Università del Piemonte Orientale. Corsi di Laurea Triennale di Area Tecnica. Corso di Statistica Medica. Le distribuzioni teoriche di probabilità

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1 Università del Piemonte Orientale Corsi di Laurea Triennale di Area Tecnica Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità La distribuzione Normale (o di Gauss) CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 1 Riprendiamo alcune definizioni: Qualsiasi caratteristica che può essere misurata categorizzata: variabile o Variabile che può assumere diversi valori per effetto del caso: variabile casuale o variabile aleatoria CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 2

2 Possiamo costruire in modo empirico la distribuzione di frequenza di una variabile in un gruppo di soggetti. es. FREQUENCY CORPUSCOLI MIDPOINT CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 3 Possiamo anche compiere un passo successivo identificando una curva matematica che descriva l'andamento del grafico. In tal modo potremmo: - descrivere la distribuzione dei dati senza bisogno di mostrare la distribuzione di frequenza ma solo in base ai parametri della curva matematica. - confrontare gruppi di soggetti diversi in base ai parametri delle rispettive curve. - costruire una distribuzione di frequenza attesa, sulla base dei valori dei parametri. CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 4

3 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità ETA CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 6

4 L'uso di modelli matematici è comune alla maggior parte delle discipline: ad esempio, la curva esponenziale può essere usata per descrivere la crescita del numero di batteri in laboratorio, in assenza di condizioni limitanti y = ae bt I parametri sono a (numero iniziale) e b (velocità di crescita). Stimati questi parametri possiamo stimare il numero di batteri a determinati intervalli (t) dall'inizio dell'esperimento. - il parametro b corrisponde alla velocità di accrescimento, che possiamo confrontare per ceppi diversi CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 7 curve di crescita esponenziale b=,4 b=,5 6 5 n t CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 8

5 - La funzione matematica che descrive un fenomeno (biologico, statistico ecc ) è definita 'MODELLO'. In questo caso possiamo parlare di Modello Esponenziale della crescita batterica. - Un modello adeguato descrive gli aspetti importanti del fenomeno che vogliamo studiare, senza entrare in dettagli inutili. CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 9 In questo caso la curva a campana è un modello soddisfacente. CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 1

6 La distribuzione Gaussiana È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche È la distribuzione di probabilità degli errori casuali È la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie È la distribuzione limite per altre distribuzioni di probabilità quando n CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 11 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 12

7 La distribuzione Gaussiana È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche È la distribuzione di probabilità degli errori casuali È la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie È la distribuzione limite per altre distribuzioni di probabilità quando n CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 13 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 14

8 Distribuzione delle differenze tra glicemia misurata al polpastrello ed all avambraccio CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 15 La distribuzione Gaussiana È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche È la distribuzione di probabilità degli errori casuali È la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie È la distribuzione limite per altre distribuzioni di probabilità quando n CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 16

9 Popolazione Medie campionarie CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 17 La distribuzione Gaussiana È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche È la distribuzione di probabilità degli errori casuali È la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie È la distribuzione limite per altre distribuzioni di probabilità quando n CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 18

10 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 19 La distribuzione gaussiana come modello di una distribuzione di probabilità empirica Es. istogramma che descrive la distribuzione di frequenza di una variabile numerica in un gruppo di 4 soggetti CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 2

11 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 21 Aumento progressivamente la suddivisione dell istogramma CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 22

12 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 23 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 24

13 Distribuzione di probabilità (teorica) Distribuzione di frequenza (empirica) CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 25 La forma della distribuzione di probabilità normale flesso - + CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 26

14 La formula della distribuzione normale. E definita da Media (µ) e Deviazione Standard (σ) f ( x) = 1 * exp σ 2π ( x µ ) 2 2σ 2 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 27 La distribuzione gaussiana o normale comprende una famiglia di curve, i cui parametri sono Media (µ) e Deviazione Standard (σ) CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 28

