Corso introduttivo di Epidemiologia e Biostatistica

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1 Corso introduttivo di Epidemiologia e Biostatistica massimo guerriero carlo pomari e con il contributo di: Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.1

2 La statistica La statistica è la tecnica che ha per scopo la conoscenza dei fenomeni collettivi. Inizialmente nasce come quella scienza adattata per conoscere le cose dello Stato per evolversi poi nella scienza che valuta lo stato delle cose. La nascita della scienza statistica è antichissima e non può essere precisata con esattezza. Le prime tracce della statistica sono preistoriche; l uomo primitivo, ancor prima della comparsa della scrittura, incideva su pietra o travi delle tacche per tenere memoria delle proprietà e delle persone presenti. E questa l interpretazione che è stata data delle serie di segni incisi trovati nei nuraghi della Sardegna! ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.2

3 La statistica La consacrazione ufficiale della statistica come disciplina autonoma viene fatta risalire al XVII secolo in culla tedesca. Il fondatore dell indirizzo scientifico è considerato Ermanno Conring ( ). La statistica moderna viene fatta risalire a cavallo tra il 1800 e il 1900 quando viene introdotta, al fianco della statistica descrittiva, la statistica induttiva. Tra gli studiosi più importanti ricordiamo Francesco Galton ( ), Augusto Bravais ( ) che insieme a Karl Pearson ( ) introdusse il coefficiente di correlazione lineare (1846). Karl Pearson introdusse anche il rapporto di correlazione (1879), il Chi-quadrato (1900). Fondò inoltre la rivista Biometrika. ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.3

4 La statistica I meritevoli allievi di Karl Pearson furono Giorgia Udny Yule ( ) che nel 1897 introdusse il metodo dei minimi quadrati, Guglielmo Sealy Gosset ( ) che con lo pseudonimo di Student nel 1908 introdusse alcune tecniche per l analisi di piccoli campioni; altri furono Sheppard ( ), il figlio del Pearson, Egon Sharpe Pearson ( ) e Jerzy Neyman ( ); questi ultimi portarono grandi contributi all inferenza statistica. La teoria dell inferenza statistica è tutta del 1900 anche se la sua pratica è antica forse quanto l umanità, perché sempre l uomo ha scelto la parte di un tutto per giudicare la totalità, ovvero ha utilizzato un campione per inferire, le proprietà della massa complessiva. Chi pose però le basi per la valutazione della bontà dell indagine campionaria fu il grande statistico inglese Sir Ronald Alymer Fisher ( ), divenuto baronetto grazie ai suoi molteplici ed originalissimi contributi scientifici. ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.4

5 La statistica La scuola statistica italiana ha avuto un forte peso in campo internazionale e di grande livello furono Luigi Bodio ( ), Angelo Messedaglia ( ) e Rodolfo Benini ( ). Ma colui colui che elevò la statistica italiana a livello di quella inglese di Pearson e Fisher fu Corrado Gini ( ) che lavorò con enorme successo sui concetti di variabilità, di mutabilità, di concentrazione, di dissomiglianza; introdusse anche molti indicatori in questi ambiti della statistica. Fondò nel 1920 la rivista internazionale Metron, nel 1926 creò l Istituto Centrale di Statistica e nel 1936 creò la Facoltà di Scienze Statistiche demografiche ed attuariali, prima nel mondo, volta alla specifica preparazione degli statistici. ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.5

6 Le due facce della statistica Descrivere ed inferire Lo scopo della statistica descrittiva è quello di condensare una grande quantità di dati in modo da conciliare al meglio due richieste antitetiche: da un lato la completezza di una descrizione dettagliata, dall altro la semplicità di una descrizione sintetica. Lo scopo della statistica inferenziale è quello di poter trarre conclusioni sull intero aggregato studiandone solo una parte di esso. Quale parte studiare? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.6

7 Quale parte studiare? Nel 1936 l agenzia americana Gallop riuscì a prevedere la vittoria di Rooselvet su Landon nelle elezioni presidenziali con un sondaggio statistico rigoroso basato su poco più di interviste. Una rivista all epoca prestigiosa, la Literary Digest, invece fallì miseramente nonostante il suo campione fosse di unità peccato che selezionò tale campione dagli elenchi telefonici e dagli elenchi dei possessori di automobili! ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.7

