g(x, y) = b y = h 1 (x), x I 1 oppure x = h 2 (y), y I 2 riconducendosi alla ricerca degli estremanti di una funzione in una sola variabile:

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "g(x, y) = b y = h 1 (x), x I 1 oppure x = h 2 (y), y I 2 riconducendosi alla ricerca degli estremanti di una funzione in una sola variabile:"

Transcript

1 Estremi vincolati Un problema di ottimizzazione vincolata consiste nella ricerca degli estremanti di una funzione in presenza di un vincolo, cioè limitatamente ad un certo sottoinsieme del dominio di f: max f(x, y) ( oppure min f(x, y) ), (x,y) V (x,y) V con V = {(x, y) : g(x, y) = b} domf. L equazione g(x, y) = b è detta equazione di vincolo; concentreremo la nostra attenzione a due possibili casi: vincolo esplicitabile si riesce a scrivere una delle due variabili in funzione dell altra: g(x, y) = b y = h 1 (x), x I 1 oppure x = h (y), y I riconducendosi alla ricerca degli estremanti di una funzione in una sola variabile: f 1 (x) = f(x, h 1 (x)), x I 1 oppure f (y) = f(h (y), y), y I ; vincolo non esplicitabile si può usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, che consiste nella ricerca dei punti critici - non più vincolati - della funzione lagrangiana: L(x, y, λ) = f(x, y) λ(g(x, y) b). In questo caso, una volta individuati i punti critici sul vincolo, per determinarne la natura (massimi o minimi) può essere utile il seguente Teorema 1 (di Weierstrass) Se f : D R n R è continua sull insieme D limitato e chiuso, allora f ammette massimo e minimo assoluti su D. Esercizio. Determinare gli estremi di f(x, y) = x + 3y lungo il vincolo g(x, y) = x 4 + y 9 = 1: a. esplicitando il vincolo; b. con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. 1

2 Soluzione. a. L equazione del vincolo è quella di un ellisse (di semiassi e 3). Può essere espressa in maniera esplicita, ad esempio, attraverso le due funzioni y(x) = ±3 1 x, x [, ], 4 che rappresentano rispettivamente l arco di ellisse nel semipiano delle ordinate positive e quello con ordinate negative, al variare di x nell intervallo indicato. Ma per come sono fatti il vincolo e la funzione da ottimizzare, in questo caso risulta più conveniente ottenere dall equazione del vincolo la relazione: x (y) = 4(1 y ), y [ 3, 3], (1) 9 che, sostituita nella funzione, riconduce al problema nella sola variabile y, di cercare gli estremi di: f(y) = y + 3y, y [ 3, 3]. Si tratta di una parabola con vertice in y = 7 8 > 3 - a destra dell intervallo considerato - e concava: sull intervallo [ 3, 3] è strettamente crescente, e assume i valori minimo e massimo agli estremi, rispettivamente in y = 3 e in y = 3. In corrispondenza di entrambi i valori estremanti di y, dalla relazione (1) otteniamo il valore nullo dell ascissa; pertanto gli estremi vincolati saranno: { f(0, 3) = 9 minimo, f(0, 3) = 9 massimo. b. Scriviamo la lagrangiana del problema: L(x, y, λ) = x + 3y λ( x 4 + y 9 1), i cui punti stazionari sono le soluzioni del sistema: L x = x λ x = 0 L y = 3 + λ 9 y = 0 L λ = ( x 4 + y 9 1) = 0 (eq. del vincolo) Risolvendo le equazioni si giunge al sistema: x = 0 λ = 4 λy = 7 x 4 + y 9 = 1

3 Scegliendo x = 0 nella prima equazione, da quella del vincolo si ottiene y = ±3 e dunque λ = ± 9 : ritroviamo cioè i punti critici (0, ±3). Scegliendo invece nella prima equazione la soluzione λ = 4 si ha y = 7 8 > 3, risultato incompatibile con il vincolo: il sistema non ammette soluzioni. Per stabilire la natura dei punti critici individuati, possiamo ricorrere al Teorema di Weierstrass, applicato alla funzione f, che è continua lungo il vincolo, rappresentato dall insieme {g(x, y) = 1}, limitato e chiuso in R : pertanto gli estremi assoluti della funzione su tale insieme saranno: { f(0, 3) = 9 minimo, f(0, 3) = 9 massimo. Esercizio. Un anello si muove senza attrito lungo un filo piano γ di equazione y = (x 1) 3, sotto l azione di una forza piana (conservativa), definita in ogni punto (tranne il centro) da: x F (x, y) = ( x + y, y x + y ). Determinare i punti di equilibrio stabile per l anello. Soluzione. Ricordando che: una forza è conservativa, per definizione, se ammette una funzione potenziale U(x, y), tale che F = U; per le forze conservative i punti di equilibrio stabile coincidono con i minimi del potenziale U, il problema diventa: a. trovare il potenziale U(x, y); b. individuarne i punti di minimo, vincolati sulla curva γ. a. Non è difficile verificare che la funzione U(x, y) = x + y soddisfa la relazione U = F, cioè è un possibile potenziale. 3

