1 BREVE RIPASSO SULLE NOTAZIONI MATE- MATICHE

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1 1 BREVE RIPASSO SULLE NOTAZIONI MATE- MATICHE Il linguaggi matematic mdern è basat su due terie fndamentali: la teria degli insiemi e la lgica delle prpsizini. La teria degli insiemi ci assicura che gli ggetti di cui parliam sn delle cse ben definite: gli insiemi sn caratterizzati dal fatt che pssiam stabilire cn esattezza se un qualcsa (che chiamerem element ) sta men nell insieme. L stess principi vale per le prpsizini: le frasi che si usan in matematica nn devn essere ambigue, vver bisgna sapere dire esattamente se una frase è vera è falsa. Le prpsizini lgiche vengn espresse usand una ntazine a cui bisgna abituarsi: si usan Cnnettivi lgici Quantificatri (nn); ^ (e); _ (ppure); =)(se...allra/...implica...); ()(...se e sl se...) 8 (per gni); 9... :... (esiste...tale che...) La descrizine di una frase accettabile in matematica è quella di una prpsizine: Prpsizini frasi sensate che nn cntengn variabili libere e che sn vere ppure false Insiemi e sttinsiemi In generale gli insiemi verrann definiti cn una scrittura del tip A = {x 2U: P (x)} che si legge A è l i n s i e m e d e i p u n t i x di U tali che P (x) vale, dve P è una prpsizine che cntiene la variabile x: se P (x) è vera allra x appartiene all insieme, se P (x) è falsa allra n. Per quant riguarda l ambiente U in cui si trvan i nstri elementi x, per ni sarà sempre un insieme di numeri di funzini. Altre vlte un insieme è descritt semplicemente mediante un elenc A = {a, b, c, d}. DOMANDA: in quest cas pssiam riscrivere A nella frma spra? Che csa è P (x) in quest cas? Ntazini: x 2 A (x appartiene all insieme A) 1

2 A B (A è sttinsieme di B) vver gni element di A è anche un element di B, vverx 2 A=)x 2 B. A = B()(x 2 A()x 2 B)()(A B e B A) (vver due insiemi sn uguali se e sl se cntengn gli stessi elementi; un md per vedere se due insiemi sn uguali è verificare che gnun è cntenut nell altr) A [ B = {x : x 2 A x 2 B} (unine) A \ B = {x : x 2 A e x 2 B} (intersezine) Ntare che se A è definita dalla prpsizine P (x) eb dalla Q(x) allra A [ B è definita dalla prpsizine P (x)_q(x), mentre A\B è definita dalla prpsizine P (x) ^ Q(x) ; denta l insieme vut L insieme vut è definit dal fatt che x 2;è sempre falsa. È imprtante che l insieme vut sia definit, in md che, per esempi, A\B sia bene definit anche quand nn c è alcun element che stia sia in A che in B. Si ha la strana prprietà che gni prpsizine e vera sull insieme vut : dat che nn cntiene nessun element, la prpsizine in questine nn e mai falsa sull insieme vut (e quindi e sempre vera). A e B sn disgiunti se A \ B = ; A \ B = {x : x 2 A e nn x 2 B} (si legge A men B) A B()A BeB\ A 6= ; (stretta inclusine di A in B) Insiemi numerici In generale gli insiemi che tratterem sarann insiemi di numeri. I principali insiemi numerici che tratterem sn: N insieme dei numeri naturali interi psitivi vver 0, 1, 2,,... Z insieme dei numeri interi vver 0, 1, 1, 2, 2,,,... Q insieme dei numeri razinali vver le frazini m/n dve m, n 2 Z e n 6= 0. R insieme dei numeri reali quali per esempi, p 2, e (numer di Neper),... C insieme dei numeri cmplessi 2