8 CONCETTI DI BASE Unità statistiche. Elementi che costituiscono l oggetto dell osservazione e le cui proprietà vengono rilevate. Popolazione. Insieme delle unità statistiche oggetto dell osservazione. Variabili. Proprietà, caratteristiche, attributi delle unità di analisi che variano da caso a caso. Modalità. Ogni diversa presentazione della variabile osservata su ciascuna unità di analisi (incompatibili ed esaustive). ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.8

9 TIPI DI DATI Una classificazione dei caratteri. I caratteri si possono classificare in funzione delle relazioni che si possono instaurare tra modalità corrispondenti. QUALITATIVI QUANTITATIVI NOMINALI ORDINALI CONTINUI DISCRETI Senza unità di misura INTERVALLARE Origine convenzionale RAPPORTO cardinali DATI DICOTOMICI ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.9

10 Le scale di misura RELAZIONI x = x i i x < i x > x x i i i x x x x x x j j j j j j SCALE DI MISURA QUALITATIVE QUANTITATIVE Sconnessa Ordinale Intervallare Rapporto * * * * * * * *? * * *? * * *?? * *??? * ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

11 ALCUNI ESEMPI: 1. GRUPPO SANGUIGNO 2. TIPO DI OCCUPAZIONE 3. GRUPPI DI CIBI 4. COLORE DELLA PELLE 5. SESSO 6. SANO/MALATO 7. VIVO/MORTO 8. NORMALE/ANORMALE 9. FAVOREVOLE/SFAVOREVOLE 10.LIVELLO DI SODDISFAZIONE 11. LIVELLO DI SOFFIO AL CUORE 12. DIFFICOLTA RESPIRATORIA 13. TITOLO DI STUDIO 14.GRADO MILITARE 15. ALTEZZA PESO 16.PRESSIONE - GLICEMIA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

12 Attenzione: gli attributi non sono numeri! Sì = 1 No = 2 Non so = 3 ELEMENTI DI BASE DI UNO STUDIO ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

13 BIOSTATISTICA Un carattere misurato in un campione: elementi di statistica descrittiva e inferenziale ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

14 2. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE SPECULARE UNIVERSO PARAMETRI PROGRAMMARE INFERIRE CAMPIONE STIMATORI DESCRIVERE ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

15 2. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE CARATTERE (VARIABILE) QUALITATIVO QUANTITATIVO NOMINALE (ES.GENERE) ORDINALE (ES.GIUDIZIO ALL ESAME) DISCRETO (ES.NUMERO DI FIORI DI UNA PIANTA) CONTINUO (ES.STATURA) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

16 2. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE Siamo interessati a stimare l incremento del peso delle cavie nutrite con una certa dieta UNIVERSO PARAMETRI CAMPIONE STIMATORI ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

17 2. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE Siamo interessati a stimare l incremento del peso delle cavie nutrite con una certa dieta UNIVERSO PARAMETRI PROGRAMMARE CAMPIONE STIMATORI Ad un campione casuale di 12 cavie viene somministrata la dieta in studio dalla nascita fino all età di 3 mesi e ne vengono registrati gli incrementi di peso ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

18 2. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE CAMPIONE DESCRIVERE STATISTICHE n = y i : generica i-esima osservazione (i = 1, 2,,12) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

19 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA CAMPIONE STATISTICHE A. Come si distribuiscono i dati campionari? B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? C. Quanto sono dispersi i dati campionari? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

20 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA A. Come si distribuiscono i dati campionari? Classi di valori Frequenze assolute Frequenze relative (%) totale DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

21 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA A. Come si distribuiscono i dati campionari? Classi di valori Frequenze assolute Frequenze relative ISTOGRAMMA classi di valori ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

22 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA A. Come si distribuiscono i dati campionari? Distribuzione simmetrica Distribuzione con asimmetria positiva Distribuzione con asimmetria negativa ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

23 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA Possiamo ottenere la distribuzione di frequenza anche per gli altri tipi di caratteri: Carattere nominale (genere): M M M M M F F M M F Carattere ordinale (giudizio all esame): Buono Buono Suff Suff Suff Insuff Ottimo Buono Suff Insuff M F Insuff Suff Buono Ottimo ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