4 b. Cerchiamo i minimi di U lungo γ : {(x, y) : y = (x 1) 3 } (vincolo in forma esplicita): Ũ(x) = U(x, y(x)) = x + (x 1) 6, x R dũ dx = x + 3(x 1)5 x + (x 1) 6 Il segno della derivata è determinato dal numeratore: è positiva se 3(x 1) 5 > x. Confrontando i grafici delle curve y 1 = 3(x 1) 5 e y = x si trova che la disequazione è risolta per x > α, con α (0, 1): Ũ (x) è negativa prima di α e positiva dopo, dunque si tratta dell (unico) punto di minimo cercato. In P (α, (α 1) 3 ) l anello è in equilibrio stabile. significato del moltiplicatore Quando si trova, risolvendo un problema di ottimizzazione vincolata con lagrangiana: L = f λ(g b) un punto estremante (x, y ), il valore assunto in quel punto dalla funzione da ottimizzare - cioè il valore ottimo M = f(x, y ) - dipenderà in generale dal parametro b che definisce il vincolo (e così anche le coordinate ottimali x e y ): M(b) = f(x (b), y (b)). Si può dimostrare che il moltiplicatore di Lagrange λ (soluzione del sistema L = 0, insieme con x e y ) soddisfa la relazione: λ = dm(b). db In altre parole, λ ci dà la variazione subita dal valore ottimo M(b), se si scelgono vincoli diversi all interno della stessa famiglia di curve g(x, y) = b (facendo variare il parametro b). Esercizio. La funzione di produzione di una certa azienda è la seguente: Q(K, L) = 15K 1 3 L 3, che fornisce la quantità di bene prodotto Q, in funzione dell investimento, ripartito nelle due componenti L costo del lavoro e K del capitale. 4

5 a. Si sa che il costo unitario del lavoro è 6 (unità di moneta), quello del capitale è 3: massimizzare la produzione sotto il vincolo di investimento pari a 450 (unità di moneta). Usare il metodo di Lagrange. b. Valutare quale aumento di capitale investito sarebbe necessario per incrementare il massimo di produzione del 10%. Soluzione. a. La spesa totale è data dalla somma delle componenti per il lavoro e per il capitale, e deve essere pari a 450: questo si traduce nell equazione del vincolo 6L + 3K = 450. La lagrangiana risulta: L(K, L, λ) = 15K 1 3 L 3 λ(6l + 3K 450), i cui punti critici sono le soluzioni del sistema: ( ) L K = 5 L 3 K 3λ = 0 ( ) 1 L L = 10 K 3 L 6λ = 0 6L + 3K = 450 cioè il punto (K, L, λ ) = (50, 50, 5 3 ). Si tratta certamente di un massimo, lungo il vincolo: infatti, volendo mantenere K ed L positivi, si deve restringere Q al segmento di retta K = 150 L (nel piano (L, K)) contenuto nel primo quadrante. Tale segmento è descritto al variare di L nell intervallo [0, 150 ]: un insieme limitato e chiuso dove Q(L) = Q(K(L), L) è continua, nulla agli estremi e positiva nell unico punto stazionario trovato: pertanto Q(50, 50) = 750 è un massimo. b. Variando l entità dell investimento totale, si fa variare il vincolo nella famiglia di rette 6L + 3K = b: su ogni retta si trova un valore massimo per la produzione Q max (b), la cui variazione è data dal moltiplicatore di Lagrange λ. Per b = 450 abbiamo ottenuto λ = 5 3 = d db Q max(b). Possiamo stimare b=450 la variazione del massimo di produzione Q max λ b. Volendo avere un incremento Q max = 0, 1 Q max (450) = 75, è necessario incrementare la spesa totale b di b = Q max λ = 45( unità di moneta.) Alternativamente, qualora il significato del moltiplicatore risultasse ancora arcano, si può giungere al risultato seguendo un diverso percorso: 5

6 volendo ottenere un valore ottimo Q max = (1/10) 750 = 85, con investimento b = 3K + 6L da determinarsi, si risolve il problema vincolato con lagrangiana L(K, L, λ) = 15K 1 3 L 3 λ(6l + 3K b), lo stesso del punto a, ma con b incognito. Si giunge al medesimo punto di massimo con K = L, che sostituito nell equazione di vincolo risulta (L, K) = ( b 9, b 9 ). Dunque il massimo di produzione raggiunto in questo punto deve soddisfare: Q( b 9, b 9 ) = Q max = 85, da cui si ricava b = 495 (cioè b = = 45). Esercizio. Trovare gli estremanti vincolati sull iperbole y x = 1 della funzione f(x, y) = x 3 + y 3. Soluzione. Scriviamo la lagrangiana i cui punti stazionari sono dati da: L(x, y, λ) = x 3 + y 3 λ(y x 1), L x = 3x + λx = 0 L y = 3y λy = 0 L λ = (y x 1) = 0 x = 0 x = 3 λ y = 0 y = 3 λ y x = 1 Dei quattro punti che risolvono le prime due equazioni, soltanto (0, λ 3 ) risulta compatibile con il vincolo (cioè risolve anche la terza equazione), fornendo i valori di λ: ( ) λ = 1 λ = ± 3 3. Si ottengono i due punti stazionari P 1 (0, 1) e P (0, 1), ma poiché il vincolo (iperbole) non è un insieme limitato non si può applicare il teorema di Wierstrass per determinarne la natura. Metodo dell hessiana di L: consideriamo la matrice [ ] [ ] Lxx L H L = xy 6x + λ 0 = 0 6y λ L yx L yy 6

7 e valutiamola nei punti critici di L: H L (0, 1, 3 ) = [ 3λ 0 0 3λ H L (0, 1, 3 ) = [ 3λ 0 0 3λ ] ] definita positiva: minimo definita negativa: massimo. nota. Se avessimo confrontato i valori estremi di f (come si fa applicando il teorema di Weierstrass): f(0, 1) = 1 f(0, 1) = 1 massimo? minimo? saremmo giunti a conclusioni errate. Esercizio. Sia f(x, y) = e x x y. a. trovare gli estremi liberi di f; b. trovare gli estremi di f nell insieme D = {(x, y) : x + y 4}. Soluzione. a. Poiché l esponenziale è funzione strettamente crescente, gli estremanti di e g(x,y) coincidono con quelli dell esponente g(x, y) = x x y. Punti stazionari di g(x, y): { gx = x = 0 g y = y = 0 { x = 1 y = 0 Valutiamo l hessiana nell unico punto trovato: [ ] 0 H g (x, y) = = H 0 g (1, 0) è definita negativa, dunque si ha un massimo relativo. b. Essendo D un insieme limitato e chiuso, f ammette certamente massimo e minimo assoluti in D. Studiamo separatamente il comportamento della funzione nei punti interni a D e sul bordo D = {x + y = 4}. Tra i punti interni possiamo cercare eventuali punti stazionari: da a sappiamo che ne esiste soltanto uno in tutto il piano, il punto (1, 0), che è interno a D. Dunque in tale punto avremo un massimo, si tratta di stabilire se relativo o assoluto. Per quanto riguarda la frontiera D, restringendo la funzione a questa circonferenza ci si riconduce a cercare gli estremi in una sola variabile di: f(x) = f(x, y) = {x +y =4} ex 4, x [, ]. 7

