Sistemi dinamici Introduzione Descrizione Soluzione Funzione di trasferimento Stabilità Regime permanente

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1 Controlli Automatici (AUT) - 09AKSBL Sistemi dinamici Introduzione Descrizione Soluzione Funzione di trasferimento Stabilità Regime permanente Sistemi dinamici - Introduzione Concetto di sistema. Si parla di sistema quando si vuole indicare la connessione più o meno complessa di parti elementari. u(t) y(t) S u(t) ingresso (causa), in generale u(t) R m ; y(t) uscita (effetto), in generale y(t) R p t indica la variabile tempo: t R + sistema a tempo continuo t Z + sistema a tempo discreto (per distinguere t k) Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 2 M. Canale L -

2 Sistemi dinamici - Introduzione Un sistema dinamico S può quindi essere rappresentato come segue: u(t) y(t) S Problematiche da affrontare nello studio dei sistemi Descrizione: date informazioni sulle componenti di S determinare la struttura e le proprietà di S Soluzione: dati S e u( ) trovare y( ) Controllo: dati S e y( ) trovare u( ) Identificazione: dati u( ) e y( ) trovare S Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 3 Sistemi dinamici - Descrizione Sistemi statici. Il legame tra le grandezze u(t), y(t) è di tipo statico: y(t) = f(u(t)) cioè la variabile y(t) dipende dal valore di u(t) al solo istante t. Sistemi dinamici. Il legame tra le grandezze u(t) e y(t) è di tipo dinamico ed è soluzione di un equazione differenziale: y (n) (t) = f(y (n-) (t),, y(t), u (q) (t),, u(t)) cioè la variabile y(t) dipende dalla storia passata del sistema y(t) = f(u([0,t]), y(0),, y (n-) (0)) Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 4 M. Canale L - 2

3 Sistemi dinamici - Descrizione Sistemi lineari: Vale il principio di sovrapposizione degli effetti: u (t) y (t), u 2 (t) y 2 (t) c u (t) + c 2 u 2 (t) c y (t) + c 2 y 2 (t) per qualsiasi coppia di numeri reali c e c 2. (La funzione f è lineare) Sistemi stazionari: Vale la proprietà di invarianza per traslazioni temporali: u (t) y (t) u(t- t) y(t- t) Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 5 Sistemi dinamici - Descrizione Ingressi e disturbi Ingresso o comando u(t): è manipolabile e si utilizza per imporre un certo comportamento desiderato alla variabile di uscita del sistema Disturbi d(t): sono ulteriori ingressi che non sono manipolabili e provocano effetti indesiderati sulla variabile di uscita del sistema d(t) u(t) S y(t) Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 6 M. Canale L - 3

4 Sistemi dinamici - Descrizione Esempio. Rete elettrica passiva v(t) R R 2 v R2 (t) v(t) = u(t) ingresso (Tensione applicata) v R2 (t) = y(t) uscita (Tensione su R 2 ) R v t v t 2 R2 ( ) = ( ) R+ R2 Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 7 Sistemi dinamici - Descrizione Esempio 2. Sistema massa-molla-smorzatore F(t) = u(t) ingresso (Forza applicata) x(t) = y(t) uscita (Posizione della massa) mx ( t) = kxt ( ) bxt ( ) + Ft ( ) Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 8 M. Canale L - 4

5 Sistemi dinamici - Descrizione Esempio 3. Sospensione attiva (modello quarter car ) F(t) = u(t) ingresso (Forza erogata dalla sospensione) z c ( t) = y(t) uscita (Accelerazione della massa sospesa) z r (t) = d(t) disturbo (Andamento del profilo stradale) ( ) ( ) ( ) β ( ) c c w mz c = k z z + u m z = k z z u k z z z z w c w w r w r w w w Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 9 Sistemi dinamici lineari Soluzione in dom(t) La dinamica di un sistema dinamico a tempo continuo viene descritta per mezzo di equazioni differenziali del tipo: y (n) (t) + a n- y (n-) (t) + + a 0 y(t) = b q u (q) (t) + + b 0 u(t) n è detto ordine dell equazione differenziale ( n q ); la soluzione si trova con la teoria delle equazioni differenziali ed è costituita dalla somma di due contributi: y(t) = y l (t) +y f (t) y l (t) risposta libera: dipende dalle condizioni iniziali y (n-) (0),,y(0); y f (t) risposta forzata: dipende dall ingresso applicato nell intervallo 0, t: u([0,t]) Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 0 M. Canale L - 5

