Rappresentazione dell informazione. Rappresentazione dell informazione. Rappresentazione dell informazione. Codifica dei numeri
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- Luigi Cuomo
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1 Rappresentazione Informazioni: testi, numeri, immagini, suoni, etc.; Come viene rappresentata l informazione in un calcolatore? Uso di tecnologia digitale: tutto ciò che viene rappresentato con numeri o che opera manipolando numeri, presi da un insieme di valori discreti, ovvero appartenenti a uno stesso insieme ben definito e circoscritto. Rappresentazione All interno di un computer le informazioni vengono rappresentate da 2 possibili valori di tensione elettrica {V high, V low }, da un differente stato di polarizzazione magnetica (positiva, negativa, da luce e buio, etc. L'elemento alla base del funzionamento dei computer è il transistor. Questo dispositivo elettronico, in particolari condizioni di operatività, si comporta come un vero e proprio interruttore. Combinando milioni di questi elementi per implementare funzionalità specifiche e raggruppandoli all'interno di diversi dispositivi elettronici dedicati (circuiti integrati si costituiscono gli elementi base di un computer (microprocessore, memorie, ecc.. Rappresentazione Unità minima di informazione: bit (binary digit. Digit dal latino digitus (dito. Ogni informazione viene trasformata nel calcolatore in una sequenza di bit (forma BINARIA, cioè in una sequenza di 0 e Codifica dei numeri È posizionale: il peso attribuito ad ogni cifra è funzione della posizione che occupa. Esempio: numero decimale numero decimale 1235 =
2 Alfabeto e base I sistemi di numerazione posizionale sono caratterizzati da un alfabeto α ed una base b. Alfabeto (α: è l insieme delle cifre disponibili per esprimere i numeri. Ad ogni cifra corrisponde un valore compreso tra 0 e (b -1. (Ad esempio, nella numerazione decimale l alfabeto è α = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Base (b: è il numero degli elementi che compongono l alfabeto. Ad esempio, nel caso decimale, b = 10. Generica numerazione in base p α = {0, 1, 2,, p-1} b = p un numero naturale N in base p è rappresentato da una sequenza di n cifre: a n-1 a n-2 a n-3 a 0 dove a i appartiene a α e i = 0,, n-1 a n-1 è la cifra più significativa (MSB = Most Significant Bit, mentre a 0 è la meno significativa (LSB = Least Significant Bit Esempi: binario: b=2; α = {0, 1} ottale: b=8; α = {0,1,2,...7} esadecimale: AB502C b=16; α = {0,1,...,A,B,C,D,E,F} Base esadecimale Nella base esadecimale (b=16, i valori successivi al NOVE non possono essere indicati con la notazione decimale da dieci a quindici perché avrebbero tutt'altro significato. Ad esempio se scrivessimo: 10 questo rappresenterebbe il valore DIECI nella base 10 ( = 0* *10 1 ma in base 16 questo equivale a 0* *16 1 cioè 16 in base 10. Per questo motivo nella base 16 i valori da 10 a 15 decimali vengono indicati con A,B,C,D,E ed F. Conversioni di base Da base b a base 10 Per moltiplicazioni successive (partendo dal LSB Es: = ( = Es: 1AB 16 = ( = Da base 10 a base b per divisioni successive finché il quoziente è nullo e leggendo i resti in senso inverso (es: 10 = 10 2 dividendo divisore quoziente resto