8 Si tratta di una funzione continua su un intervallo limitato e chiuso, perciò ammette certamente un massimo e un minimo assoluti: essendo priva di punti stazionari interni all intervallo (è un esponenziale, strettamente crescente), gli estremanti cercati saranno sui bordi: x = ±, in corrispondenza dei quali troviamo i due punti (, 0) e (, 0). Dalle valutazioni di f nei tre punti stazionari trovati si ottiene f(, 0) = e 8 f(, 0) = 1 f(1, 0) = e, dunque gli estremi assoluti sono assunti in (, 0) (minimo) e in (1, 0) (massimo). Il terzo punto, (, 0), che risulta massimo assoluto sul bordo, in D non è né massimo né minimo. Per stabilirlo, basta muoversi verso quel punto in direzione del punto di massimo (1, 0), lungo l asse delle ascisse, e valutare: f( + t, 0) = e g(t), t [ 1, 0], con g(t) = t( + t), decrescente per t [ 1, 0]; in altre parole, arrivando in (, 0) lungo la circonferenza D la funzione f cresce, mentre giungendoci da (1, 0) lungo l asse x la funzione f decresce. 8

= 2x 2λx = 0 = 2y 2λy = 0

= 2x 2λx = 0 = 2y 2λy = 0 ESERCIZI SULLA OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA ESERCIZIO Determinare i punti di massimo e minimo di f x, y = x y soggetta al vincolo x + y = Il vincolo è chiuso e limitato (circonferenza di raggio ) e la funzione

Dettagli

Estremi vincolati, Teorema del Dini.

Estremi vincolati, Teorema del Dini. Estremi vincolati, Teorema del Dini. 1. Da un cartone di 1m si deve ricavare una scatola rettangolare senza coperchio. Trovare il massimo volume possibile della scatola.. Trovare gli estremi assoluti di

Dettagli

Estremi vincolati, Teorema del Dini.

Estremi vincolati, Teorema del Dini. Estremi vincolati, Teorema del Dini. 1. Da un cartone di 1m si deve ricavare una scatola rettangolare senza coperchio. Trovare il massimo volume possibile della scatola.. Trovare gli estremi assoluti di

Dettagli

Estremi. 5. Determinare le dimensioni di una scatola rettangolare di volume v assegnato, che abbia la superficie minima.

Estremi. 5. Determinare le dimensioni di una scatola rettangolare di volume v assegnato, che abbia la superficie minima. Estremi 1. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = e x (x 1)(y 1) + (y 1).. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = y (y + 1) cos x. 3. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = xye x +y..

Dettagli

Corso di Laurea in Informatica/Informatica Multimediale Esercizi Analisi Matematica 2

Corso di Laurea in Informatica/Informatica Multimediale Esercizi Analisi Matematica 2 a.a 2005/06 Corso di Laurea in Informatica/Informatica Multimediale Esercizi Analisi Matematica 2 Funzioni di due variabili a cura di Roberto Pagliarini Vediamo prima di tutto degli esercizi sugli insiemi

Dettagli

Esercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x

Esercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x Esercitazione n 6 1 Massimi e minimi di funzioni di più variabili Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (a)f(x, y) = x 3 + y 3 + xy (b)f(x, y) = 4y 4 16x

Dettagli

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio 1. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti

Dettagli

Analisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica)

Analisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica) COGNOME NOME Matr. Firma dello studente A Tempo: 3 ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni è corretta. Indicatela con una croce. È consentita una sola correzione

Dettagli

FUNZIONI DI DUE VARIABILI REALI. f(x, y) = ax + by + c. f(x, y) = x 2 + y 2

FUNZIONI DI DUE VARIABILI REALI. f(x, y) = ax + by + c. f(x, y) = x 2 + y 2 0.1 FUNZIONI DI DUE VARIABILI REALI Sia A R 2. Una applicazione f : A R si chiama funzione reale di due variabili reali ESEMPI: 1. La funzione affine di due variabili reali: 2. f(x, y) = ax + by + c f(x,

Dettagli

ESERCIZI SU MASSIMI E MINIMI DI FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI. m(x, y, z) = (2x 2 + y 2 )e x2 y 2, f(x, y) = (y x 2 )(y x2. f(x, y) = x 3 + (x y) 2,

ESERCIZI SU MASSIMI E MINIMI DI FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI. m(x, y, z) = (2x 2 + y 2 )e x2 y 2, f(x, y) = (y x 2 )(y x2. f(x, y) = x 3 + (x y) 2, ESERCIZI SU MASSIMI E MINIMI DI FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI VALENTINA CASARINO Esercizi per il corso di Analisi Matematica, (Ingegneria Gestionale, dell Innovazione del Prodotto, Meccanica e Meccatronica,

Dettagli

Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 2 Secondo compito in itinere 30 Giugno 2016

Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 2 Secondo compito in itinere 30 Giugno 2016 Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Secondo compito in itinere Giugno 6 Cognome: Nome: Matricola: Es.: 9 punti Es.: 9 punti Es.: 6 punti Es.4: 9 punti Totale. Si consideri

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE II

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE II ISTITUZIONI DI MATEMATIHE II SEONDO ESONERO Esercizio 1. Data la funzione f(x, y) = (x + y )(1 y) i) se ne studi il segno. ii) Si trovino i punti critici di f e se ne studi le natura. iii) Sia D = {(x,

Dettagli

Esercizi su estremi vincolati e assoluti

Esercizi su estremi vincolati e assoluti Esercizi su estremi vincolati e assoluti Esercizio 1. di sul quadrato Determinare i punti di minimo e di massimo (e i relativi valori di minimo e massimo) assoluto f(x, y) = x cos(πy) Q = [0, 1] [0, 1].

