Equazioni differenziali a variabili separabili e lineari del primo ordine. Esercizi.

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1 Equazioni differenziali a variabili separabili e lineari del primo ordine. Esercizi. Mauro Saita Versione provvisoria. Dicembre 204 Per commenti o segnalazioni di errori scrivere, per favore, a: maurosaita@tiscalinet.it Equazioni differenziali a variabili separabili e lineari del primo ordine. Una equazione differenziale a variabili separabili è un equazione del tipo dove g(x) e h(y) sono funzioni continue. y = g(x)h(y) (.) La tecnica formale per risolvere un equazione a variabili separabili è la seguente: si scrive (notazione di Leibniz) al posto di y : = g(x)h(y) (.2) e si separano formalmente le variabili: = g(x) (.) h(y) Infine, si integrano entrambi i membri: h(y) = g(x) (.4) 2. Una equazione differenziale lineare del primo ordine è un equazione del tipo y + a(x)y = f(x) (.5) dove a(x) e f(x) sono funzioni definite e continue su uno stesso intervallo I di R. Se la funzione f(x) non è identicamente nulla, l equazione lineare (.5) si dice non omogenea. Invece, l equazione lineare del tipo y + a(x)y = 0 (.6) si dice omogenea. Soluzione generale di un equazione lineare del primo ordine. La soluzione generale dell equazione lineare del primo ordine (.5) è y = Ce A(x) + e A(x) f(x)e A(x) (.7) dove A(x) è una qualunque primitiva di a(x) e C R è una costante arbitraria. File: es equazioni differenziali AG 204.tex

2 Per le equazioni lineari vale il seguente risultato: Se i coefficienti a(x), f(x) di y + a(x)y = f(x) sono definiti e continui su un intervallo I di R, allora le soluzioni dell equazione sono definite su tutto l intervallo I. Esercizio.. Trovare l integrale generale delle seguenti equazioni differenziali a variabili separabili. y y 2 sin x = 0 2. y = y 2. xy 2 + x + (x 2 y y)y = 0 4. y = xy 2 ln x Esercizio.2. Trovare l integrale generale delle seguenti equazioni differenziali lineari del primo ordine y x = x2 + xy = x + 2y = + y = x Esercizio.. Risolvere il seguente problema di Cauchy y + 2xy 2 = 0 y(0) = Qual è l intervallo massimale su cui è definita la soluzione di questo problema di Cauchy? Esercizio.4. Risolvere il seguente problema di Cauchy y + (cos x)y = 2xe sin x y(π) = 0 Esercizio.5. Risolvere il seguente problema di Cauchy y = (x + )y y(2) = Esercizio.6. Determinare le soluzioni delle seguenti equazioni differenziali 2

3 . ( + x 2 )y = y(y ) 2. y + x x 2 + y = x (x 2 + ) 2 Esercizio.7. Siano y n (x) le soluzioni del problema di Cauchy dove n N, n > 0. Determinare il lim n + n y n(). y = y 2 y(0) = n Esercizio.8. Risolvere i seguenti problemi di Cauchy y = y ln y. x 2. y( ) = y = y ln y x y( ) = e Esercizio.9. Risolvere il seguente problema di Cauchy y = (x + )y y(2) =

4 . Soluzioni Esercizio.. y = 0 (integrale singolare); y =, c R (integrale generale). cos x + c 2. y = (integrale singolare); y = ce2x ce 2x, c R (integrale generale). +. y 2 = c, c R, c 0 (integrale generale). x2 4. y = 0 (integrale singolare), y = 2 x2 ( 2 ln x, c R (integrale generale). ) + c Esercizio.2 Le equazioni differenziali proposte in questo esercizio sono tutte del tipo + p(x)y = q(x). In questo caso p(x) = 2 x, q(x) = x2, µ(x) = 2 x = ln x 2, e µ(x) = x 2. 2 d Quindi (eµ(x) y) = 2x y + x = x 2 ( 2y x ) =. Integrando primo e ultimo termine della precedente successione di uguaglianze si ottiene y = x + cx 2, c R. 2. y = x ce x2 2. y = 2 + ce 2x 4. y = x + ce x Esercizio. L equazione differenziale y + 2xy 2 = 0 è a variabili separabili, l integrale generale è y(x) =. Posto y(0) = si ottiene c =. Quindi, la soluzione al problema di Cauchy è y = x 2 +c x 2 ; l intervallo massimale su cui è definita tale soluzione è (, ). Esercizio.4 y = x2 π 2 e sin x Esercizio.9 y 0 si ottiene È un equazione differenziale a variabili separabili: y = 0 è soluzione dell equazione; per y = (x + ) (.8) ln y = 2 (x + )2 + C, C > 0 (.9) Passando all esponenziale (in base e) su entrambi i termini della precedente uguaglianza si ricava y = e 2 (x+)2 +C, C > 0 (.0) 4

5 ossia y = A e 2 (x+)2, A R (.) La (.2) è l integrale generale dell equazione differenziale. Infine, dalla condizione iniziale y(2) = si ricava = A e 2 2 = A e 9 2, A = e 9 2. Quindi la soluzione del problema di Cauchy è y = e 9 2 e 2 (x+)2 = e 2 [(x+)2 9] (.2) Esercizio.6. Equazione a variabili separabili. y(x) = 0 (integrale singolare); y(x) = (integrale generale). 2. Equazione lineare del primo ordine. y(x) = + x 2 + c + x 2 ce arctan x, c R c R (integrale generale). Esercizio.7 y n (x) = n nx +, y n() = n n+, lim n + n y n() = 0. Esercizio.8. y(x) = (la soluzione può essere ottenuta senza determinare l integrale generale dell equazione differenziale. Perchè?). 2. y(x) = e A x, A R (integrale generale), y(x) = 0 (integrale singolare). Soluzione del problema di Cauchy: y(x) = e x. 5