Esercitazioni del corso di Relazioni tra variabili. Giancarlo Manzi Facoltà di Sociologia Università degli Studi di Milano-Bicocca

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1 Eserctazon del corso d Relazon tra varabl Gancarlo Manz Facoltà d Socologa Unverstà degl Stud d Mlano-Bcocca e-mal: gancarlo.manz@statstca.unmb.t Terza eserctazone Mlano, 8 febbrao 7

2 SOMMARIO TERZA ESERCITAZIONE Mede condzonate Indpendenza n meda Indce η Momento msto Covaranza Correlazone

3 (In)dpendenza n meda RICHIAMI Scema: VARIABILE CONDIZIONANTE AD ESEMPIO VARIABILE CONDIZIONATA AD ESEMPIO S msura attraverso le mede e le varanze condzonate. Almeno uno delle due varabl (quella ce rceve l condzonamento) deve essere quanttatvo. La dpendenza n meda s basa sulla varabltà delle mede condzonate. è ndpendente n meda da se tutte le mede condzonate sono ugual fra loro e ugual alla meda margnale: y x y....

4 Se c è ndpendenza statstca, allora esste ance ndpendenza n meda. Msure della dpendenza n meda Eta quadro. È un ndce ce msura la dpendenza n meda e vale se esste perfetta dpendenza n meda, mentre vale n caso d perfetta ndpendenza n meda. È mportante, per la determnazone dell eta quadro tenere presente la varanza TRA grupp ce msura la varabltà delle mede condzonate della varable statstca (fenomeno condzonato) al varare delle modaltà (grupp) della varable statstca. L eta quadro vale: ( y x - y ) f. ( y x - y ) f. N ( y - y ) f. ( y - y ) f. η N FRA. S vede subto ce esso vale quando c è ndpendenza n meda, coè quando le mede

5 condzonate sono tutte ugual tra loro e par alla meda margnale (supponamo tutte par a y ): ( y - y ) f. ( ) y - y f. η Esso vale nvece quando cascuna meda condzonata è par ad una ed una sola modaltà (quanttatva) della varable. In questo caso s verfcerà la seguente uguaglanza: η ( y y ) - f. - f ( y y ).. Dat due fenomen e entramb quanttatv, una msura della varabltà congunta è costtuta dalla covaranza: ( x x )( y y ) f N Defnzone d momento msto:

6 µ N x y f Formula alternatva per la covaranza: µ x y Correlazone: relazone statstca d tpo lneare fra due varabl quanttatve e. Se >, allora e sono postvamente correlat: al crescere dell uno cresce (lnearmente) ance l altro. Se <, allora e sono negatvamente correlat: al crescere dell uno, l altro decresce (lnearmente). Se, allora e sono ncorrelat: non esste alcuna relazone (.s.) oppure esste una relazone d tpo dverso da quella lneare. La pù utlzzata msura normalzzata della correlazone fra e è detta coeffcente d correlazone lneare d Pearson: ρ

7 ρ assume valor compres fra - e. Infatt è possble dmostrare ce. ρ quando e sono perfettamente e negatvamente correlat: punt sul dagramma a dspersone sono perfettamente allneat lungo una retta con pendenza negatva (decrescente). ρ quando e sono perfettamente e negatvamente correlat: punt sul dagramma a dspersone sono perfettamente allneat lungo una retta con pendenza postva (crescente). ρ quando e sono ncorrelat. I valor ntermed sono nterpretabl come % d correlazone (postva o negatva). RIEPILOGO DELLE RELAZIONI E IMPLICAZIONI Assenza d relazon: Indpendenza statstca: assenza d qualunque relazone fra e, χ Indpendenza n meda d da (d da ): assenza d condzonamento d su (d su ), η ( η )

8 Incorrelazone: assenza d relazone lneare fra e, ρ I.s..m d da e d da ncorrelazone χ η η ρ Dmostrazone: f. f. f I.s. f N f. f f e N f... f N le mede condzonate concdono tutte con la meda margnale y x y,..., e x y x,..., I.s. µ N x y f N x f. y f. x y N N µ x y x y x y ρ ρ / η / η / χ x y f. f N.