Dettagli

Esercizi di ottimizzazione vincolata

Esercizi di ottimizzazione vincolata Esercizi di ottimizzazione vincolata A. Agnetis, P. Detti Esercizi svolti 1 Dato il seguente problema di ottimizzazione vincolata max x 1 + x 2 x 1 4x 2 3 x 1 + x 2 2 0 x 1 0 studiare l esistenza di punti

Dettagli

Derivata di una funzione

Derivata di una funzione Derivata di una funzione Prof. E. Modica http://www.galois.it erasmo@galois.it Il problema delle tangenti Quando si effettua lo studio delle coniche viene risolta una serie di esercizi che richiedono la

Dettagli

Svolgimento. f y (x, y) = 8 y 2 x. 1 x 2 y = 0. y 2 x = 0. (si poteva anche ricavare la x dalla seconda equazione e sostituire nella prima)

Svolgimento. f y (x, y) = 8 y 2 x. 1 x 2 y = 0. y 2 x = 0. (si poteva anche ricavare la x dalla seconda equazione e sostituire nella prima) Università degli Studi della Basilicata Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche Matematica II A. A. 2013-2014 (dott.ssa Vita Leonessa) Esercizi svolti: Ricerca di massimi e minimi di funzioni a

Dettagli

Massimi e minimi vincolati

Massimi e minimi vincolati Massimi e minimi vincolati Vedremo tra breve un metodo per studiare il problema di trovare il minimo e il massimo di una funzione su di un sottoinsieme dello spazio ambiente che non sia un aperto. Abbiamo

Dettagli

Ottimizzazione vincolata

Ottimizzazione vincolata Luciano Battaia Questi appunti (1), ad uso degli studenti del corso di Matematica (A-La) del corso di laurea in Commercio Estero dell Università Ca Foscari di Venezia, campus di Treviso, contengono un

Dettagli

Massimi e minimi vincolati

Massimi e minimi vincolati Massimi e minimi vincolati Sia f una funzione differenziabile, definita su un aperto A di R N. Se K è un sottoinsieme chiuso e limitato di A, per il teorema di Weierstrass f assume massimo e minimo su

Dettagli

Massimi e minimi vincolati

Massimi e minimi vincolati Massimi e minimi vincolati Data una funzione G C 1 (D), dove D è un aperto di R 2, sappiamo bene dove andare a cercare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi. Una condizione necessaria affinché

Dettagli

Analisi 4 - SOLUZIONI (compito del 29/09/2011)

Analisi 4 - SOLUZIONI (compito del 29/09/2011) Corso di laurea in Matematica Analisi 4 - SOLUZIONI compito del 9/09/0 Docente: Claudia Anedda Calcolare, tramite uno sviluppo in serie noto, la radice quinta di e la radice cubica di 9 Utilizzando la

Dettagli

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott.

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott. Università di Trieste Facoltà d Ingegneria Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica Dott Franco Obersnel Lezione 8: estremi vincolati Esercizio 1 Scomporre il numero 411 nella

Dettagli

La ricerca di punti di estremo assoluto

La ricerca di punti di estremo assoluto La ricerca di punti di estremo assoluto Riccarda Rossi Università di Brescia Analisi Matematica B Riccarda Rossi (Università di Brescia) Estremi assoluti (I) Analisi Matematica B 1 / 29 Richiami di teoria

Dettagli

Analisi II, a.a Soluzioni 5

Analisi II, a.a Soluzioni 5 Analisi II, a.a. 2017-2018 Soluzioni 5 1) Sia E un sottoinsieme chiuso e limitato di R n e x R n un punto qualunque. Chiamiamo d(x, E) = inf{d(x, y): y E} la distanza di x da E. Dimostrare che esiste un

Dettagli

Soluzione. Il dominio E consiste nella parte di spazio contenuta nella sfera ma esterna al cono rappresentata in Figura 1. Infatti

Soluzione. Il dominio E consiste nella parte di spazio contenuta nella sfera ma esterna al cono rappresentata in Figura 1. Infatti Esercizio 1 (G. Ziglio). (6 punti) Calcolare il volume della porzione di spazio E interna alla sfera di equazione x 2 + y 2 + z 2 = 1 ed esterna al cono di equazione z 2 = x 2 + y 2 E = (x, y, z) R x 2

Dettagli

ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA DIP. DI ECONOMIA E MANAGEMENT DI FERRARA A.A. 2017/2018

ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA DIP. DI ECONOMIA E MANAGEMENT DI FERRARA A.A. 2017/2018 ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA DIP. DI ECONOMIA E MANAGEMENT DI FERRARA A.A. 017/018 File esercizi n. 6: ottimizzazione con vincoli di disuguaglianza e teorema di Weierstrass Esercizio

Dettagli

Alcuni esercizi risolti da esami di anni passati

Alcuni esercizi risolti da esami di anni passati Alcuni esercizi risolti da esami di anni passati Andrea Braides ( x. Calcolare, se esiste, il limite lim (x,y (, x + y log + y + x 3 y. x + y Dato che log( + s = s + o(s per s, abbiamo lim (x,y (, ( x

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del y 2

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del y 2 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 15--18 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.

