza di raggio 10 cm si intersecano in un punto P interno a essa. Sapendo che AB 7 cm e le parti un cui è divisa CD sono lunghe 6 cm e cm, determina le lunghezze delle parti in cui è divisa la corda AB. Ponendo PA x PB 7 x Applicando il teorema delle corde si ha: PC PD PA PB: 6 (7 x) x ; 7x x 1 ; x 7x ; x 3 x Pertanto AP 3 cm e BP cm. Problema Da un punto P esterno a una circonferenza e distante 0 cm dal centro O di essa, conduci una tangente lunga 1 cm. Determina la lunghezza del raggio. 1 Applicando il T. di Pitagora al triangolo BPO si ha: r BO OP BP 0 1 cm 00 1 cm 56 cm 16 cm. Ponendo OC x PC 0 x e Applicando il T. della Tangente si ha: PC PD PT PD 0 + x (0 + x) (0 x) 1 ; 00 x 1 ; x 56 ; x Scartando la soluzione negativa, si ha: r OC 16 cm. Matematica 11