3 Abbiam le inclusini N Z Q R C 0 In questa ultima inclusine identifichiam i numeri reali cn un sttinsieme dei numeri cmplessi, vver scriviam i numeri cmplessi nella frma z = a + ib, cn a, b 2 R e i 2 = 1. Altri insiemi: N +, Q +, R + (interi strettamente psitivi, etc). Esempi. Per ni spess gli insiemi di interesse sn gli insiemi di sluzini di prblemi matematici. Per esempi le sluzini di un equazine A = {x 2 R : x 2 5x +6=0} Rislvere l equazine significa descrivere nel miglir md pssibile l insieme A; in quest cas significa riscriverl cme un elenc. Quest si fa vedend che A è uguale a ciascun dei due insiemi B = {y 2 R :(y 2)(y ) = 0}, C = {y 2 R :(y 2) = 0}[{y 2 R :(y ) = 0} = {2, }. Il passaggi lgic da A a B è la scmpsizine in fattri, e da B a C il ntare che un prdtt è null se e sl se è null almen un dei sui fattri. Esempi. Cnfrntiam A, B, C cn gli insiemi Allra si ha D = {2} E = {2, {2}} F = {{2}} G = {2,, 2}. A = B = C D 2 E, D \ F = ; D [ F = E A \ E = D C \ D = {} G = C. Esempi. A = {x 2 R :sin(1/x) =0} si può anche scrivere {x 2 R :1/x = k per qualche k 2 Z} ppure {x 2 R : 9k 2 Z : 1/x = k } ppure {x 2 R : 9k 2 Z, k6= 0,x=1/k } ppure n 1, 1, 1 2, 1 2,.... Ntare che quest ultima scrittura è ambigua (nn è dett che sia chiar csa significan quei puntini) e quindi le precedenti sn da preferire.

4 Esercizi. Esprimere cme un elenc di punti gli insiemi n 1 A = x 2 R : lg 10 (x 2 )sin =0, x A \ Z, A\{x 2 R : x 0}. Esempi. A = = n Im(z) : z = 8i n x 2 R : 9z 2 C, x= Im(z), z = 8i = { 1, 2} (qui abbiam calclat le radici terze di 8i). Dmini di una funzine In generale una funzine f è descritta dal su dmini di definizine X, il cdmini, dve prende i valri e che per ni sarà in genere R, e la legge x 7! f(x); in tal cas si scrive f : X! R. A vlte però è data sl la legge (vver il md di calclare f(x)). In quest cas il dmini ( dmini naturale ) è definit cme il più grande insieme per cui f(x) ha un sens, e viene indicat cn dm f: dm f = {x 2 R : f(x) èbendefinita}. Il più delle vlte descrivere un dmini di funzine equivale a rislvere una più disequazini sistemi di disequazini. Esempi (1) dm lg = {x 2 R : x>0} (per lg si intende il lgaritm in base naturale (vver in base e, il numer di Neper, che definirem più avanti) ma in questi esempi gni base maggire di 1 va bene); (2) Se f(x) = lg(x 2 x), allra dm f = {x 2 R : lg(x 2 x)èbendefinita} = {x 2 R : x 2 x>0} = {x 2 R : x<0 ppure x>1} () Se f(x) = p lg(x 2 x), allra = {x 2 R : x<0}[{x 2 R : x>1}. dm f = {x 2 R : p lg(x 2 x)èbendefinita} = {x 2 R : lg(x 2 x) 0} = {x 2 R : x 2 x 1} n = x 2 R : x apple 1 p 5 n 1+ p 5 [ x 2 R : x

5 Insiemi prdtt Se A e B sn insiemi, il prdtt A B è d e fi n i t d a A B = {(a, b) : a 2 A, b 2 B} Gli ggetti del tip (a, b) vengn detti cppie ( cppie rdinate ), ed hann la prprietà che (a, b) =(a 0,b 0 )()(a = a 0 eb= b 0 ) (a di erenza dell insieme {a, b} = {b, a}) Pssibile definizine: (a, b) ={a, {a, b}}. Scriverem A A = A 2. È ben nt l insieme R2, che si identifica cn il pian Cartesian. Particlari sttinsiemi di R 2 che ni studierem sn i grafici di funzini. Il grafic di una funzine f (se nn è specificat il dmini di definizine) è dat da {(x, y) :x 2 dm f, y = f(x)}. Analgamente, si definiscn insiemi prdtt A B C delle triple (a, b, c), ecc. In particlare si definisce R n cme il prdtt di n cpie di R, vverl insieme delle ennuple di numeri reali. 5