Dettagli

ANALISI B alcuni esercizi proposti

ANALISI B alcuni esercizi proposti ANALISI B alcuni esercizi proposti G.P. Leonardi Parte II 1 Limiti e continuità per funzioni di 2 variabili Esercizio 1.1 Calcolare xy log(1 + x ) lim (x,y) (0,0) 2x 2 + 5y 2 Esercizio 1.2 Studiare la

Dettagli

FM1 - Equazioni differenziali e meccanica

FM1 - Equazioni differenziali e meccanica Corso di laurea in Matematica - Anno Accademico 2006/2007 FM1 - Equazioni differenziali e meccanica Prima prova d esonero (03-04-2006) CORREZIONE Esercizio 1. Lo spettro Σ(A) della matrice A si trova risolvendo

Dettagli

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno. 1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre

Dettagli

ANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 24/10/2012

ANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 24/10/2012 ANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 4/10/01 Esercizio 1 Dimostrare che l equazione F (x, y) =e tan(x+y) x 3y 1 = 0 definisce implicitamente in un intorno di (0, 0) una funzione y = f(x) tale che F

Dettagli

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x. Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

Soluzione della prova scritta di Analisi Matematica II del 15 Aprile 2009 (Ingegneria Edile e Architettura)

Soluzione della prova scritta di Analisi Matematica II del 15 Aprile 2009 (Ingegneria Edile e Architettura) Soluzione della prova scritta di Analisi Matematica II del 5 Aprile 009 Ingegneria Edile e Architettura x. Calcolare J = ds essendo γ la curva ottenuta intersecando γ + y il cilindro di equazione x + y

Dettagli

COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA A.A Primo appello del 5/5/2010

COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA A.A Primo appello del 5/5/2010 COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA A.A. 29- Primo appello del 5/5/2 Qui trovate le tracce delle soluzioni degli esercizi del compito. Ho tralasciato i calcoli da Analisi (che comunque sono parte della risoluzione),

Dettagli

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Es. Es. Es. Es. 4 Totale Analisi e Geometria Seconda prova in itinere Docente: luglio Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta dev essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = log(1 + x 2 y) lim x 2 x

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = log(1 + x 2 y) lim x 2 x Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del -7-14 Esercizio 1. (14 punti) Data la funzione = log(1 + x y) i) determinare il dominio e studiare l esistenza del ite (x,y) (,) x x ii)

Dettagli

Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici

Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici ANALISI MATEMATICA T- (C.d.L. Ing. per l ambiente e il territorio) - COMPL. DI ANALISI MATEMATICA (A-K) (C.d.L. Ing. Civile) A.A.008-009 - Prof. G.Cupini Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici

Dettagli

7.4 Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange

7.4 Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange 4 7.4 Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange Sia f (,,, n ) una funzione delle n variabili,,, n, supponiamo che esse non siano indipendenti, cioè che siano legate da p < n equazioni: ϕ(,,,

Dettagli

ESERCIZI MATEMATICA GENERALE - Canale III Prof. A. Fabretti 1 A.A. 2009/2010

ESERCIZI MATEMATICA GENERALE - Canale III Prof. A. Fabretti 1 A.A. 2009/2010 ESERCIZI MATEMATICA GENERALE - Canale III Prof. A. Fabretti 1 A.A. 2009/2010 Individuare il dominio e i punti stazionari delle seguenti funzioni a due variabili 1) f(x, y) = x 3 + 8y 3 3xy 2) f(x, y) =

Dettagli

ESERCIZIO SVOLTO N 1 ESERCIZIO SVOLTO N 2. Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione

ESERCIZIO SVOLTO N 1 ESERCIZIO SVOLTO N 2. Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione ESERCIZIO SVOLTO N 1 Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione f(x, y) = y 2 x 2 Trovare gli eventuali punti stazionari e gli estremi di f Il dominio della funzione è dato da dom

Dettagli

INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE ESERCITAZIONI DI ANALISI C SETTIMANA 3 GRAFICO DI UNA FUNZIONE DI PIÙ VARIABILI ,,,,

INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE ESERCITAZIONI DI ANALISI C SETTIMANA 3 GRAFICO DI UNA FUNZIONE DI PIÙ VARIABILI ,,,, GRFICO DI UN FUNZIONE DI PIÙ VRIBILI n Sia f : una funzione data. Si definisce grafico della funzione f l insieme 1, n Gf f x x x. Il grafico è un sottoinsieme di In particolare per una funzione di due

Dettagli

Risoluzione del compito n. 1 (Febbraio 2018/1)

Risoluzione del compito n. 1 (Febbraio 2018/1) Risoluzione del compito n. Febbraio 8/) PROBLEMA Considerate la curva Φθ) = rθ)cosθ, rθ)senθ, θ/ ), θ. a) Determinate la funzione rθ) in modo che il sostegno di Φ stia sulla superficie conica C = {z =

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del f(x, y) = x 2 + 2y 2 x 3 y 3

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del f(x, y) = x 2 + 2y 2 x 3 y 3 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del 7-7-8 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.

Dettagli

TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea (quadriennale) in Fisica a.a. 2002/03

TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea (quadriennale) in Fisica a.a. 2002/03 I seguenti quesiti ed il relativo svolgimento sono coperti dal diritto d autore, pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale senza autorizzazione esplicita

Dettagli

(a) Le derivate parziali f x. f y = x2 + 2xy + 3 si annullano contemporaneamente in (1, 2) e ( 1, 2). Le derivate seconde di f valgono.