24 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA CAMPIONE STATISTICHE A. Come si distribuiscono i dati campionari? B. Quale Come valore possiamo assumono sintetizzare i media dati campionari? i dati campionari? C. Quanto sono dispersi i dati campionari? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

25 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? INDICI DI POSIZIONE Medie non analitiche Moda Mediana (e quartili) Medie analitiche Media aritmetica Media geometrica ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

26 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Medie non analitiche Moda È il dato campionario che si manifesta con maggiore frequenza. Essendo una media non analitica possiamo calcolarla per qualsiasi tipo di carattere (qualitativo o quantitativo) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

27 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? M M M M M F F M M F ISTOGRAMMA Carattere Nominale 2 1 M F MODA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

28 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Buono Buono Suff Suff Suff Insuff Ottimo Buono Suff Insuff ISTOGRAMMA 4 Carattere Ordinale Insuff Suff Buono Ottimo MODA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

29 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Qual è il valore modale? 4 3 ISTOGRAMMA Carattere Quantitativo classe modale = ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

30 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Distribuzione unimodale Distribuzione bimodale ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

31 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Medie non analitiche Mediana È l osservazione centrale dei dati campionari disposti in ordine crescente o decrescente. Essendo una media non analitica possiamo calcolarla anche per caratteri qualitativi ordinali (NON nominali) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

32 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Buono Buono Suff Suff Suff Insuff Ottimo Buono Suff Insuff Insuff Disposizione in ordine crescente Insuff Insuff Insuff Suff Suff Suff Suff Buono Buono Buono Ottimo n= Me = 2 = 6 Insuff Insuff Suff Suff Suff Me=Suff Suff Buono Buono Buono Ottimo ISTOGRAMMA Carattere Ordinale Insuff Suff Buono Ottimo MEDIANA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

33 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Buono Buono Suff Suff Suff Ottimo Insuff Ottimo Buono Suff Insuff Insuff Disposizione in ordine crescente Insuff Insuff Insuff Suff Suff Suff Suff Buono Buono Buono Ottimo Ottimo n=12 12 Me = = 6 e Me = 12 2 ISTOGRAMMA Carattere Ordinale +1 = Insuff Suff Buono Ottimo MEDIANA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

34 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Disposizione in ordine crescente n=12 12 Me = 2 = 6 =60 Me = Me = 2 +1 = 7 = La mediana rimane 60! Non è sensibile ai valori estremi! ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

35 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? 4 ISTOGRAMMA Me=60 4 ISTOGRAMMA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

36 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Medie non analitiche Quartili Sono le osservazioni che dividono in 4 parti uguali i dati campionari disposti in ordine crescente o decrescente. Essendo medie non analitiche possiamo calcolarle anche per caratteri qualitativi ordinali (NON nominali) 25% 25% 25% 25% q25 Me q75 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

37 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? ESEMPIO 1: n/4 non è un numero intero Buono Buono Suff Suff Suff Insuff Ottimo Buono Suff Insuff Insuff Disposizione in ordine crescente Insuff Insuff Insuff Suff Suff Suff Suff Buono Buono Buono Ottimo n=11 1 quartile: a sn abbiamo il 25% della popolazione, a ds il 75% q25 = 11 4 = 2.75 Mediana (o 2 quartile): prendo il primo numero intero più grande (3 ) a sn abbiamo il 50% della popolazione, a ds il 50% Me = = 6 3 quartile: a sn abbiamo il 75% della popolazione, a ds il 25% q75 = 3 4 * 11 = 8.25 prendo il primo numero intero più grande (9 ) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

38 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? ESEMPIO 1: n/4 non è un numero intero Modalità Suff Insuff Insuff Insuff Suff Suff Suff Suff Buono Buono Buono Ottimo Frequenze assolute Insuff 3 Frequenze cumulate Buono 3 10 Ottimo pos: q25=insuff 6 pos: Me=suff 9 pos: q75=buono 4 n= Insuff Suff Buono Ottimo q25 MEDIANA q75 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