6 Sistemi dinamici lineari Ingressi canonici Ingresso impulsivo (funzione delta di Dirac) δ(t) si tratta di un segnale con le seguenti caratteristiche: ampiezza infinita area sottesa unitaria Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - Sistemi dinamici lineari Ingressi canonici Ingressi polinomiali: si tratta di segnali rappresentati con funzioni polinomiali nella variabile temporale: Gradino: ε(t) (ingresso costante) Rampa: tε(t) Parabola: t 2 ε(t) I segnali sono unilateralizzati nel senso che hanno valore nullo per tempi negativi. Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 2 M. Canale L - 6

7 Sistemi dinamici lineari Ingressi canonici Ingressi armonici: segnali periodici ε(t) sin(ωt) ε(t) cos(ωt) Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 3 Sistemi dinamici lineari Soluzione Per risolvere l equazione differenziale: y (n) (t) + a n- y (n-) (t) + + a 0 y(t) = b q u (q) (t) + + b 0 u(t) bisogna fare ricorso alla teoria delle equazioni differenziali coinvolgendo principi di calcolo differenziale ed integrale per semplificare i conti della soluzione si ricorre alla Trasformata di Laplace Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 4 M. Canale L - 7

8 Sistemi dinamici lineari Calcolo della soluzione nel dominio della frequenza () Esempio: sistema massa molla smorzatore F(t) = u(t) ingresso (Forza applicata) x(t) = y(t) uscita (Posizione della massa) Dati F(t) = ε(t) ingresso a gradino di ampiezza unitaria x(0) = dx/dt(0) = 0 m=; k=2; b=3 Calcolare l espressione di Y(s) Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 5 Sistemi dinamici lineari Calcolo della soluzione nel dominio della frequenza (2) Esempio: sistema massa molla smorzatore mx ( t) = kxt ( ) bxt ( ) + Ft ( ) myt ( ) = kyt ( ) byt ( ) + ut ( ) my ( t) = kyt ( ) byt ( ) + ut ( ) L L L L m sy s sy y = ky s bsy s y + U s 2 ( () (0) (0)) () ( () (0)) () ms + bs + k Y s = ms + b y + my + U s 2 ( ) () ( ) (0) (0) () ms + b m Y ( s) = y(0) + y (0) + U( s) ms + bs+ k ms + bs+ k ms + bs+ k Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 6 M. Canale L - 8

9 Sistemi dinamici lineari Calcolo della soluzione nel dominio della frequenza (3) Esempio: sistema massa molla smorzatore ms + b m Y ( s) = y(0) + y (0) + U( s) ms + bs + k ms + bs + k ms + bs + k Y() s = H () s y(0) + H () s y (0) + H() s U() s 0 Sostituendo i valori numerici dei dati s + 3 Ys () = s 3s 2 s 3s 2 s 3s 2 s Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 7 Sistemi dinamici lineari Calcolo della soluzione nel dominio della frequenza (4) Generalizzazione: L espressione dell uscita di un sistema lineare nel dominio della trasformata di Laplace è sempre del tipo: ( n ) Y ( s) = H0() sy(0) + H() sy (0) + + Hn () sy (0) + HsUs () () Le funzioni H 0 (s),,h n- (s), H(s) sono funzioni razionali fratte (rapporto di polinomi) nella variabile complessa s Le funzioni H 0 (s),,h n- (s), rappresentano il legame tra l uscita e le condizioni iniziali. La funzione H(s) rappresenta il legame tra l ingresso e l uscita (per condizioni iniziali nulle) ed è detta funzione di trasferimento del sistema. La funzione di trasferimento costituisce la cosiddetta rappresentazione ingresso uscita del sistema Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 8 M. Canale L - 9

