Fondamenti di Comunicazioni - A.A. 2008/2009 Appello parte di TEORIA

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1 Fondamenti di Comunicazioni - A.A. 2008/2009 Appello parte di TEORIA Teoria 1. [6 pt.] Con riferimento alle modulazioni numeriche lineari M-arie si consideri la seguente regola di decisione per sequenze di simboli di lunghezza K: { + } ĉ = arg min c I c z(t) s(t, c) 2 dt dove z(t) è l inviluppo complesso del segnale ricevuto sul canale AWGN ed s(t, c) è del tipo s(t, c) = K 1 k=0 c kg(t kt ). Si dimostri che, nell ipotesi in cui si ricorra ad impulsi g(t) che verificano la condizione di Nyquist è possibile pervenire ad una regola di decisione ottima simbolo per simbolo. Tracciare uno schema a blocchi del ricevitore ottimo simbolo per simbolo ottenuto al passo precedente. Teoria 2. [5 punti] Si descriva in dettaglio la tecnica di modulazione AM convenzionale, evidenziandone i principali vantaggi e svantaggi rispetto alla modulazione DSB-SC AM. Si fornisca un possibile schema di ricevitore. Si disegni lo spettro di densità di potenza del segnale modulato quando la PSD del segnale modulante s(t) è quella di Fig. 1 con B = 20 khz e la potenza in trasmissione P T = 12 W, nell ipotesi di efficienza massima teorica, fornendo i valori numerici di tutte le componenti (frequenze e livelli di PSD). Teoria 3. [4 punti] Si definisca il concetto di efficienza in banda η per le modulazioni M-arie lineari e ortogonali viste a lezione, fornendo per ciascuna di esse la relazione simbolica che lega η a M. Si confrontino qualitativamente le due classi di modulazione M-aria lineari e ortogonali in termini di efficienza in banda e in potenza nei due casi M = 2 e M molto elevato. S s (f) D -B -B/4 +B/4 +B f Figure 1: PSD del segnale s(t). 1

2 Fondamenti di Comunicazioni - A.A. 2008/2009 Appello parte di ESERCIZI Note: nello svolgimento di ciascun esercizio si renda esplicita ogni eventuale assunzione o ipotesi aggiuntiva, nel rispetto dei dati di progetto. Si richiamano nelle note 1 2 i valori numerici di alcune grandezze che potrebbero essere utili allo svolgimento degli esercizi. Esercizio 1. [5 punti] Si considera un collegamento trasmissivo numerico in cavo costituito da N = 10 tratte identiche, ciascuna di lunghezza d = 40 Km, con rigenerazione del segnale numerico in ogni sezione intermedia. Il cavo utilizzato è caratterizzato da un coefficiente di attenuazione α = 2.5 db/km. La figura di rumore di ciascun rigeneratore è F = 3.7 db. Per semplicità si assume che la banda equivalente di rumore di ciascuno stadio è esattamente uguale alla banda del segnale modulato e che tutti gli apparati siano a temperatura T 0 = 290 K. La potenza massima di trasmissione su ciascuna tratta è pari a 40 dbm e si adotta una modulazione binaria antipodale. Il vincolo di progetto è di mantenere la probabilità totale di errore sul bit lungo l intero collegamento (end-to-end BER) al di sotto del valore limite Calcolare il valore massimo del bitrate R max che è possibile trasmettere su tale collegamento nel rispetto del vincolo e dei dati di progetto. Quale sarebbe il valore teorico di BER se si trasmettesse un flusso numerico a ritmo doppio 2R max? Esercizio 2. [5 punti] Si considera un segnale analogico r(t) di banda monolatera B = 15 khz e distribuzione uniforme di ampiezza nell intervallo [ 1, +1]. Tale segnale viene trasmesso in modulazione FM da un antenna omnidirezionale con potenza di trasmissione P T = 25 W e indice di modulazione β = 6.5 sulla frequenza portante f c = 400 MHz. Si considera un ricevitore dotato di antenna parabolica di diametro D = 150 cm puntata verso l antenna trasmittente è posto ad una distanza d e con densità spettrale di rumore in ingresso al ricevitore N 0 = W/Hz. Calcolare i) l occupazione spettrale del segnale modulato e ii) la distanza massima d max a cui è possibile porre il ricevitore nel rispetto del vincolo SNR D 20 db, dove SNR D indica il rapporto segnale-rumore a valle del demodulatore. Come cambierebbero le risposte se si considerasse un antenna di ricezione omnidirezionale. Esercizio 3. [3 punti] Un segnale analogico m(t) di banda monolatera B m = 30 khz viene inserito in ingresso ad un ADC configurato con frequenza di campionamento f 1 = 100 khz e codifica a n 1 = 11 bit/campione. In questo scenario si ottiene un SQNR di 20.5 db. Dire se è possibile trovare una diversa combinazione dei parametri dell ADC frequenza di campionamento f 2 e numero di bit/campione n 2 in modo da garantire un SQNR non inferiore a 50 db e un bitrate di uscita non superiore a 1 Mbps. Giustificare le risposte. 1 Il valore della costante di Boltzmann: k = J/K. 2 Il guadagno di un antenna parabolica è legato al diametro dell antenna e alla lunghezza d onda di lavoro dalla relazione G = η πd λ 2 con 0.5 η