15 Media (µ): posizione centrale Deviazione Standard (σ): 'ampiezza' della curva CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 29 Il grafico seguente mostra due curve normali con DS=1 (curva nera) e DS=2 (c.rossa). Entrambe hanno media=. y DS= DS= x CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 3

16 Data una variabile la cui distribuzione di probabilità è gaussiana, possiamo misurare la probabilità corrispondente a determinati intervalli di valori CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 31,95,5,5 P=,25 x = 1,96 P=,25 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 32

17 ,975 X=1,96,25 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 33,95 P=,5 X = 1,645 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 34

18 ,95 P=,25 x = 1,96 P=,25 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 35 Applicazione delle regole della distribuzione gaussiana Data una variabile con distribuzione gaussiana (es. la statura), sono interessato a calcolare la probabilità di osservare un soggetto con valore x (o superiore). Conosco i parametri che descrivono la distribuzione di probabilità (media: µ e Deviazione Standard: σ). Come procedo? CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 36

19 Valore? CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 37 Calcolo il valore della statistica U, che mi consente di conoscere il valore di probabilità con l ausilio delle tavole della Distribuzione Normale Standardizzata Il calcolo della statistica U corrisponde ad una operazione di Normalizzazione. La statistica U indica la distanza tra x e la media, esprimendo la distanza in multipli della deviazione standard U dove: x: valore cui siamo interessati σ: deviazione standard nella popolazione µ: media nella popolazione = x µ σ U: deviata normale standardizzata corrispondente ai valori dati per (x, σ, µ). CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 38

20 Il calcolo di U corrisponde ad un operazione di standardizzazione. La curva iniziale viene dapprima centrata sullo e quindi il valore sulle ascisse viene espresso in unità di deviazione standard CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 39 La curva iniziale CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 4

21 U = x µ σ La curva viene centrata sul valore CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 41 U = x µ σ il valore sulle ascisse viene espresso in unità di deviazione standard CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 42

22 Data una distribuzione normale con media µ e deviazione standard σ, il valore U, calcolato partendo dai valori dati per x, σ, µ e riportato sulle apposite tabelle indica la probabilità di osservare un valore compreso tra U e CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 43 da U a U CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 44

23 Distribuzione normale standardizzata Area sottesa alla curva tra U e U,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,,5,4961,4922,4883,4845,486,4768,4721,46812,46414,1,4617,4562,45224,44828,44433,4438,43644,43251,42858,42465,2,4274,41683,41294,495,4517,4129,39743,39358,38974,38591,3,3829,37828,37448,377,36693,36317,35942,35569,35197,34827,4,34458,349,33724,3336,32997,32636,32276,31918,31561,3127,5,3854,353,3153,2986,2946,29116,28774,28434,2896,2776,6,27425,2793,26763,26435,2619,25785,25463,25143,24825,2451,7,24196,23885,23576,2327,22965,22663,22363,2265,2177,21476,8,21186,2897,2611,2327,245,19766,19489,19215,18943,18673,9,1846,18141,17879,17619,17361,1716,16853,1662,16354,1619 1,,15866,15625,15386,15151,14917,14686,14457,14231,147, ,1,13567,1335,13136,12924,12714,1257,1232,121,119,1172 1,2,1157,11314,11123,1935,1749,1565,1383,124,127,9853 1,3,968,951,9342,9176,912,8851,8692,8534,8379,8226 1,4,876,7927,778,7636,7493,7353,7215,778,6944,6811 1,5,6681,6552,6426,631,6178,657,5938,5821,575,5592 1,6,548,537,5262,5155,55,4947,4846,4746,4648,4551 1,7,4457,4363,4272,4182,493,46,392,3836,3754,3673 1,8,3593,3515,3438,3362,3288,3216,3144,374,35,2938 1,9,2872,287,2743,268,2619,2559,25,2442,2385,233 2,,2275,2222,2169,2118,268,218,197,1923,1876,1831 2,1,1786,1743,17,1659,1618,1578,1539,15,1463,1426 2,2,139,1355,1321,1287,1255,1222,1191,116,113,111 2,3,172,144,117,99,964,939,914,889,866,842 2,4,82,798,776,755,734,714,695,676,657,639 2,5,621,64,587,57,554,539,523,58,494,48 2,6,466,453,44,427,415,42,391,379,368,357 2,7,347,336,326,317,37,298,289,28,272,264 2,8,256,248,24,233,226,219,212,25,199,193 2,9,187,181,175,169,164,159,154,149,144,139 3,,135,131,126,122,118,114,111,17,14,1 3,1,97,94,9,87,84,82,79,76,74,71 3,2,69,66,64,62,6,58,56,54,52,5 3,3,48,47,45,43,42,4,39,38,36,35 3,4,34,32,31,3,29,28,27,26,25,24 3,5,23,22,22,21,2,19,19,18,17,17 3,6,16,15,15,14,14,13,13,12,12,11 3,7,11,1,1,1,9,9,8,8,8,8 3,8,7,7,7,6,6,6,6,5,5,5 3,9,5,5,4,4,4,4,4,4,3,3 4,,3,3,3,3,3,3,2,2,2,2 4,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1 CdL Area 4,2,1 Tecnica,1 - Statistica,1 Medica,1 - Le,1 distribuzioni,1teoriche,1di,1 probabilità.,1,1 45 Viene sempre mantenuta la corrispondenza tra la distribuzione normale standard e la distribuzione normale di partenza CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 46