39 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? ESEMPIO 2: n/4 è un numero intero Buono Buono Suff Suff Suff Ottimo Insuff Insuff Buono Suff Insuff Insuff Disposizione in ordine crescente Insuff Insuff Insuff InsuffSuff Suff Suff Suff Buono Buono Buono Ottimo n=12 1 quartile: a sn abbiamo il 25% della popolazione, a ds il 75% 12 q25 = = 3 prendo n/4 (3 ) e n/4+1 (4 ) 4 Mediana (o 2 quartile): a sn abbiamo il 50% della popolazione, a ds il 50% Me = 3 quartile: a sn abbiamo il 75% della popolazione, a ds il 25% q75 = * 12 = 6 = 9 e Me = = 7 prendo 3*n/4 (9 ) e 3*n/4+1 (10 ) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

40 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? ESEMPIO 2: n/4 è un numero intero Modalità Insuff Insuff Insuff Suff Suff Suff Suff Buono Buono Buono Ottimo Frequenze assolute Insuff 4 Frequenze cumulate 4 3 e 4 pos: q25=insuff Suff Buono 3 11 Ottimo e 7 pos: Me=suff 9 e 10 pos: q75=buono 4 n= Insuff Suff Buono Ottimo q25 MEDIANA q75 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

41 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? INDICI DI POSIZIONE MEDIE ANALITICHE MEDIA ARITMETICA Somma dei valori osservati divisa il numero di osservazioni (numerosità campionaria) y = n i = 1 n y i ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

42 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? n MEDIA ARITMETICA y = i = 1 n y i = = = 60 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

43 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? 4 ISTOGRAMMA MEDIA ARITMETICA y = 60 Definisce la posizione media dei valori campionari ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

44 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? y = La media aritmetica è influenzata dai valori estremi 126 y = 65 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

45 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA La media aritmetica si può calcolare SOLO per caratteri QUANTITATIVI: Carattere nominale (genere): M M M M M F F M M F Carattere ordinale (giudizio all esame): Buono Buono Suff Suff Suff Insuff Ottimo Buono Suff Insuff y = n i = 1 n y i ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

46 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA Distribuzione simmetrica Media Mediana aritmetica= = Moda Distribuzione con asimmetria positiva Moda Mediana Media aritmetica Distribuzione con asimmetria negativa Media aritmetica Mediana Moda ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

47 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? MEDIA GEOMETRICA Radice n-esima del prodotto dei valori osservati Mg = n n i= 1 y i che, per le proprietà dei logaritmi diventa: log(mg) = n n 1 log(y ) = i= i n i= 1 1 log(y ) n i Il logaritmo della media geometrica è la media aritmetica dei logaritmi dei valori osservati ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

48 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Titoli anticorpali 1/25 Grandezze biologiche misurate in scala di diluizione a raddoppio - log(25) Espressi in logaritmi Possono essere scritti come - (0 log 2+log 25) 1/50 1/100 1/200 1/400 - [log(2) 1 + log(25)] - [log(2) 2 + log(25)] - [log(2) 3 + log(25)] - [log(2) 4 + log(25)] - (1 log 2+log 25) - (2 log 2+log 25) - (3 log 2+log 25) - (4 log 2+log 25) log(mg) = [ 5 = [ ] + 4 log(2) = log(25)] = il cui antilogaritmo è: 10-2 = 1/100 e quindi Mg = 1/100 = 5 1/25*1/50*1/100*1/200*1/400 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

49 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA CAMPIONE STATISTICHE A. Come si distribuiscono i dati campionari? B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? C. Quanto sono dispersi i dati campionari? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

50 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? dispersione dispersione posizione ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

51 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? CAMPO DI VARIAZIONE (o range o escursione) È l ampiezza assoluta tra i valori estremi delle osservazioni ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

52 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? Disposizione in ordine crescente CAMPO DI VARIAZIONE = (68-52) = = CAMPO DI VARIAZIONE = (128-52) = = 76 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

53 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? Il box plot è un utile strumento per visualizzare la distribuzione di un carattere visualizzandone indici di posizione e di dispersione q25=57 Me=60 q75=63 Distanza interquartilica (IQR) = q75-q25 = 6 Soglia per outliers: >1.5*IQR più grande di q75 o <1.5*IQR più piccolo di q Outliers q75+1.5*iqr=63+1.5*6= IQR q25-1.5*iqr==57-1.5*6=48 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

