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1 Giuseppe Ruffo Fisica: lezioni e problemi

2 Unità A2 - La rappresentazione di dati e fenomeni 1. Le rappresentazioni di un fenomeno 2. I grafici cartesiani 3. Le grandezze direttamente proporzionali 4. Altre relazioni matematiche 2

3 Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno Un fenomeno può essere rappresentato con una tabella, con un grafico o con una formula 3

4 Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno Fenomeno: un recipiente viene riempito da un rubinetto da cui esce un flusso d acqua costante. 4

5 Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno Rappresentazione del fenomeno mediante tabella: la quantità di acqua accumulata nel recipiente dipende dall intervallo di tempo trascorso. Il flusso d acqua del rubinetto è costante Ogni minuto dal rubinetto escono 2 litri d acqua Ogni minuto la quantità d acqua nel recipiente cresce di 2 litri 5

6 Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno Rappresentazione del fenomeno mediante formula: t : tempo trascorso. q = 2 t variabile indipendente; unità di misura: minuti q : quantità d acqua accumulata. variabile dipendente; unità di misura: litri 2 : portata d acqua del rubinetto. costante; unità di misura: litri/minuto 6

7 Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno Rappresentazione del fenomeno mediante grafico Asse orizzontale (ascisse) variabile indipendente t Asse verticale (ordinate) variabile dipendente q A ogni punto del grafico corrisponde una coppia di valori della tabella 7

8 Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno Tabella: conoscenza del fenomeno limitata ad alcuni intervalli di tempo. Grafico: visione sintetica e immediata del fenomeno. Formula: rappresentazione più astratta ma più completa Le formule hanno validità generale; uno stesso tipo di formula si può applicare a fenomeni fisici molto diversi: Legame matematico tra le variabili: è possibile calcolare la quantità d acqua accumulata in un istante qualsiasi. (variabile dipendente) = (costante) (variabile indipendente) 8

9 Lezione 2 - I grafici cartesiani La rappresentazione grafica è un potente strumento matematico per rappresentare due grandezze relative allo stesso fenomeno 9

10 Lezione 2 - I grafici cartesiani I grafici cartesiani permettono di visualizzare la relazione tra due grandezze fisiche. Per tracciare un grafico cartesiano occorre: -Tracciare gli assi, cioè due rette perpendicolari, fissando il verso di percorrenza -Associare a ogni asse una grandezza e un unità di misura -Scegliere la scala per ciascun asse 10

11 Lezione 2 - I grafici cartesiani Ogni coppia di valori della tabella individua un punto. Uniamo i punti con una linea per visualizzare l andamento. In un grafico che rappresenta una tabella di dati, l unità di misura e la scala associate ai due assi sono indipendenti tra loro. 11

12 Lezione 2 - I grafici cartesiani Grafico di una funzione espressa da una formula. y = 2x 2 - Si costruisce una tabella di punti - Si rappresentano i punti nel grafico In questo caso non si associano grandezze e unità di misura agli assi cartesiani 12

13 Lezione 2 - I grafici cartesiani La pendenza di una retta è il rapporto tra variazione dell ordinata e incremento dell ascissa di due suoi punti. 13

14 Lezione 2 - I grafici cartesiani Appendiamo a una molla masse diverse, misuriamo l allungamento ogni volta e costruiamo tabella e grafico. - Per interpolazione troviamo le coordinate di punti intermedi - Per estrapolazione troviamo le coordinate di punti esterni all intervallo della tabella. Il significato fisico dei valori ottenuti deve essere verificato. 14

15 Lezione 2 - I grafici cartesiani Il risultato della misura di una grandezza è affetto da errore. L incertezza di un punto del grafico è rappresentata da un rettangolo; i lati del rettangolo sono pari agli errori assoluti sulle due variabili. 15

16 Lezione 3 - Grandezze direttamente proporzionali Il legame più semplice fra due grandezze variabili è quello di diretta proporzionalità 16

17 Lezione 3 - Grandezze direttamente proporzionali Due grandezze x e y sono direttamente proporzionali se al raddoppiare di x anche y raddoppia, al triplicare di x anche y triplica e così via. Il lato e il perimetro di un quadrato sono grandezze direttamente proporzionali la massa e il volume di una sostanza sono grandezze direttamente proporzionali. 17

18 Lezione 3 - Grandezze direttamente proporzionali Se y e x sono variabili direttamente proporzionali, il loro rapporto è costante: k è la costante di proporzionalità. -La formula rappresenta tutte le possibili coppie di valori delle variabili, ad esclusione della coppia (0; 0) 18

19 Lezione 3 - Grandezze direttamente proporzionali Grafico di variabili direttamente proporzionali: punti allineati con l origine degli assi. La curva corrispondente è una retta passante per l origine. 19

20 Lezione 4 - Altre relazioni matematiche In molti fenomeni, le grandezze fisiche sono legate da relazioni che non sono di diretta proporzionalità 20

21 Lezione 4 - Altre relazioni matematiche Se y e x sono variabili correlate linearmente, la funzione che descrive la correlazione è del tipo: a è b rappresentano dei valori costanti - Se si prende un recipiente già parzialmente pieno e lo si riempie con un rubinetto a portata costante, la quantità d acqua q nel recipiente e il tempo t sono grandezze correlate linearmente. 21

22 Lezione 4 - Altre relazioni matematiche Grafico di variabili correlate linearmente: punti allineati tra loro ma non con l origine degli assi. La curva corrispondente è una retta non passante per l origine. 22

23 Lezione 4 - Altre relazioni matematiche Se y e x sono variabili legate da proporzionalità quadratica, vale una formula del tipo: a rappresenta una costante - L area e il raggio di un cerchio sono legate da proporzionalità quadratica. Al raddoppiare del raggio l area diventa 4 volte più grande, al triplicare del raggio l area diventa 9 volte più grande 23

24 Lezione 4 - Altre relazioni matematiche Grafico di variabili legate da proporzionalità quadratica: una particolare curva detta parabola. 24

25 Lezione 4 - Altre relazioni matematiche Se y e x sono variabili inversamente proporzionali, il loro prodotto si mantiene costante. Vale una formula del tipo: k rappresenta una costante - In una bilancia a bracci uguali, se la massa su un braccio è fissa, la massa equilibrante e la sua distanza dal fulcro sono inversamente proporzionali: se la massa raddoppia, la distanza dimezza, 25

26 Lezione 4 - Altre relazioni matematiche Grafico che rappresenta due variabili inversamente proporzionali: una particolare curva detta iperbole. 26

27 Lezione 4 - Altre relazioni matematiche Se y e x sono variabili legate da proporzionalità inversa quadratica, vale una formula del tipo: k rappresenta una costante - y è inversamente proporzionale al quadrato di x - Prismi a base quadrata di uguale volume (equivalenti) hanno lato di base e altezza legati da proporzionalità inversa quadratica. 27

28 Lezione 4 - Altre relazioni matematiche Il grafico di variabili legate da proporzionalità inversa quadratica ha la forma rappresentata in figura. 28

29 Unità A2 - La rappresentazione di dati e fenomeni Rappresentazione di fenomeni fisici Mediante tabella Mediante grafico Mediante formula Proporzionalità diretta Correlazione lineare Proporzionalità inversa Proporzionalità quadratica Proporzionalità inversa quadratica 29

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