3 Esercizio 4. [3 punti] Si considera una sorgente DMS che genera valori casuali da un alfabeto ternario X(k) { 1, 0, +1} con p 0 = 0.9 e p 1 = p +1. Si fornisca un codice ottimo C 1 per la codifica simbolo a simbolo e un codice ottimo C 2 per la codifica di blocchi di dimensione L = 2. Per ciascuno di essi si fornisca il valore di efficienza. Figure 2: Probabilità di errore sul bit per modulazioni binarie. 3

4 Appello Soluzioni agli ESERCIZI Soluzione Esercizio 1. Se indichiamo con p i la probabilità di errore sulla tratta i-esima, la p. di errore totale attraverso la serie di N tratte di rigenerazione identiche è circa uguale a p e2e i p i = Np i (l approssimazione è valida se p i << 1, come in questo caso), perchè ciascun bit ha N possibilità di essere decodificato erroneamente lungo il collegamento, una per ogni sezione di rigenerazione (che include ovviamente un modulo di rivelazione di bit). Quindi per rispettare il vincolo p e2e 10 5 dobbiamo porre la p. di errore sulla singola tratta p i p e2e /N = 10 6, a cui corrisponde da Fig. 2 un valore di contrasto di energia o equivalentemente SNR a ciascun rigeneratore almeno pari a 10.5 db: ε = P R 10.5 db (1) N 0 P N che si sviluppa ricordando che (con ovvio significato dei simboli) P R = P T L d (2) dove L d indica l attenuazione da percorso: il suo valore in db è espresso da L d db = αd = = 100 db. La potenza di rumore da considerare è P N = F kt 0 B neq = F kt 0 R max (3) dove si è utilizzata l equivalenza B neq = R max tra la banda equivalente di rumore e il bitrate di trasmissione (caso ideale). Si noti che il ricevitore si assume a temperatura standard T 0, la stessa per la quale si definisce la Figura di Rumore. Con tali posizioni e passando ai db, la eq. (1) si riscrive: in db: P T db L d db R max db (kt 0 ) db F db 10.5 (4) passiamo ai valori numerici, ricordando che P T = 40 dbm = 10 db (perchè?), che (kt 0 ) db = 10 log 10 kt 0 = 204 db R max db R max db 99.8 (5) da cui si R max = , ovvero R max 9.55 Gbps. Soluzione Esercizio 2. La banda occupata dal segnale modulato è data dalla Regola di Carson W = 2(β + 1)B = 225 khz, ed è ovviamente indipendente dalla antenna usata in ricezione. I vincoli da considerare nel progetto sono: vincolo su SNR dopo demodulazione: SNR D = 3β 2 P rn SNR b 20dB (6) vincolo sulla soglia: P R N 0 W = SNR b 10dB (7) 2(β + 1) Per sviluppare il primo vincolo dobbiamo ricavare la potenza media del segnale r(t), che avendo ampiezza unitaria è già normalizzato quindi P rn = P r. La 4