9 ESERCIZIO MEDIE CONDIZIONATE (contnuazone dell eserctazone precedente) Da uno studo pubblcato d recente sulla rvsta Annals of Human Bology e rpreso dal quotdano La Repubblca n un artcolo del febbrao 7, rsulta ce la statura meda n centmetr de masc adult rpartt secondo alcune nazonaltà rsulta quella rportata nella seguente tabella, nella quale, nell ultma rga sono rportate gl abtant masc delle rspettve nazon (n mlon senza cfre decmal): Italan Frances Statuntens Tedesc Danes Norveges Olandes 74, , 79, 8, 84, * * Dato del 999 Calcolare la statura meda complessva, supponendo ce: ) la numerostà del collettvo d ndvdu su cu s è effettuato lo studo sa par a 7 e ce sa par a per cascuna nazonaltà; ) la numerostà del collettvo d ndvdu sa approssmatvamente proporzonale alla popolazone complessva de sette paes e, d conseguenza, la numerostà degl ndvdu d cascuna nazonaltà sa proporzonale alla

10 Soluzone rspettva numerostà della popolazone nazonale. ) S ndc con l carattere Nazonaltà e con l carattere Statura. S anno dunque le seguent mede condzonate: x ( talan) 74,58 x ( frances) 75 x ( statuntens) 79 x ( tedesc) 79, x ( danes) 79, x ( norveges) 8, x ( olandes) 84,3 S deve utlzzare la propretà d assocatvtà della meda artmetca. S abbano a dsposzone le mede condzonate x y xf. Pocé la meda totale è data da: f.

11 x N f. f. ( x y ) f. f. x f x f. x f Nel caso n studo s a: ) 7 nazonaltà, dunque 7. ) f.,, 7. 3) x y,, 7, sono le sette stature mede d cascuno de sette paes consderat. Percò: x [( 74,58 ) ( 75 ) 7 ( 79 ) ( 79, ) ( 79, ) ( 8, ) ( 84,3 ) ] 78, 76 3) S possono utlzzare dat contenut nell ultma rga della tabella (l collettvo oggetto d studo sarà costtuto da un abtante masco ogn mlone d abtant masco). Percò: x [( 74,58 9) ( 75 3) , 4 79, 3 ( ) ( ) ( ) ( 8, ) ( 84,3 8 )] 78, 7

12 ESERCIZIO DIPENDENZA IN MEDIA Una socetà telefonca a commssonato un ndagne sull uso del servzo SMS de telefon cellular n dverse fasce d età. Ne è rsultata la seguente dstrbuzone doppa del numero d messagg SMS nvat nel mese d rfermento e dell età degl ntervstat: Età n ann Numero d SMS nvat al mese comput Fno a ) Presentare la dstrbuzone d frequenze relatve del numero d SMS nvat per la classe d età 5-5 e per quella dell età relatva alla classe 5- SMS nvat; ) Calcolare l numero medo e la devazone standard degl SMS nvat al mese;

13 3) Stablre l grado d dpendenza n meda del numero d SMS nvat al mese dall età con un ndce opportuno. Soluzone ) La tabella a doppa entrata, con punt med degl ntervall delle modaltà rsulta la seguente: , , Da questa s rcavano le due dstrbuzon condzonate rceste: y f p 5,5 3 6,3 75 3,65 x f p,5 6,38

14 3,5 35 7,69 67,5 6 ) Bsogna utlzzare la dstrbuzone margnale della : y f p 5 7,45 3 5, ,38 68 Allora: ( 5 7) ( 3 5) ( 75 6) y y y f y N 68 ( ) , ,394 8,47 3) Le mede condzonate sono date da: y (,5) 38,6 677, , ,394

