Per poter dimensionare la soluzione richiesta, rappresentata sullo schizzo fornito col problema, alcune considerazioni preliminari sono necessarie:

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1 Soluzione esercizio 3 Fra i dati esposti nella descrizione del problema troviamo: - la corsa : 1mm - l errore di planarità: 5µm - la forza massima in direzione z: 400N - la rigidità in direzione z: 50N/ µm - il volume approssimativo a disposizione per la cinematica. Per poter dimensionare la soluzione richiesta, rappresentata sullo schizzo fornito col problema, alcune considerazioni preliminari sono necessarie: 1) per effettuare i movimenti xy sono utilizzati parallelogrammi ) i parallelogrammi, effettuando una traslazione circolare, introducono un errore che, a dipendenza del suo valore e dall applicazione può essere tollerato. 3) A dipendenza della disposizione geometrica questi errori si possono addizionare, compensare oppure, se l errore generato è secondo una direzione di un altro asse di movimento, può semplicemente essere preso in conto nel modello del sistema. Nella soluzione proposta, la disposizione dei due parallelogrammi è seriale, quindi l errore di linearità generato dal movimento in arco di cerchio si addiziona. Essendo però il secondo parallelogramma girato in senso opposto, il suo errore sarà di segno opposto. Questo implica che l errore di linearità del sistema sarà compreso tra zero e l errore di un solo parallelogramma. ε f α ε L α f In questo caso dunque ε 5µm dei dati del problema. Per ottenere un movimento che, per la corsa richiesta f, abbia solo 5µm di errore, con ε L ( 1 cosα), e 1) f L sinα ) Per dei piccoli angoli possiamo approssimare sin α α e α cosα 1 allora L min f ε Soluzioni esercizi - pagina 3

2 Lmin 5mm, α 0.0rd Conoscendo la corsa richiesta, utilizzando l abaco A9, che rappresenta la corsa normalizzata f n in funzione di E, L e σadm, definendo un materiale da utilizzare, possiamo individuare un area del grafico, dove la condizione sulla corsa minima è rispettata. Fra i materiali che sono correntemente utilizzati per farne delle articolazioni flessibili troviamo alcune leghe di titanio (E114GPa, σadm 400N/mm ) e diversi acciai speciali (E00GPa, σadm 600N/mm ). Ponendo ad esempio come materiale l acciaio, la corsa normalizzata vale: E f n f L σ adm Soluzioni esercizi - pagina 4

3 Consideriamo ora la rigidità totale in z del sistema e vediamo a che rigidità corrisponde a livello dei colli. Disposizione seriale: braccio braccio Disposizione parallela: parall braccio Essendo la sezione dei bracci molto più importante di quella delle articolazioni, la differenza di rigidità è tale che considerando i bracci come infinitamente rigidi, l errore commesso è trascurabile. La rigidità in trazione/compressione di un parallelogramma è composta dalle rigidità in serie delle due articolazioni di un braccio, con i due bracci in parallelo. Come rappresentato sulla figura soprastante, la rigidità risultante per ogni parallelogramma corrisponde alla rigidità di un articolazione. La rigidità totale del sistema corrisponde dunque a quella di due articolazioni in serie, quindi K/ 50N/ µm Conoscendo la rigidità in trazione-compressione di un articolazione, come anche il volume a disposizione per il sistema XY, possiamo ipotizzare una profondità b, un materiale con il suo modulo E, e determinare la rigidità in trazione-compressione normalizzata di un collo circolare, Ktrac Ktracn, con K N trac 100 µ m E b Sull abaco corrispondente si potrà individuare un area del grafico dove questa rigidità minima è garantita. Se poniamo ad esempio che b16mm e il materiale è acciaio, E00000N/mm K tracn Sull abaco possiamo identificare la zona dove la condizione definita dalla rigidità in z è sempre rispettata. Soluzioni esercizi - pagina 5

4 Non avendo alcuna indicazione che ci permetta di definire la dinamica del sistema, sebbene nei dati del problema era specificato che l obbiettivo era di migliorare le prestazioni dinamiche e di precisione, si possono fare alcune considerazioni: 1) riducendo la massa in movimento si aumenta la frequenza di risonanza della struttura ) a parità di forza dell attuatore, riducendo la massa in movimento l accelerazione massima è maggiore 3) riducendo la rigidità della struttura nel senso del movimento, a parità di forza dell attuatore si ha a disposizione più forza per accelerare (v. esercizio ). Poniamo ad esempio di voler attribuire una forza di 0.5 N allo spostamento in fine corsa. Ricerchiamo allora i valori di r e dello spessore e che ci permettono di soddisfare questa condizione verificando in seguito il valore della rigidità in z e il carico massimo. Sull abaco A8 è rappresentata la rigidità normalizzata del parallelogramma a colli circolari. Attenzione utilizzare le unità del grafico in quanto la rigidità K n è normalizzata per rapporto a l /(Eb) ma non è adimensionale. Nel nostro caso corrisponde a: (5 10 ) K n che ritroviamo sull abaco sottostante Soluzioni esercizi - pagina 6

5 3.5 mm 70µm Sulla curva possiamo scegliere una coppia di valori (r,e) che soddisfano la condizione definita. Da notare che a sinistra della curva troviamo tutte le combinazioni che hanno una rigidità in traslazione inferiore a quella ipotizzata in precedenza. Verifichiamo che in trazione-compressione il sistema sopporti un carico di 400N F tr σ adm ; b e con F tr forza che vede un articolazione. Avendo definito precedentemente b16mm, calcoliamo e min e F 00 σ b min tr 0. 0 adm mm Soluzioni esercizi - pagina 7

6 È interessante notare come sovrapponendo sullo stesso grafico le linee che delimitano le condizioni di utilizzo, è possibile mettere in evidenza l area all interno della quale la soluzione richiesta soddisfa i criteri richiesti. Soluzioni esercizi - pagina 8