24 da U a U=1,96 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 47 da U a da X a X=186,7 U CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 48

25 Attenzione A volte le tabelle forniscono la probabilità calcolata secondo altri riferimenti, ad esempio tra - e U, oppure tra ed U. prestate attenzione alle spiegazioni fornite insieme alle tavole. Si può comunque sempre passare da un sistema all altro sfruttando la regola delle probabilità complementari. CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 49 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard (p da - a U). La tavola indica il valore di P(u), dato il valore di U Second digit of U U CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 5

26 da - a U da U a + U CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 51 da - a U da U a + U CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 52

27 Alcuni valori utili da ricordare U = + 1,96 coda dx, 2,5% tra U = - 1,96 e U = 1,96 area centrale 95% U = - 1,96 coda sx, 2,5% CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 53,95 P=,25 U = -1,96 U = 1,96 P=,25 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 54

28 Esempio, quale sarà la probabilità di osservare un soggetto di statura inferiore a m 1,8672 data una popolazione con distribuzione gaussiana definita da altezza media 1,73 e deviazione standard,7? U = (1,8672-1,73) /,7 = + 1,96 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 55 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard. (p da - a U). La tavola indica il valore di P(u), dato il valore di U Second digit of U U CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 56

29 p=,975 p =,25 U CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 57 Esempio, quale sarà la probabilità di osservare un soggetto di statura superiore a m 1,8672 data una popolazione con altezza media 1,73 e deviazione standard,7? U = (1,8672-1,73) /,7 = + 1,96 posso riferiremi alla tabella da U a oppure a quella da - a U, usando la regola delle probabilità di eventi complementari. CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 58

30 p=,975 p =,25 U CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 59 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard (p da - a U). La tavola indica il valore di P(u), dato il valore di U Second digit of U U CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 6

31 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard. (p da - a U). La tavola indica il valore di P(u), dato il valore di U Second digit of U U CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 61 Attenzione Nelle tabelle spesso si fa riferimento al valore della distribuzione normale standard indicandolo come Z invece che come U. CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 62

32 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 63 Esempio, quale sarà la probabilità di osservare un soggetto di statura inferiore a m 1,5928 data una popolazione con altezza media 1,73 e deviazione standard,7? U = (1,5928-1,73) /,7 = - 1,96 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 64

33 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 65 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 66

34 Se U < ho due possibilità: 1. Se dispongo della tabella con la distribuzione di z da - a + oppure da - a, ricavo direttamente il valore di probabilità. 2. altrimenti calcolo U = -1 * U e ricavo p quindi p = 1- p CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 67 U = -1 * -1,96 = 1,96 p =,975 p= 1-p = 1,975 =,25 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 68