15 y ( ) 58 y ( 35) 4 y ( 67,5) La varanza TRA è data da: FRA ( y x - y ) f. 8, 9 N E qund l eta quadro da: ( y x - y ) f. ( y x - y ) f. N η ( ). ( ) y - y f y - y f. N FRA 8,9,8 8,474 ESERCIZIO 3 CASO DI PIENA INDIPENDENZA IN MEDIA 38 student sono stat classfcat n base a due caratterstce: l sesso ed rsultat n un esame d statstca. I rsultat sono stat seguent: * M F *Compreso 3 e lode

16 ) S costruscano le dstrbuzon delle frequenze relatve condzonate della alla e la dstrbuzone margnale della. ) S rappresentno grafcamente su tre grafc dvers le tre dstrbuzon trovate al punto. 3) S calcol l eta quadro. Soluzone ) * M,3,6,35,7,9 F,3,6,35,7,9,3,6,35,7,9 ) Frequenza,4,35,3,5,,5,,5, Vot all'esame d statstca de masc ESERCIZIO * Voto Vot all'esame d statstca delle femmne Frequenza,4,35,3,5,,5,,5

17 Vot all'esame d statstca n totale Frequenza * Voto 3) Mede condzonate:

18 y ( M) ( 9 ) ( 9,5 4) (,5 3) ( 5,5 6) ( 8,5 8) y ( F ) ( 9 6) ( 9 5, ) ( 5, 6) ( 5 5, 8) ( 8 5, 4) y Meda margnale: ( 9 8) ( 9 5, 36) ( 5, 48) ( 5 5, 4) ( 8 5, ) Qund: η ( y x y ) - ( y y ) - f. f. ( ) 9 ( - ) ( y y ) - f. 46

19 ESERCIZIO 4 CASO DI PIENA DIPENDENZA IN MEDIA Gl stess 38 student sono stat classfcat n base alle seguent caratterstce: l tpo d dploma (rpartto n tre sole modaltà: classco, scentfco e tecnco) ed rsultat n un esame d socologa generale. I rsultat sono stat seguent: * Classco Scentfco 4 4 Tecnco S calcol l eta quadro. Soluzone Le mede condzonate e la meda margnale della varable statstca sono: y ( y ( y ( Classco) Scentfco) Tecnco) (,5 48) 48 ( 5,5 4) ( 9,5 48) ,5 ( 9,5 48) (,5 48) ( 5,5 4) y ,36,5 5,5

20 La varanza totale è data da: ( y y) N f. ( 9,5,36) 48 (,5,36) 48 ( 5,5,36) 38 8,796 48, , ,6,94 44, 87,66 5, La varanza FRA è data da 4 ( 9,5 -,36) 48 (,5 -,36) 48 ( 5,5 -,36) FRA 38 8,796 48, , ,6,94 44, 87,66 5, e qund l eta quadro è par a. 4 ESERCIZIO 5 INDIPENDENZA STATISTICA INDIPENDENZA IN MEDIA; INDIPENDENZA IN MEDIA INDIPENDENZA STATISTICA Sono state classfcat appartament n resdence per le vacanze nvernal nel 5/6 per lungezza n gorn del perodo d afftto (varable statstca ) e per numero d stanze (varable statstca ):

21 ) Valutare se esste ndpendenza statstca. ) Verfcare se esste ance ndpendenza n meda. Consderamo po l caso d 66 lavorator atpc classfcat per sesso () e numero d contratt dverso dal tempo ndetermnato (): 3 Femmne Masc ) Valutare se esste ndpendenza n meda d da. 4) Verfcare se esste ndpendenza statstca. Soluzone ) Calcolamo le frequenze teorce:

22 ()/4 (6)/ ()/4 (3)/6 (63)/8 (3)/6 3 3 (3)/6 (63)/8 (3)/6 3 4 ()/4 (6)/ ()/4 6 Essendo le frequenze teorce tutte ugual alle frequenze rlevate, l c quadro è par a e qund esste ndpendenza statstca. a) Calcolamo le mede condzonate della date le modaltà della : ( 5 4) ( 5 ) ( 5 4) 3 y ( ) 5 ; ( 5 6) ( 5 8) ( 5 6) 45 y ( ) ( 5 6) ( 5 8) ( 5 6) 45 y ( 3 ) ( 5 4) ( 5 ) ( 5 4) 3 y ( 4 ) 5 Le mede condzonate sono tutte ugual e par alla meda margnale: ( 5 ) ( 5 6) ( 5 ) 5 y 5. Dunque esste ndpendenza n meda della dalla..