54 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? DEVIAZIONE STANDARD Radice quadrata della somma degli scarti quadratici dei valori osservati dalla media aritmetica divisa il numero di osservazioni meno uno s = 12 Σ(y i - y) 2 i =1 n - 1 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

55 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? y i (y i - y) = = = = = = = = = = = = y = 60 Σ (y i - y) = 0 i =1 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

56 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? y i (y i - y) (52-60) 2 = 64 (56-60) 2 = 16 (57-60) 2 = 9 (57-60) 2 = 9 (59-60) 2 = 1 (60-60) 2 = 0 (60-60) 2 = 0 (61-60) 2 = 1 (63-60) 2 = 9 (63-60) 2 = 9 (64-60) 2 = 16 (68-60) 2 = y = 60 Σ (y i - y) 2 = 198 i =1 Devianza ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

57 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? 12 Σ (y i - y) 2 = 198 i =1 Devianza Aumenta con il numero di osservazioni 12 Σ(y i i 198 i =1 i - y) n -1 = = Varianza Unità di misura elevata al quadrato rispetto ai dati originali 12 Σ(y i i =1 i i - y) 2 n n- 1 = = Deviazione standard Perché (n - 1) e non n? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

58 i a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? y i (y i - y) (52-60) = -8 (56-60)= -4 (57-60) = -3 (57-60) = 3 (59-60) = -1 (60-60) = 0 (60-60) = 0 (61-60) = 1 (63-60) = 3 (63-60) = 3 (64-60) = 4 (68-60) = 8 12 y = 60 Σ (y i - y) = 0 i =1 Da quante osservazioni dipende dev? Nota y voglio calcolare dev VINCOLO Mi basta calcolare (y 1 -y), (y 2 -y),,(y n-1 -y) e l ultimo termine (y n -y) è completamente determinato dal vincolo: mi servono solo n-1 osservazioni (n-1 gdl) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

59 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE SPECULARE UNIVERSO PARAMETRI PROGRAMMARE INFERIRE CAMPIONE STIMATORI DESCRIVERE ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

60 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE POPOLAZIONE BERSAGLIO µ? Campione STATISTICA INFERENZIALE descrizione y Forma Posizione Dispersione Distribuzione di frequenza Media aritmetica Deviazione standard STATISTICA DESCRITTIVA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

61 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE POPOLAZIONE BERSAGLIO Campione Tutti i possibili 1 campioni Distribuzione campionaria y Media Medie campionaria campionarie ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

62 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Proprietà delle distribuzione campionaria A. Come si distribuiscono le medie campionarie? B. Quale valore assumono in media le medie campionarie? C. Quanto sono disperse le medie campionarie? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

63 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Proprietà delle distribuzione campionaria Media Medie campionaria campionarie TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE A DISTRIBUZIONE approssimativamente normale indipendentemente dalla forma della distribuzione di frequenza della variabile nella popolazione bersaglio (se n sufficientemente grande) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

64 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione campionaria Media Medie campionaria campionarie A. Come si distribuiscono le medie campionarie? B. Quale valore assumono in media le medie campionarie? C. Quanto sono disperse le medie campionarie? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

65 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Proprietà della distribuzione campionaria µ Media Medie campionaria campionarie TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE B MEDIA CAMPIONARIA: stimatore corretto coincide con quella della media aritmetica del carattere nella popolazione dalla quale i campioni sono stati estratti ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

66 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione campionaria Media Medie campionaria campionarie A. Come si distribuiscono le medie campionarie? B. Quale valore assumono in media le medie campionarie? C. Quanto sono disperse le medie campionarie? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

67 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Proprietà della distribuzione campionaria es = σ n µ Media Medie campionaria campionarie TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE C ERRORE STANDARD è la deviazione standard di una distribuzione campionaria: es = σ n ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

68 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Proprietà della distribuzione campionaria Distribuzione normale es = σ n Medie Media campionarie: campionaria y µ Osservazioni y i non per forza Gaussiane e caratterizzate da due parametri: µ e σ 2 Medie campionarie y~n(µ,σ 2 /n) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