10 Sistemi dinamici lineari - La funzione di trasferimento () In generale, per un sistema a r ingressi e p uscite, la funzione H(s) è detta matrice di trasferimento ed è costituita da una matrice a p righe e r colonne di funzioni razionali della variabile s. La funzione di trasferimento è una funzione razionale della variabile s. q q bs q + bq s + + bs + b0 Hs () =, q n n n s + a s + + as+ a n 0 Se q < n si dice che la funzione è strettamente propria. Se q = n si dice che la funzione non è strettamente propria (bipropria). Le radici C del numeratore di H(s) vengono dette zeri del sistema. Le radici C del denominatore di H(s) vengono dette poli del sistema. Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 9 Sistemi dinamici lineari - La funzione di trasferimento (2) La funzione di trasferimento H(s) può essere rappresentata in forme diverse. Forma polinomiale: H( s) b s + b s q q q q = n n s + an s + + bs + b0, + + a s + a 0 q n Forma zeri e poli : ( s z)( s z2) ( s zq ) Hs () = K s p s p s p ( )( ) ( ) 2 K è detto guadagno infinito e si può calcolare come: n q K = lim s H( s) s n Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 20 M. Canale L - 0

11 Sistemi dinamici lineari - La funzione di trasferimento (3) Forma fattorizzata (di Bode) s s z z q ( ρs ) ( ρ2s) Hs () K + + = = K g g s s s + s + s s p p n g ( τ ) ( τn g ) K è detto guadagno statico generalizzato e si può calcolare come: τ i = -/p i costante di tempo ρ i = -/z i K= lim s g H( s) s 0 Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 2 Sistemi dinamici lineari - La funzione di trasferimento (4) Esempio: sistema massa molla smorzatore La funzione di trasferimento è: ( s )( s 2) H() s = = 2 2 = + + ms + bs + k s + 3s m=, b= 3, k= 2 ( + s)(+ 0.5 s) Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 22 M. Canale L -

12 Sistemi dinamici lineari - La funzione di trasferimento (5) polinomio di secondo grado con radici C Si consideri un polinomio p(s) = s 2 + a s + a 0 di secondo grado avente radici complesse coniugate s,2 = σ ±jω. σ e ω (parte reale e immaginaria) costituiscono la rappresentazione cartesiana delle radici complesse coniugate (vedi figura) x ω n = (σ 2 + ω 2 ) σ x θ ω n jω -jω ζ = sin(θ) Considerando i parametri ζ e ω n detti smorzamento e pulsazione naturale rispettivamente si ottiene una rappresentazione polare delle radici complesse coniugate. In funzione di ζ e ω n, il polinomio p(s) si può scrivere come: s ζω n s + ω 2 n Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 23 Sistemi dinamici lineari - La funzione di trasferimento (6) Esempio: sistema massa molla smorzatore H() s = = = ( )( ) 2 ms bs k 2 s s s j s j m=, b=, k= 2 ζω n = ω 2 n = ω n =, ζ = 0.5 Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 24 M. Canale L - 2

13 Sistemi dinamici lineari Calcolo della soluzione nel dominio del tempo () Esempio: sistema massa molla smorzatore F(t) = u(t) ingresso (Forza applicata) x(t) = y(t) uscita (Posizione della massa) Dati F(t) = ε(t) ingresso a gradino di ampiezza unitaria x(0) = dx/dt(0) = 0 m=; k=2; b=3 Calcolare l espressione di y(t) Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 25 Sistemi dinamici lineari Calcolo della soluzione nel dominio della tempo (2) Esempio: sistema massa molla smorzatore ms + b m Y ( s) = y(0) + y (0) + U( s) ms bs k ms bs k ms bs k Sostituendo i valori numerici dei dati si ha: s + 3 Ys () = s + 3s+ 2 s + 3s+ 2 s = + + = + s + s+ 2 s+ s+ 2 s s+ s+ 2 s Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 26 M. Canale L - 3