3 Conversioni di base Da base 2 a base 8 (raggruppando le cifre a 3 a 3 dal LSB Da base 2 a base 16 (raggruppando le cifre a 4 a 4 dal LSB C 16 Minimo e massimo rappresentabile Il minimo ed il massimo valore rappresentabile per un numero binario puro N con n cifre a disposizione è: 0 <= N <= 2 n 1 Esempio: con 4 bit 0 <= N <= (0 <= N <= 2 Minimo numero di bit n per rappresentare un valore dato N è: n = log 2 (N+1 = ceiling = primo intero superiore Es: N= n= log 2 (24 = 5 ( Somma binaria di numeri Viene eseguita incolonnando i numeri e sommando tra loro i bit incolonnati, partendo dai meno significativi, in ordine di peso crescente. Per la somma di due numeri positivi di lunghezza k possono essere necessari k+1 posti. Se sono disponibili solo k cifre si genera un errore di overflow (o trabocco ( ( = ( = ( ( Overflow (infatti 45 non è rappresentabile con solo 5 bit Sottrazione binaria di numeri Viene eseguita incolonnando i numeri e sottraendo tra loro i bit incolonnati, partendo dai meno significativi, in ordine di peso crescente. Si suppone che il risultato sia positivo ( = ( (9 10 Da dx a sx e da sotto in su : 1 a 0 =1 e riporto 1, 1+1che riportavo 0-a 0 0 e riporto 1, 1 a 1 0 senza rip, 0 a 1 1 senza rip, 0 a 0 0, 1 a 1 0
4 Moltiplicazione di numeri binari Si utilizza la stessa tecnica usata anche per i numeri in base 10 (somma e scorrimento. A = 10 2 = 10 B = 01 2 = A B = _ = 1000 = Divisione di numeri binari Si usa la tecnica usata anche per i numeri in base 10 (differenza e scorrimento. Esempio: 10 2 = = / = = Resto Operazione di scorrimento (shift Shift verso sinistra Lo scorrimento verso sinistra di tutte le cifre del numero di una posizione con l inserimento di uno zero nella posizione di destra equivale a moltiplicare il numero per la base. Lo scorrimento di k posizioni verso sinistra equivale a moltiplicare il numero per b k. Es: 10 = 10 scorrimento di 2 a sinistra 1000 = Operazione di scorrimento (shift Shift verso destra Lo scorrimento (shift verso destra di tutte le cifre del numero di una posizione con l inserimento di uno zero nella posizione di sinistra, equivale a dividere il numero per la base (cioè a moltiplicare il numero per b -1. Lo scorrimento di k posizioni verso destra equivale a moltiplicare il numero per b -k (cioè dividerlo per b k Es: 1010 = 1010 scorrimento di 2 a destra 0010 = 2 10 NB: il resto e dato dai bit usciti a destra (102 = 2 10
5 Numeri relativi Z = {-,, -1, 0, +1,, + } Rappresentazione con modulo e segno Il primo bit di un numero intero viene utilizzato come bit di segno (0 positivo, 1 negativo. Gli altri bit indicano il modulo (valore assoluto del numero. Es. con 5 bit: Rappresentazione in complemento a 1 I numeri positivi sono rappresentati dal loro modulo ed hanno il bit più significativo a zero. I numeri negativi si ottengono complementando tutti i bit (cioè scambiando 0 con 1, e viceversa. Pertanto hanno il primo bit sempre a 1. Es. con 8 bit: Rappresentazione in complemento a 2 I numeri positivi sono rappresentati dal loro modulo ed hanno il bit più significativo a zero. I numeri negativi si ottengono calcolando il complemento a 1, e poi sommandovi 1. Pertanto hanno il bit del segno sempre a 1. Es. Con 6 bit: Minimo e massimo rappresentabile in complemento a 2 Il minimo ed il massimo valore rappresentabili per un numero binario (N in complemento a 2 con n cifre a disposizione è: -2 n-1 <= N <= 2 n-1 1 Esempio con 4 bit <= N <= 7 10 ( <=N<=01 2 Operazione aritmetiche su numeri relativi Somma algebrica Sfrutta la rappresentazione in complemento a 2. Si sommano i numeri per colonna incluso il bit del segno, ignorando l eventuale riporto sul bit del segno. Si può avere un overflow solo se i due numeri da sommare hanno lo stesso segno ed il risultato ha il segno opposto. Esempi su 4 bit: 01+ ( (-5 10= ( = ( ( Overflow
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