(a) Le derivate parziali f x. f y = x2 + 2xy + 3 si annullano contemporaneamente in (1, 2) e ( 1, 2). Le derivate seconde di f valgono. Esercizio 1 Si consideri la funzione f(x, y) = x 2 y + xy 2 + y (a) Determinare i punti di massimo e minimo relativo e di sella del grafico di f. (b) Determinare i punti di massimo e minimo assoluto di

Dettagli

Lo studio di funzione. 18 febbraio 2013

Lo studio di funzione. 18 febbraio 2013 Lo studio di funzione 18 febbraio 2013 1 Indice 1 Lo studio di funzione 3 1.1 Dominio di funzioni......................... 3 1.1.1 Domini di funzioni elementari............... 3 1.1.2 Funzioni composte,

Dettagli

h (y) = e y2 (1 2y 2 )

h (y) = e y2 (1 2y 2 ) . Sia f(x, y = (x+ye x y. eterminare gli estremi assoluti di f nel triangolo chiuso di vertici (0, 0, (a, a, (0, a ( a. Soluzione Poniamo O = (0, 0, A = (a, a, B = (0, a. Il triangolo giace nel primo quadrante

Dettagli

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE DERIVATE E LORO APPLICAZIONE SIMONE ALGHISI 1. Applicazione del calcolo differenziale 1 Abbiamo visto a lezione che esiste un importante legame tra la continuità di una funzione y = f(x) in un punto x

Dettagli

Funzioni implicite - Esercizi svolti

Funzioni implicite - Esercizi svolti Funzioni implicite - Esercizi svolti Esercizio. È data la funzione di due variabili F (x, y) = y(e y + x) log x. Verificare che esiste un intorno I in R del punto di ascissa x 0 = sul quale è definita

Dettagli

Argomento 7. Studio di funzione

Argomento 7. Studio di funzione Argomento 7 Studio di funzione Studiare una funzione significa ottenere, mediante strumenti analitici (iti, derivate, ecc.) informazioni utili a disegnare un grafico qualitativo della funzione data. I

Dettagli

Esercizi sulle funzioni di due variabili: parte II

Esercizi sulle funzioni di due variabili: parte II ANALISI MATEMATICA T- (C.d.L. Ing. per l ambiente e il territorio) A.A.009-00 - Università di Bologna - Prof. G.Cupini Esercizi sulle funzioni di due variabili: parte II (Grazie agli studenti del corso

Dettagli

A Analisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica) Simulazione compito d esame

A Analisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica) Simulazione compito d esame COGNOME NOME Matr. Firma dello studente A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica) Simulazione compito Tempo: ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni

Dettagli

, per cui le due curve f( x)

, per cui le due curve f( x) DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Pagina di 9 eas matematica http://spazioinwind.libero.it/adolscim DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Dal grafico della funzione f( x ) al grafico della funzione

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 8--7 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del xy + 2x + 2y + 2xy + 2x + 2y + sin

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del xy + 2x + 2y + 2xy + 2x + 2y + sin Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 9--8 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.

Dettagli

LA STRUTTURA DEI PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE. L'ipotesi di razionalità implica che un decisore cerchi di

LA STRUTTURA DEI PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE. L'ipotesi di razionalità implica che un decisore cerchi di LA STRUTTURA DEI PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE L'ipotesi di razionalità implica che un decisore cerchi di individuare la migliore tra tutte le alternative a sua disposizione. Problemi di ottimizzazione =

Dettagli

ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA DIP. DI ECONOMIA E MANAGEMENT DI FERRARA A.A. 2016/2017. Ottimizzazione libera

ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA DIP. DI ECONOMIA E MANAGEMENT DI FERRARA A.A. 2016/2017. Ottimizzazione libera ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA DIP. DI ECONOMIA E MANAGEMENT DI FERRARA A.A. 2016/2017 Ottimizzazione libera Esercizio 1. Si determinino, se esistono, gli estremi delle seguenti funzioni

Dettagli

Si calcoli Il dominio della seguente funzione e lo si rappresenti nel piano cartesiano ( ) ( ) ( )

Si calcoli Il dominio della seguente funzione e lo si rappresenti nel piano cartesiano ( ) ( ) ( ) UNIVERSITA DEGLI STUDI DEL MOLISE Prova scritta del 02/09/2014 Analisi Matematica Corso di studi in Ingegneria edile Prof. R. Capone I modulo ES.1 Studiare la seguente funzione e rappresentarla graficamente

Dettagli

ESERCITAZIONE SUI PUNTI STAZIONARI DI FUNZIONI LIBERE E SULLE FUNZIONI OMOGENEE

ESERCITAZIONE SUI PUNTI STAZIONARI DI FUNZIONI LIBERE E SULLE FUNZIONI OMOGENEE ESERCITAZIONE SUI PUNTI STAZIONARI DI FUNZIONI LIBERE E SULLE FUNZIONI OMOGENEE 1 Funzioni libere I punti stazionari di una funzione libera di più variabili si ottengono risolvendo il sistema di equazioni

Dettagli

Massimi e minimi vincolati in R 2 - Esercizi svolti

Massimi e minimi vincolati in R 2 - Esercizi svolti Massimi e minimi vincolati in R 2 - Esercizi svolti Esercizio 1. Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione f(x, y) = 2x + 3y vincolati alla curva di equazione x 4 + y 4 = 1. Esercizio 2. Determinare

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito A del f(x, y) = x 2 + y 2

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito A del f(x, y) = x 2 + y 2 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito A del -7- - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche quelli della brutta. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio.

Dettagli

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio. Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = log 1 + (x y 2 ) x 2.

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = log 1 + (x y 2 ) x 2. Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 7-7-6 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio.