69 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Proprietà della distribuzione campionaria Le medie campionarie sono tanto più disperse intorno alla media µ tanto più: es = σ n µ Media Medie campionaria campionarie il carattere è disperso nella popolazione il campione è piccolo ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

70 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Proprietà della distribuzione campionaria Forma normale es = σ n µ y i Distribuzione normale standardizzata area = 1 y i - µ 1 0 z = σ y i - µ n ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

71 Medie campionarie: y µ Distribuzione normale n y i i e n y f ) ( 2 1 ) ( σ µ π σ = σ n es = 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE Distribuzione normale standardizzata 0 1 z Medie campionarie: y i µ n z e n z f ) ( π =

72 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Misure di variabilità 12 Σ (y i - y) 2 i =1 Devianza 12 Σ(y i - y) 2 i =1 n -1 = σ 2 Varianza 12 Σ Σ(y i =1 i - y) 2 n - 1 = σ Deviazione standard σ n Errore standard ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

73 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE La distribuzione Normale e normale standard 12 Σ(y i - y) 2 i =1 n -1 = σ 2 12 Σ Σ(y i =1 i - y) 2 n - 1 = σ σ LEGGE DEI 3 SIGMA n 68% 95% 99% ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

74 Distribuzione normale standardizzata ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

75 2b. 3. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione normale standardizzata Area = Pr { z +0.5} = Area = Pr { 0.1 z 0.5} = Pr {z 0.5} - Pr {z 0.1} = ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

76 2b. 3. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione normale standardizzata Area = Pr { z 0.2} = 1 - Pr { z 0.2} = = Area = Pr { z - 0.8} = Pr {z 0.8} 1 - Pr { z 0.8} = ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

77 2b. 3. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione normale standardizzata Area = Area: Pr { -0.5 z 0.5} = z Pr { -0.5 y - µ z 0.5} = σ / n Pr { y -0.5 σ / n µ y σ / n } = ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

78 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione normale standardizzata Area = z Pr { y σ / n µ y σ / n } = 0.95 Limiti di confidenza al 95% della media µ della popolazione ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

79 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE POPOLAZIONE BERSAGLIO NORMALE µ? Campione n = descrizione y = 60 Media aritmetica Pr { y σ / n µ y σ / n } = ? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

80 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Dalla distribuzione normale standardizzata... area = z = σ y - µ n area = 1 alla distribuzione t 1 σ è sostituito dal suo stimatore s 0 t = ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE s y - µ n

81 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione t t = s y - µ n Famiglia di distribuzioni t corrispondenti ai diversi gradi di libertà. I gdl sono il numero di osservazioni che sono libere di variare Si perde un gdl per ogni parametro che si deve stimare Prima di infilarci un guanto abbiamo due possibilità, dopo il primo, nessuna! Il 100 piedi? NEI GRANDI CAMPIONI LA VC t-student CONVERGE VERSO LA NORMALE STANDARD ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

82 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione t gdl ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

83 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE n=10 Pr { t 1} = n=5 Pr { 0.1 t 0.5} = ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

84 2b. 3. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE n=15 Pr { t 0.2} = n=8 Pr { t - 0.8} = ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

85 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE POPOLAZIONE BERSAGLIO µ Campione n = Pr=95%: t =2.36 t =-2.36 descrizione y = 60 s = 4.2 Media aritmetica Deviazione standard Pr { y s / n µ y s / n } = 0.95 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

86 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE y ± t (s / n) ricordando che y = 60 e s = 4.2, scegliendo un valore di t corrispondente a una probabilità del 95% che, per (n-1= 7) gdl, è 2.36, µ allora µ è compresa nell intervallo: 60 ± 2.36 (4.2 / 8) 56.5, 63.5 con una probabilità del 95% Intervallo di confidenza al 95% della media µ della popolazione ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

87 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE y ± t (s / n) y = 60 n = 8 s = , 63.5 t (1-0.95)/2;11 = 2.36 Pr = 95 % Se volessimo diminuire il grado di incertezza n = 8 s = , 63.7 t (1-0.99)/2;11 = 3.50 Pr = 99 % ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

88 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE y ± t (s / n) y = 60 n = 8 s = , 63.5 t (1-0.95)/2;11 = 2.36 Pr = 95 % Se disponessimo di un campione meno numeroso n = 6 s = , 63.8 t (1-0.99)/2;11 = Pr = 95 % ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