6 2 PROPRIETÀ DEINUMERIREALI L insieme R è dtat della relazine d rdine apple (minre uguale) per cui dati due numeri a e b sappiam se è vera a apple b ppure b apple a, e se tutte due sn vere allra cncludiam che a = b. Questa relazine nn può essere definita per i numeri cmplessi (nn ha sens prsi il prblema se i apple 1...). L insieme R è rappresentat cme una retta cn un rientazine : a apple b viene rappresentat sulla retta cme a sta alla sinistra di b. La cmpletezza di R Ora definiam alcuni cncetti fndamentali a partire dalla relazine d rdine. Definizine Sia A R. SidicecheM è u n maggirante per A se 8a 2 A a apple M (graficamente: sulla retta M sta alla destra di tutti i punti di A ). Si dice che M è u n minrante per A se 8a 2 A a M (graficamente: sulla retta M sta alla sinistra di tutti i punti di A ). Esempi. 1): A = {x 2 Q : 1 apple x<1}. I punti 1, 2, 100 sn maggiranti di A. Ipunti 1,, 7/5 sn minranti di A. Il punt 0 nn è ne maggirante (0 < A) ne minrante (0 > 1 2 A) di A. In quest cas l insieme dei maggiranti di A è {x 2 R : x 1}; l insieme dei minranti di A è {x 2 R : x apple 1}. 2): A = {x 2 Q p : x 2 2 apple 0}. In quest cas l insieme dei maggiranti di A è {x 2 R : x 2}. ): A p= {x 2 R : x 2 2 apple 0}. L insieme dei maggiranti di A è ancra {x 2 R : x 2}. 4): A = {x 2 R : x apple }. In quest cas l insieme dei maggiranti di A è {x 2 R : x }, L insieme dei minranti è ;. 6

7 5): A = ;. Allra gni element di R è sia maggirante che minrante per A. 6): A = N. Nn esistn maggiranti. L insieme dei minranti è {x 2 R : x apple 0}. Nta: nn è di cile cnvincersi che l insieme dei maggiranti di un insieme A può avere tre frme: (1) tutti gli x maggiri uguali a un cert numer (vver una semiretta); (2) l insieme vut; () tutti i numeri reali. Quest ultim cas si pu avere sl se A è l insieme vut Definizine Sia A R e M 2 R. Sichiamamassim di A un maggirante M di A tale che M 2 A (graficamente: sulla retta M è il più alla destra di tutti ipuntidia ). Si chiama minim di A un minrante M di A tale che M 2 A (graficamente: sulla retta M è il più alla destra sinistra di tutti i punti di A ).. Il massim di A viene dentat cn max A; ilminimdia viene dentat cn min A. Nell esempi 1: A ha minim = 1, ma nn ha massim. Negli esempi 2 e 5: A nn ha ne minim ne massim. Nell esempi : si ha min A = p 2, max A = p 2. Nell esempi 4: max A =, mina nn esiste. Nell esempi 6: min A =minn = 0, max A nn esiste. Terema. Massim e minim di A sn unici. Dimstrazine (basta prvarl per il minim) Suppniam M 0 e M 00 due minimi di A. Allra (1) M 0 2 A M 0 apple a 8a 2 A (2) M 00 2 A M 00 apple a 8a 2 A. Abbiam allra M 0 apple M 00 e M 00 apple M 0.DunqueM 00 = M 0. Definizine Direm che A è un sttinsieme superirmente limitat di R quand esiste almen un maggirante di A: 9 M 2 R : 8a 2 A a apple M. Direm che A è un sttinsieme inferirmente limitat di R quand esiste almen un minrante di A: 9 M 2 R : 8a 2 A a M. 7