14 Sistemi dinamici lineari Calcolo della soluzione nel dominio della tempo (3) Esempio: sistema massa molla smorzatore Con l uso della tabella si ottiene: f ( t) δ ( t) ε( t) n t n! F( s) s n+ () s f ( t) e λt n λt t e n! sin( ωt) cos( ωt) F( s) s+ λ ( s+ λ) n+ ω 2 2 s + ω s 2 2 s + ω Y() s = s + s+ 2 + s yt e e t t 2t ( ) = ( ) ε ( ) Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 27 Stabilità esterna o BIBO () Un sistema si dice stabile esternamente (Bounded Input Bounded Output) se con condizioni iniziali nulle y(0)=0, ogni ingresso limitato u( ) < genera un uscita limitata y( ) < Altrimenti si dice instabile esternamente Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 28 M. Canale L - 4

15 Stabilità esterna o BIBO (2) Un sistema lineare stazionario TC descritto dalla fdt H() s = n n bns + bn s + + bs + b0 n i= ( s p ) si dice stabile esternamente se Re(p i )<0, i si dice instabile esternamente se i: Re(p i ) 0 i Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 29 Regime permanente Il regime permanente è la proprietà per cui in un sistema lineare stabile, a fronte di certe classi di ingressi, l uscita, trascorso un tempo sufficientemente grande, assume la medesima forma dell ingresso (a meno di un fattore di scala). Esistono due casi di particolare interesse per le applicazioni pratiche: gradino segnali armonici (sinusoide, ) Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 30 M. Canale L - 5

16 Risposta al gradino () Ingresso a gradino u( t) = Au ε ( t), U ( s) = A s u Sistema lineare stazionario: H() s = q q bqs + bq s + + bs + b0 n n s + an s + + as+ a0 Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 3 Risposta al gradino (2) Uscita a regime A = lim y( t) = lim s Y( s) = lim s H( s) U( s) = y t s 0 s 0 q q bs q + bq s + + bs + b0 Au b0 lim s A 0 n n u s s + an s + + as + a0 s a0 = = Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 32 M. Canale L - 6

17 Connessione di Sistemi Dinamici () Schemi a blocchi: rappresentazione grafica di un sistema i segnali sono rappresentati da frecce i sistemi da blocchi contenenti la fdt U(s) G(s) Y(s) Y ( s ) = G ( s ) U ( s ) y ( t ) = g ( t ) u ( t ) = 0 g ( t τ ) u ( τ ) d τ t Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 33 Connessione di Sistemi Dinamici (2) Connessione in serie o in cascata: G(s) u=u y =u 2 y 2 =y G (s) G 2 (s) Y ( s) = Y ( s) = G ( s) U ( s) = G ( s) Y ( s) = = G ( s) G ( s) U ( s) = G ( s) G ( s) U ( s) = G( s) U ( s) 2 2 G( s) = G ( s) G ( s) 2 Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 34 M. Canale L - 7

18 Connessione di Sistemi Dinamici (3) Connessione in parallelo: G(s) u G (s) y ± y G 2 (s) y 2 ± Y ( s) =± Y ( s) ± Y ( s) =± G ( s) U ( s) ± G ( s) U ( s) = 2 2 [ ] = ± G ( s) ± G ( s) U ( s) = G( s) U ( s) 2 G( s) =± G ( s) ± G ( s) 2 Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 35 Connessione di Sistemi Dinamici (4) Connessione in retroazione u + y e G (s) Ramo diretto G(s) v G 2 (s) G( s) G ( s) = ± G ( s) G ( s) 2 Ramo in retroazione Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 36 M. Canale L - 8

19 Connessione di Sistemi Dinamici (5) Connessione in retroazione (dimostrazione) Y ( s) = G ( s) E( s) = = G ( s) [ U ( s) V ( s) ] = = G( s) [ U ( s) G 2( s) Y ( s) ] = = G( s) U ( s) G( s) G2( s) Y ( s) Y ( s) ± G ( s) G ( s) Y ( s) = G ( s) U ( s) ± G ( s) G ( s) Y ( s) = G ( s) U ( s) [ ± ] [ G ] [ ] 2 2 Y ( s) = G ( s) G ( s) G ( s) U ( s) = G ( s) U ( s ) 2 G( s) = ± G ( s) ( s) G ( s) 2 Controlli Automatici (AUT) -- M. Canale L - 37 M. Canale L - 9