Dettagli

ANALISI MATEMATICA 2 ING. GESTIONALE prof. Daniele Andreucci Prova tecnica del 17/01/2017

ANALISI MATEMATICA 2 ING. GESTIONALE prof. Daniele Andreucci Prova tecnica del 17/01/2017 I.1 ANALISI MATEMATICA 2 ING. GESTIONALE prof. Daniele Andreucci Prova tecnica del 17/01/2017 1. Trovare il minimo e il massimo assoluti, e i punti di estremo a essi relativi, della funzione nell insieme

Dettagli

Prima parte: DOMINIO E INSIEMI DI LIVELLO

Prima parte: DOMINIO E INSIEMI DI LIVELLO FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 Prima parte: DOMINIO E INSIEMI DI LIVELLO Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi

Dettagli

Soluzioni del compito di Istituzioni di Matematiche/Matematica per Chimica F45 e F5X (10/2/11)

Soluzioni del compito di Istituzioni di Matematiche/Matematica per Chimica F45 e F5X (10/2/11) Soluzioni del compito di Istituzioni di Matematiche/Matematica per Chimica F5 e F5X (//). La funzione f(x) = x 3x x + (a) èdefinita purché l argomento della radice sia non negativo cioè perx 3x : quindi

Dettagli

Prima prova in Itinere Ist. Mat. 1, Prima parte, Tema ALFA COGNOME: NOME: MATR.:

Prima prova in Itinere Ist. Mat. 1, Prima parte, Tema ALFA COGNOME: NOME: MATR.: Prima prova in Itinere Ist. Mat. 1, Prima parte, Tema ALFA 1) L applicazione lineare f : R 3 R 2 data da f(x, y, z) = (3x + 2y + z, kx + 2y + kz) è suriettiva A: sempre; B: mai; C: per k 1 D: per k 2;

Dettagli

y (b) f(x, y) = y log x sin x (c) f(x, y) = tan y (d) f(x, y) = e x y (f) f(x, y) = cos(x 2 + y 2 )

y (b) f(x, y) = y log x sin x (c) f(x, y) = tan y (d) f(x, y) = e x y (f) f(x, y) = cos(x 2 + y 2 ) FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. Siano date le seguenti funzioni: (a) f(x, y) = 3x + y (c) h(x, y) = x y (b) g(x, y) = xy (d) k(x, y) = x + y Determinare e disegnare nel piano cartesiano il dominio delle funzioni

Dettagli

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15 Tutorato di Analisi - AA 0/5 Emanuele Fabbiani maggio 05 Estremi vincolati.. Ricerca di estremi vincolati. Per risolvere gli esercizi di ottimizzazione vincolata è innanzitutto essenziale prestare attenzione

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = tan(2x 2 + 3y 2 )

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = tan(2x 2 + 3y 2 ) Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 7-9- - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2007 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2007 Sessione suppletiva ESAME DI STAT DI LIE SIENTIFI RS DI RDINAMENT 7 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Rispetto a un sistema di assi cartesiani

Dettagli

Compito di matematica Classe III ASA 23 aprile 2015

Compito di matematica Classe III ASA 23 aprile 2015 Compito di matematica Classe III ASA 3 aprile 015 A. Descrivere mediante un opportuno sistema di disequazioni nelle variabili x e y la parte di piano colorata: A1 A A1: y 1 x + x 1 4 x y 0 A: x 4 + y 9

Dettagli

Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II. Padova, 19.9.

Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II. Padova, 19.9. Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II Padova, 19.9.2016 Si svolgano i seguenti esercizi facendo attenzione a giustificare

Dettagli

a) Il denominatore dev essere diverso da zero. Studiamo il trinomio x 2 5x + 6. Si ha: x 1,2 = 5 ± se x ], 2[ ]3, + [;

a) Il denominatore dev essere diverso da zero. Studiamo il trinomio x 2 5x + 6. Si ha: x 1,2 = 5 ± se x ], 2[ ]3, + [; ESERCIZIO - Data la funzione f (x) + x2 2x x 2 5x + 6, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; (2 punti) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire se f ha asintoti

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

f(x) := 1 10 x g(x) := f(x) x = 1 x + 100

f(x) := 1 10 x g(x) := f(x) x = 1 x + 100 PROBLEMA. Dal momento che la spesa totale mensile data dalla somma del canone mensile e della spesa dovuta alle telefonate al minuto, indicando con x i minuti di conversazione ed f : R + R + la funzione

Dettagli

COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA Funzioni di due variabili Classe 5ª D. Fila A

COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA Funzioni di due variabili Classe 5ª D. Fila A Esercizio 1 Determinare il dominio della seguente funzione: COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA Funzioni di due variabili Classe 5ª D Fila A (a) f (, ln( + 4 Esercizio Calcolare le derivate parziali delle

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi

Dettagli

Appunti delle esercitazioni di Ricerca Operativa

Appunti delle esercitazioni di Ricerca Operativa Appunti delle esercitazioni di Ricerca Operativa a cura di P. Detti 1 Esercizi sulle condizioni di ottimalitµa per problemi di ottimizzazione vincolata Esempio 1 Determinare il punto di intersezione dei

Dettagli

Analisi Matematica III modulo Soluzioni della prova scritta preliminare n. 2

Analisi Matematica III modulo Soluzioni della prova scritta preliminare n. 2 Analisi Matematica III modulo Soluzioni della prova scritta preliminare n. Corso di laurea in Matematica, a.a. 003-004 17 dicembre 003 1. Si consideri la funzione f : R R definita da f(x, y) = x 4 y arctan

Dettagli

Esame di Analisi Matematica 2 24/7/2013 Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Energetica A.A. 2012/2013

Esame di Analisi Matematica 2 24/7/2013 Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Energetica A.A. 2012/2013 Esame di Analisi Matematica 4/7/013 Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Energetica A.A. 01/013 A Cognome (in STAMPATELLO):... Nome (in STAMPATELLO):... CFU:... Esercizio 1. Sia f : R R una funzione

Dettagli

1 Esercitazione sul metodo dei moltiplicatori di Lagrange

1 Esercitazione sul metodo dei moltiplicatori di Lagrange Corso di Analisi e Geometria. Maggio 011 (Docenti: F. Lastaria, M. Citterio, M. Saita). 1 Esercitazione sul metodo dei moltiplicatori di Lagrange 1.1 Massimi e minimi di una funzione su una varietà Sia