8 Direm che A è un sttinsieme limitat di R quand è sia superirmente limitat che inferirmente limitat. OSSERVAZIONI: 1) A è un sttinsieme limitat di R se e sl se 9 M 2 R : 8a 2 A a applem. Da ntare che questa definizine di insieme limitat è valida anche per sttinsiemi di C R n,dve a è il mdul in questi spazi. 2) A nn è superirmente limitat se e sl se 8 M 2 R 9a 2 A : a M. Abbiam vist che nn sempre un insieme ha massim minim, anche se è limitat. Intrduciam ra i cncetti di estrem (superire e inferire), che per definizine esisterann sempre (almen per insiemi limitati), e che cincidn cn i massimi e minimi se questi esistn Definizine Sia A R. Definiam l estrem superire di A in R (che denterem cn sup A) il minim dei maggiranti di A. Definiam l estrem inferire di A in R (che denterem cn inf A) il massim dei minranti di A. NOTA: sup A einfa, se esistn, sn unici (per l unicità di minim e massim). Nell esempi 1: si ha sup A = 1, inf A = 1. Nell esempi 2: sup A = p 2, inf A = p 2, ma nn esistn sup A einfa in Q. Nell esempi : sup A = p 2, inf A = p 2. Nell esempi 4: sup A =, ma nn esiste inf A. Nell esempi 5: A = ; nn ha ne sup ne inf in R. Nell esempi 6: inf N = 0, ma nn esiste sup N. Terema. Sia A R. Allra: i) se 9 max A allra A è s u p. l i m. e sup A = max A; ii) se 9 min A allra A è i n f. l i m. e inf A =mina; iii) se 9 sup A allra (9 max A() sup A 2 A); iv) se 9 inf A allra (9 min A() inf A 2 A). Dimstrazine i) M = max A =) M è maggirante di A =) A è s u p. l i m. Se M 0 è maggirante di A allra in particlare M 0 M equindim è i l m i n d e i maggiranti di A. ii) si dimstra alla stessa maniera di i). iv) suppniam 9 inf A. Se9 min A allra per ii) inf A = mina 2 A. Se M =infa 2 A, per definizine M apple a 8a 2 A e quindi verifica la definizine di min A. iii) si dimstra cme iv). 8

9 Terema (cmpletezza di R). R è cmplet, vver gni su sttinsieme nn vut superirmente limitat ammette estrem superire in R. Nn dimstrerem quest terema. Ntiam sl che Q nn è cmplet (esempi 2 spra). NOTA: ;6= A R ed A inf. lim. Allra 9 inf A. Dimstrazine Definiam A 0 = {x 2 R : x 2 A}. A 0 è s u p. l i m. Q u i n d i 9 sup A 0. Allra sup A 0 =infa. Esempi 1. Trviam, se esistn, sup/inf, max/min dell insieme n 1 A = n : n 2 N,n>0. A è cmpst dai numeri 1, 1 2, 1, 1 4,... Vediam subit che 1 2 A e 1 n apple 1 per gni n 2 N, n>0. Questa è la definizine che ci dice che max A = 1 (e quindi anche sup A = 1). Per quant riguarda il minim e l estrem inferire, vediam che per n grande i numeri 1/n sn piccli. Quest ci suggerisce che 0 sia l estrem inferire. Quest è dimstrat se 8" >0 9a 2 A : a<" (fermatevi a interpretare questa frmula!) vver 8" >0 9n 2 N : 1 n <". Se ci nn fsse esisterebbe ">0 tale che n< 1 " 8n 2 N, vver N sarebbe superirmente limitat (csa che nn è). Chiaramente 0 nn appartiene all insieme A equindia nn ammette minim. 2. Trviam, se esistn, sup/inf, max/min dell insieme n ( 1) n A = n + : n 2 N. Ntiam che ( 1) n =1senèpari e ( 1) n = 1sen è dispari. A è cmpst dai numeri 1, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7, 1 8,... 9

10 Quindi A si può scrivere cme B [ C, dve e n 1 B = n 1 C = 4 1 5, 1 7, , 1 8,... Cme nell esempi precedente si vede che max B =1/ eminc = 1/4. È facile vedere che max A = max B =1/ emina =minc = 1/4. Infatti, per esempi, sup A =sup(b [ C) =supb, dat che gli elementi di C sn tutti negativi.. Trviam, se esistn, sup/inf, max/min dell insieme n A = Im e in : n 2 N. In quest cas, dat che Im e in =sin n, sfruttand la peridicità di sin x basta calclare sl i primi 6 valri n A = sin n n p p : n =1,...,6 = 2, 0,. 2 In quest cas, banalmente max A = p 2, min A = p 2. 10