35 Posso infine calcolare la probabilità di estrarre casualmente dalla popolazione un soggetto che ha un valore compreso entro un certo scostamento dalla media della popolazione, in entrambe le direzioni. p(x > µ+x oppure x < µ-x norm(µ,σ)) CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 69 Quale sarà la probabilità di osservare un soggetto la cui statura si scosta dalla media della popolazione di almeno m,1372?(data una popolazione con altezza media 1,73 e deviazione standard,7) Equivale al calcolo della probabilità di osservare: un soggetto con [altezza < (1,73 -,1372)] O un soggetto con [altezza > (1,73 +,1372)] CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 7

36 X = 1,73 -,1372 = 1,5928 X = 1,73 +,1372 = 1,8672 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 71?? CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 72

37 X = 1,73 -,1372 = 1,5928 X = 1,73 +,1372 = 1,8672 U = (1,5928-1,73) /,7 = - 1,96 U = (1,8672-1,73) /,7 = + 1,96 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 73,95 P=,25 U = -1,96 U = 1,96 P=,25 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 74

38 ,25.95,25 x = 1,5928 x = 1,8672 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 75 Esercizio Si consideri una popolazione con altezza distribuita come una Gaussiana con media (µ) = 172,5 cm e deviazione standard (σ) =6,25 cm. Qual è la probabilità di incontrare un individuo estratto da tale popolazione e di altezza superiore a cm 19? U = (19 172,5) / 6,25 = 2,8 Da cui p=,256 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 76

39 Esercizio Si consideri una popolazione con altezza distribuita come una Gaussiana con media (µ) = 172,5 cm e deviazione standard (σ) =6,25 cm. Qual è la probabilità che un individuo estratto da tale popolazione sia di altezza compresa tra cm 165 e 17? Qual è la probabilità che 2 individui estratti da tale popolazione siano entrambi di altezza compresa tra cm 165 e 17? CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 77 Passiamo dalla probabilità di estrarre un soggetto alla probabilità di estrarre un campione di n soggetti Possiamo calcolare la probabilità di estrarre un campione con valore dato da una popolazione che segue una distribuzione di probabilità gaussiana? CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 78

40 Procediamo in modo analogo, sostituendo la media campionaria al valore individuale e l Errore Standard alla Deviazione Standard. Z = x σ / µ x µ = n ES CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 79 Media campionaria Z = x σ / µ x µ = n ES CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 8

41 Media della popolazione Z = x σ / µ x µ = n ES CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 81 Z = x σ / µ x µ = n ES Deviazione standard della popolazione CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 82

42 Z = x σ / µ x µ = n ES Dimensione del campione CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 83 Esempio: Calcoliamo la probabilità di estrarre un campione di dimensione 1 soggetti con altezza media superiore o uguale a 176 cm da una popolazione di altezza media 17 e deviazione standard 11? x µ Z = = = 1,725 σ / n 11/ 1 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 84

43 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard. (p da - a Z). La tavola indica il valore di P(z), dato il valore di Z Second digit of Z U CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 85 Normal Distribution (for a variable X) Xlstats Parameters Graphs Type Mean (µ) 17 Scale pdf cdf None Standard Deviation (σ) 3,47851 Left 14 Right 19 Shade cumulative probability Probability Value of Variable (x) = 176,14,12 P(X <= 176) P(X = x) = P(X x) =,95773 P(X x) =,4227 P( X between µ and x) =,45773,1,8,6,4 Inverse Probability,2 P(X x) =,3 X x = 168, P(-x X x) =,95 x = 176,818 P(X x) =,3 Extra Tools x = 171,824 Nel caso della distribuzione di una statistica campionaria inserire qui l errore standard CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 86

44 Esercizi consigliati da: Fowler et al, ed Edises. Cap 9 (p 225) es 4 Cap 9 (p 225) es 7 Cap 9 (p 225) es 1 CdL Area Tecnica - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 87