23 b) Calcolamo le mede condzonate della date le modaltà della : x ( , ) x ( ) 5 5, x ( 5, 3) ( 4) ( 6) ( 3 6) ( 4 4) ( ) ( 8) ( 3 8) ( 4 ) 6 ( 4) ( 6) ( 3 6) ( 4 4) Ance n questo caso le mede condzonate sono tutte ugual e par alla meda margnale: ( ) ( 3) ( 3 3) ( 4 ) 5 x 5, Vene dunque confermato ce l ndpendenza statstca mplca l ndpendenza n meda. 3) Esste ndpendenza n meda n quanto:.

24 y ( fem mn a ) ( ) ( 6) ( 4) ( 3 ) 58 y ( masco ) y ( ) ( ) ( 4) ( 3 ) ( ) ( ) ( 44) ( 3 ) ) Non esste ndpendenza statstca percè la tabella delle frequenze teorce è data da: 3 Femmne (58)/66,76 (588)/667,3 (4458)/6638,67 (58)/66,55 58 Masc 6/66,4 64/66,97 (448)/665,33 96/66, ESERCIZIO 6 CASO INTERMEDIO DI DIPENDENZA IN MEDIA La sequente tabella llustra le opere lbrare scolastce pubblcate n Itala nel classfcate per class d prezzo n euro () e class d numero d pagne () (dat ISTAT):

25 Grats () Stablre se esste dpendenza n meda del prezzo dal numero delle pagne. Soluzone Per rspondere al questo senza calcolare drettamente l eta quadro, basta verfcare ce le mede condzonate x y sano dverse tra loro ed ugual alla meda margnale x. Pocé s a: ( 5) 63, ; ( 5 ) 4 6, ( ) 8 6, ( 3) 66, x x x x x 7,76 s conclude ce esste dpendenza n meda.

26 ESERCIZIO 7 CALCOLO DELL ETA QUADRO.4 famgle ngles sono state classfcate per numero d component () e spesa mensle per ben almentar (, n centnaa d sterlne): Calcolare la dpendenza n meda della spesa mensle dal numero d component e commentare l rsultato. Soluzone Dopo aver ndvduato valor central delle class d spesa s calcolano le mede condzonate e quella margnale della : ( ) 35, ( ) 3 634, ( 3 ) 4 73, ( 4 ) 5, x x x x x 3,94

27 S rcava dunque: η ( x y x ) - f , ,. FRA ( x x ) f , S a dunque una dscreta dpendenza n meda (5% crca d dpendenza perfetta). ESERCIZIO 8 DIAGRAMMI A DISPERSIONE (SCATTER PLOTS) E CORRELAZIONE In uno studo sull acquszone della lngua nglese come seconda lngua è stato fatto un test d traduzone dall talano all nglese d un testo d. parole. ndvdu anno preso parte al test. In partcolare rcercator erano nteressat agl error d accordo tra le forme del presente del verbo e l soggetto grammatcale (esemp d errore: He now, Tey nows, People nows, ecc.). Sono stat regstrat, per cascun partecpante al test: ) Gl ann d studo dell nglese nelle scuole pubblce.