5 pdf dell ampiezza di r(t) è uniforme in [ 1, +1]. Il livello (costante) della pdf h si ottiene imponendo l area unitaria della pdf: +1 1 h dx = 1 h = 1 2. Per calcolare la potenza media occorre svolgere l integrale P r = +1 1 x2 h dx = 1 3. Siamo in grado quindi di riscrivere i vincoli come segue: SNR D = SNR b 10 2 SNR b 2.37 (8) SNR b 2( ) 10 SNR b 150 (9) da cui si evince che è il secondo vincolo (vincolo di soglia) quello maggiormente limitante. Dobbiamo tradurre il vincolo eq. (9) in un vincolo sulla distanza d: SNR b = P R N 0 B = P T G T G R 150 (10) L d N 0 B dove L d = (4πd/λ) 2 indica l attenuazione da percorso posso assumerla pari a quella che si avrebbe nello spazio libero per semplicità. Inserendo i dati numerici fissi forniti dalla traccia P T = 25 W e G T = 1 dal momento che l antenna di trasmissione è omnidirezionale (isotropica) l ultima relazione si riscrive: 25 1 G R (4πd/λ) G R 3 (4πd/λ) (11) Caso 1. Antenna di ricezione parabolica. Sostituisco G R = η ( πd λ nella eq. (11) e ottengo η (πd/λ) 2 (4πd/λ) 2 = ηd2 16d (12) da cui con D = 1.5 m e scegliendo η = 0.5 si ottiene d d 114 Km. Caso 2. Antenna di ricezione omnidirezionale (isotropica). In questo caso nella eq. (11) si sostituisce G R = 1 e ricordando che λ = c f = = 0.75 m si ottiene quindi 1 (4πd/λ) 2 = π 2 d (13) da cui si ottiene d d 25.7 Km. Come ci si attendeva, la distanza massima del collegamento nel caso di antenna non direttiva è sostanzialmente inferiore al caso in cui si utilizzi un antenna fortemente direzionale. Soluzione Esercizio 3. La relazione che lega il SQNR (in db) al numero di bit n utilizzati per la codifica di ciascun campione ha la forma: SQNR db = cost + 6n (14) ) 2 5

6 dove il termine costante racchiude alcuni termini legati alle caratteristiche del segnale di ingresso (potenza media, potenza di picco). Quindi ogni bit aggiuntivo nella codifica (corrispondente al raddoppio dei livelli di quantizzazione) comporta un miglioramento di 6 db del SQNR (o equivalentemente -6 db nella potenza di rumore di quantizzazione). Se con n 1 = 11 abbiamo SQNR=20.5 db, il numero di bit aggiuntivi che servono per portare il SQNR sopra la soglia di 50 db è dato semplicemente da n = = 4.91 = 5, che conduce a n 2 = n 1 + n = 16 bit. Si nota inoltre che la frequenza minima di campionamento per il segnale m(t) è data dalla frequenza di Nyquist f c = 2B m = 60 khz. Scegliendo quindi n 2 = 16 e f 2 = f c = 60 khz si ottiene un bitrate di uscita R = f 2 n 2 = 960 kbps: con questi valori si soddisfano entrambi i vincoli posti dalla traccia. Soluzione Esercizio 4. L esercizio rappresenta una applicazione diretta del procedimento di Huffmann. L entropia della sorgente è H(x) = Nel caso di codifica simbolo a simbolo si ottiene n 1 = 1.1 per cui l efficienza è 51.7%. Nel caso di codifica a blocchi di dimensione L = 2 si ottiene n 2 = per la codifica di ciascun blocco, per cui l efficienza è ε 2 = n2 2H(x) = 78.2%. 6