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d Esame (04/0/00) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 009/0 Matematica e Statistica Prova d Esame di MATEMATICA (04/0/00) Università di Verona - Laurea in

Dettagli

Funzioni derivabili (V. Casarino)

Funzioni derivabili (V. Casarino) Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

Primi esercizi sulla ricerca di punti di estremo assoluto

Primi esercizi sulla ricerca di punti di estremo assoluto Primi esercizi sulla ricerca di punti di estremo assoluto Riccarda Rossi Università di Brescia Analisi II Riccarda Rossi (Università di Brescia) Esercizi su estremi assoluti (I) Analisi II 1 / 42 Richiami

Dettagli

Risoluzione del compito n. 5 (Luglio 2018/2)

Risoluzione del compito n. 5 (Luglio 2018/2) Risoluzione del compito n. 5 (Luglio 2018/2) PROBLEMA 1 Considerate il luogo di zeri S = {(x, y, z) R 3 : z 4+ x 2 + y 2 =0, 2x y + z =0}. a) Giustificando la risposta, dite se S è una curva liscia. b)

Dettagli

Analisi Vettoriale - Primo esonero - 26 ottobre 2006

Analisi Vettoriale - Primo esonero - 26 ottobre 2006 Analisi Vettoriale - Primo esonero - 26 ottobre 26 Esercizio 1. ia F (x, y) = e xy + x 2 y 2x 2y + 1. a) imostrare che l equazione F (x, y) = definisce implicitamente, in un intorno del punto P = (1, ),

Dettagli

Verifica del 8 febbraio 2018

Verifica del 8 febbraio 2018 Verifica del 8 febbraio 018 Esercizio 1 (15 punti) Risolvi le seguenti disequazioni: 1 x 1 a) x + 6x + 8 x 3 b) x + 1 + 1 c) d) Esercizio (0 punti) 3 x 8 x 4 x 3 ax 9 Considera la funzione f ( x) = x 3x

Dettagli

Secondo parziale di Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a , compito A prof. Gianluca Amato

Secondo parziale di Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a , compito A prof. Gianluca Amato Corso di Laurea in Economia e Management Secondo parziale di Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a. 216 217, compito A prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta

Dettagli

Matematica - Prova d esame (25/06/2004)

Matematica - Prova d esame (25/06/2004) Matematica - Prova d esame (/6/4) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie AI - A.A. /4. (a) Disegnare sul piano di Gauss i numeri z = i e w = i, e scriverne la forma trigonometrica. Calcolare z

Dettagli

LUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2010/2011

LUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2010/2011 LUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 1/11 Corso di Metodi Matematici per la Finanza Prof. Fausto Gozzi, Dr. Davide Vergni Soluzioni esercizi 4,5,6 esame scritto del 13/9/11

Dettagli

Condizioni di Karush-Kuhn-Tucker e Programmazione Lineare

Condizioni di Karush-Kuhn-Tucker e Programmazione Lineare Condizioni di Karush-Kuhn-Tucker e Programmazione Lineare A. Agnetis 1 Richiami su condizioni di Karush-Kuhn-Tucker e convessità Si consideri il problema di ottimizzazione vincolata: min f(x) (1) x X R

Dettagli

Studi di funzione. D. Barbieri. Studiare comportamento asintotico e monotonia di. f(x) = 1 x x4 + 4x e x

Studi di funzione. D. Barbieri. Studiare comportamento asintotico e monotonia di. f(x) = 1 x x4 + 4x e x Studi di funzione D. Barbieri Esercizi Esercizio Esercizio Studiare comportamento asintotico e monotonia di f(x) = x + x4 + 4x Studiare il comportamento asintotico di f(x) = + x x + + e x Esercizio 3 Determinare

Dettagli

Si tratta di una funzione definita a tratti, il cui intervallo di definizione è suddiviso in 4 intervalli, AO-OB-BC- CD.

Si tratta di una funzione definita a tratti, il cui intervallo di definizione è suddiviso in 4 intervalli, AO-OB-BC- CD. PROBLEMA 1 Sia una funzione continua sull intervallo chiuso [-4, 6]. Il suo grafico, riportato in figura, passa per i punti A(-4;0), O(0,0),B(2;2), C(4;2), D(6;0) e consiste della semicirconferenza di

Dettagli

Appunti di Matematica

Appunti di Matematica Appunti di Matematica Funzioni economiche problemi di ottimizzazione Massimo Pasquetto IPSEOA Angelo Berti classe 5AS 16-17 febbraio 2017 massimo pasquetto Appunti di Matematica 16-17 febbraio 2017 1 /

Dettagli

Analisi Matematica IV modulo Soluzioni prova scritta preliminare n. 1

Analisi Matematica IV modulo Soluzioni prova scritta preliminare n. 1 Analisi Matematica IV modulo Soluzioni prova scritta preliminare n. 1 Corso di laurea in Matematica, a.a. 2005-2006 27 aprile 2006 1. Disegnare approssimativamente nel piano (x, y) l insieme x 4 6xy 2

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA ANALISI MATEMATICA I MODULO, I E II MODULO, II MODULO II PROVA SCRITTA DI GENNAIO 2006: SOLUZIONI

CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA ANALISI MATEMATICA I MODULO, I E II MODULO, II MODULO II PROVA SCRITTA DI GENNAIO 2006: SOLUZIONI CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA ANALISI MATEMATICA I MODULO, I E II MODULO, II MODULO II PROVA SCRITTA DI GENNAIO 2006: SOLUZIONI Notiamo che lo studio delle funzioni assegnate f,..., f 4 si riduce a considerare

Dettagli

Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientifico comunicazione opzione sportiva Tema di matematica

Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientifico comunicazione opzione sportiva Tema di matematica Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientifico comunicazione opzione sportiva Tema di matematica Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario

Dettagli