28 ) Il numero d cors d nglese frequentat n sttuzon prvate. 3) Il numero d error del tpo sopra descrtto fatt nel test. I rsultat sono rportat nelle seguent due tabelle a doppa entrata: Ann d studo dell nglese () e numero d error () Totale Totale Frequenza d cors d nglese () e numero d error () Totale Totale

29 ) Rappresentare grafcamente le due tabelle a doppa entrata e confrontare grafc. ) Sulla base d quest dat, qual concluson s possono rcavare sull utltà de cors prvat d nglese? Soluzone a) Per la prma tabella s ottene l seguente dagramma a bolle, nel quale dametr delle bolle sono proporzonal alle frequenze. Error n nglese e lvello d studo 4 6 Error Ann d studo della lngua nglese Per la seconda tabella s ottene l seguente dagramma (sempre a bolle ):

30 Error n nglese e lvello d studo 4 6 Error Numero d cors d'nglese frequentat b) Attraverso le mede condzonate, s ottengono seguent grafc: Error n nglese e lvello d studo 5 Error Ann d studo della lngua nglese

31 Error n nglese e lvello d studo 5 Error Numero d cors d'nglese frequentat ) C aspettamo una correlazone nversa per tutte e due le sere d dat, ma, ad occo, dovrebbe essere maggore la correlazone nversa tra error e numero d ann d studo dell nglese, puttosto ce tra error e numero d cors d nglese frequentat. Vedamo se è così. Calcolo del coeffcente d correlazone nella prma tabella: Dopo aver trovato punt med degl ntervall delle modaltà delle varabl e, calcolamo l momento msto:

32 74,59 857,5 4) ,5 65 3,5 (337,5 ) , , ,5 35 5,5 5 5 (,5 f y x N µ Calcolamo po le mede e le varanze margnal margnal e qund la covaranza: 5,63 4) ,5 5 (,5 x 6, ) (5 y ( ) 4,6 3,794 64,6 3, ,5 5,5. x f x N

33 N 375 y f. y ( ) 7,75 66,976 7,75 µ x y 8,57 74,59 5,63 6,4545 Qund l coeffcente d correlazone lneare è dato da: 8,57 ρ.46 4,6 66,976 Per la seconda tabella s a, per l momento msto: µ xy f ( N ) ( ) 63 5,773 Calcolamo po le mede e le varanze margnal margnal e qund la covaranza:

34 x ( 7,48 y -,34 5 ( x f. x N N 74,34 3 3) 5 46) 6,4545 ( ) y f y 66,976. µ x y -,55 5,773,443,48 6,4545 Qund l coeffcente d correlazone lneare è dato da: -,55 ρ,,443 66,976 ) Evdentemente convene studare pù ann n cors regolar scolastc puttosto ce effettuare pù cors d nglese per fare meno error del tpo d quell ndcate nel testo dell eserczo.

35 ESERCIZIO 9 CORRELAZIONE famgle, tutte con lo stesso numero d component, sono state classfcate secondo l numero d van della loro abtazone () e l numero d apparecc televsv possedut (). I rsultat della rlevazone sono stat seguent: l 4% delle famgle possede una abtazone d 4 van. D questo l 95% possede un televsore mentre l restante 5% ne possede due; l 3% delle famgle abta n una casa d 5 van. D questo l 9% possede due televsor mentre l restante % ne possede tre; l 3% delle famgle possede una casa d 6 van. D questo l % possede due televsor mentre l restante 9% ne possede tre. ) S costrusca la tabella a doppa entrata relatva a fenomen e. ) S calcol ed nterpret l coeffcente d correlazone lneare.

36 Soluzone ) ) x x f. N y y f. N ( ) 4. 9 ( ). 9

37 x f N. x ( ) N y f. y Momento msto: µ N x y f ( ). 5 Covaranza: x y µ.64 Coeffcente d correlazone lneare: ρ

38 Samo vcn ad una stuazone d perfetta correlazone postva. ESERCIZIO CORRELAZIONE E DIPENDENZA IN MEDIA S consder la seguente tabella a doppa entrata relatva a due fenomen e S dca, senza effettuare calcol, se è possble ce ρ. η Soluzone La tabella a doppa entrata è una tabella d massma connessone e questo mplca la perfetta dpendenza n meda d da, qund s a ce η.

39 5 5 5,5,5,5 3 3,5 Il dagramma a dspersone evdenza una relazone d tpo non lneare, come era gà rlevable da dat. Non può essere qund ρ.