89 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE y ± t (s / n) y = 60 n = 8 s = , 63.5 t (1-0.95)/2;11 = 2.36 Pr = 95 % Se il carattere fosse più disperso nella popolazione n = 8 s = , 65.3 t (1-0.95)/2;11 = 2.36 Pr = 95 % ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

90 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Interpretazione degli intervalli di confidenza IC al 95% X X X Se ripetessimo l esperimento 100 volte, la media µ sarebbe compresa nell intervallo 95 volte In 95 casi µ è compresa qui X X ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

91 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione di 10 intervalli di confidenza Livello di confidenza 90% La VERA media non è contenuta nell intervallo di confidenza ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

92 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Inferenza Ci sono essenzialmente 4 tipi di inferenza I1. Calcolo delle probabilità I2. Stima dei parametri I3. Intervalli di confidenza I4. Test d ipotesi Assumiamo che i parametri siano noti Assumiamo che i parametri siano ignoti Variabile di interesse continua Il fenomeno in studio ha una distribuzione simmetrica? y i ~N(µ,σ 2 ) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

93 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN Continuous CAMPIONE: dataelementi DI STATISTICA INFERENZIALE Il passo successivo è valutare i parametri della distribuzione per poter fare inferenza sui parametri della popolazione di interesse. Tipicamente ci interessano 1. La media della popolazione 2. La varianza della popolazione 1. Media µ e deviazione standard σ della popolazione sono note Calcolo delle probabilità 2. La media della popolazione µ è ignota (oggetto dell inferenza), ma la deviazione standard σ è nota 3. Sia la media µ che la deviazione standard σ sono ignote ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

94 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Popolazione normale entrambi i parametri sono noti Caso 1: Media µ e deviazione standard σ della popolazione sono note I1. Calcolo delle probabilità E facile calcolare le probabilità di una variabile casuale Normale standard, tramite opportune tavole Standardizziamo la nostra variabile casuale normale e calcoliamo la probabilità dalle tavole Pr { -0.5 y 0.5} Pr { µ z µ } σ / n σ / n ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

95 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Popolazione normale media ignota Caso 2: Media µ ignota e deviazione standard σ nota I2. Stima dei parametri L unico parametro da stimare è la media µ dato che la deviazione standard è nota Utilizziamo l informazione proveniente dal campione n y y i = 1 i = Associamo una stima della dispersione del parametro tramite lo standard error n se= σ n ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

96 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Popolazione normale media ignota Caso 2: Media µ ignota e deviazione standard σ nota I3. Intervallo di confidenza Possiamo identificare un intervallo di confidenza, ad esempio al 95% per la media della popolazione µ: Pr { y z α/2 σ / n µ y + z α/2 σ / n } = 0.95 σ n ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

97 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Popolazione normale entrambi i parametri sono ignoti Caso 3: Media µ e deviazione standard σ della popolazione sono ignote I2. Stima dei parametri Dobbiamo stimare sia la media che la varianza campionaria Utilizziamo l informazione proveniente dal campione n n y (y y i = 1 i i = s = i = 1 n n-1 - y) 2 L errore standard sarà se = s n ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

98 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Popolazione normale entrambi i parametri sono ignoti Caso 3: Media µ e deviazione standard σ della popolazione sono ignote I3. Intervallo di confidenza Possiamo identificare un intervallo di confidenza, ad esempio al 95% per la media della popolazione µ: P y t s y + t α / 2, n 1 µ α / 2, n 1 n s n Dobbiamo utilizzare la stima campionaria della deviazione standard σ n ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

99 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE IN SINTESI PER COSTRUIRE UN IC PER LA MEDIA: POPOLAZIONE DI ORIGINE NORMALE NON INTERESSA LA DIMENSIONE CAMPIONARIA MA SOLO SE: VARIANZA NOTA Z VARIANZA NON NOTA t SE IL CAMPIONE E SUFFICIENTEMENTE GRANDE NON INTERESSA LA FORMA DELLA POPOLAZIONE Z poichè la t converge verso la z e quindi non interessa nemmeno se la varianza sia nota o non nota σ n ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE