ELEMENTI DI MATEMATICA (cod ) Programma dettagliato e modalità d esame del corso di cui è titolare il prof. Gianfranco Gambarelli

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1 ELEMENTI DI MATEMATICA (cod ) Programma dettagliato e modalità d esame del corso di cui è titolare il prof. Gianfranco Gambarelli ATTENZIONE NON INVIARE S AI DOCENTI IN CASO DI DUBBIO INTERPELLARE I DOCENTI NEI RELATIVI ORARI DI RICEVIMENTO (RIPORTATI SUL SITO DELL'UNIVERSITÀ) CITANDO ESPLICITAMENTE LA FRASE NON CHIARA. PROGRAMMA DETTAGLIATO CORSO PROPEDEUTICO Argomenti obbligatori, che costituiscono materia d esame sono i contenuti del corso propedeutico di Matematica, che si richiamano qui di seguito. Insiemi numerici - Riconoscimento di proprietà elementari dei numeri naturali (rappresentazione di un numero naturale in forma polinomiale, divisibilità, numeri primi, MCD, mcm). - Calcolo di espressioni con numeri razionali. - Proprietà delle potenze e delle radici e applicazioni al calcolo numerico e letterale. - Ampliamenti numerici ed ordinamento di numeri reali. - Approssimazioni numeriche e ordini di grandezza. Elementi di logica, relazioni, funzioni e proprietà - Uso e interpretazione del linguaggio elementare degli insiemi: diagramma di Venn, appartenenza, inclusione, intersezione, unione, complementare, insieme vuoto. - Prodotto cartesiano e concetto di relazione. - Connettivi logici: congiunzione, negazione, disgiunzione. - Individuazione di ipotesi e tesi nell enunciato di un teorema. Algebra elementare, equazioni, disequazioni - Scomposizione di un polinomio (raccoglimento a fattore comune, prodotti notevoli, regola di Ruffini). - Calcolo di espressioni con frazioni algebriche. - Risoluzione di equazioni algebriche di 1 e 2 grado. - Analisi e risoluzione di sistemi lineari - di due equazioni in due incognite - determinati, indeterminati, privi di soluzioni. Sistemi lineari in tre incognite risoluzione con il metodo di Gauss. - Risoluzione di disequazioni algebriche di 1 e 2 grado a coefficienti numerici. 1

2 - Risoluzione di semplici sistemi di disequazioni algebriche mediante l applicazione dei principi di equivalenza delle disuguaglianze e del metodo del confronto dei segni. - Concetto di valore assoluto. Risoluzione di equazioni e disequazioni con valori assoluti. - Equazioni e disequazioni irrazionali. - Risoluzione con discussione di equazioni e disequazioni dipendenti da un parametro. Geometria elementare - Il piano cartesiano: coordinate, distanza tra due punti, equazione della retta e sua rappresentazione cartesiana. - Interpretazione geometrica di equazioni algebriche di 1 e 2 grado. - L equazione della parabola. - Interpretazione geometrica di semplici sistemi di disequazioni algebriche in due variabili. - Geometria euclidea piana: incidenza, parallelismo, perpendicolarità, congruenza. - Luoghi geometrici notevoli (circonferenza, asse di un segmento, bisettrice di un angolo). - Traduzione analitica di problemi geometrici relativi alla retta (retta per due punti, perpendicolare e parallela ad una retta per un punto). - Trasformazioni geometriche nel piano euclideo e nel piano cartesiano: simmetrie rispetto agli assi e rispetto all origine, traslazioni, dilatazioni in direzione degli assi coordinati. Trasformazioni di curve nel piano cartesiano. - Parabola, circonferenza, ellisse come luoghi geometrici. - L iperbole come luogo geometrico, iperbole equilatera, rette tangenti ad una conica, asintoti, funzione omografica. Funzioni elementari e grafici - Funzioni numeriche: proprietà fondamentali e grafico. - Funzioni polinomiali di 1 e 2 grado. Esempi di grado superiore al 2 - Funzione esponenziale, grafici e trasformazioni. - Funzione logaritmica, grafici e trasformazioni, proprietà dei logaritmi. - Equazioni e disequazioni logaritmiche. - Funzioni goniometriche seno, coseno e tangente (con riferimento a periodicità, trasformazioni geometriche, coefficiente angolare della retta). - Equazioni e disequazioni goniometriche elementari. - Riconoscimento di semplici andamenti funzionali data la rappresentazione tabellare e grafica (proporzionalità diretta, proporzionalità inversa, andamento esponenziale). - Determinazione di immagini e controimmagini. - Rappresentazione grafica della funzione inversa di una funzione invertibile. - Interpretazione del grafico di una funzione (individuazione degli intervalli in cui la funzione è definita, assume valori positivi o negativi, cresce o decresce, è invertibile). I E II MODULO docente prof. Gianfranco Gambarelli, tutors prof.ssa Anna Villa e Giuliana Zibetti Insiemi numerici - I numeri naturali, interi, razionali, reali. - Cenno ai numeri complessi (esclusi esempi di strutture algebriche su insiemi numerici). - Definizioni sui reali: intervallo, maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore e inferiore. - Sommatoria, produttoria, valore assoluto. 2

3 Metrica e Topologia - Distanza. - Intorni, ipersfere e altri concetti di base (cenni su vettori e relative operazioni). - Punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione. - Frontiera, chiusura, interno di un insieme (escluso insieme denso in un altro). - Insieme aperto, chiuso, limitato, compatto, convesso (esclusa copertura di un insieme). Introduzione allo studio di funzioni reali di una variabile reale - Funzioni a un valore e a più valori; funzioni biunivoche (escluse iniettive e suriettive). - Dominio, codominio, segno. - Simmetrie e periodicità. Limiti: - definizioni (escluso criterio di Cauchy) e regole di calcolo elementare; - casi di indecisione e limiti notevoli; - asintoti rettilinei e teoremi relativi; - teoremi di unicità del limite, permanenza del segno, confronto. Continuità: - definizioni (nel punto e nell intervallo); - varie specie di discontinuità; - teoremi relativi ad operazioni elementari e teorema di Weierstrass (esclusa continuità uniforme e teorema di Cantor-Heine). Derivate - Derivabilità nel punto, nell intervallo, derivata destra e sinistra. - Punti angolosi e cuspidi. - Derivazioni elementari (escluso funzione inversa). - Monotonia e legami con derivate. - Legami fra continuità e derivabilità. - Derivate successive. - Teorema di de l Hospital. - Utilizzo delle derivate per la ricerca dei punti estremanti in funzioni di una variabile. - Concavità, convessità, flessi e teoremi relativi. - Traslazioni. - Ricerca di estremo superiore e inferiore, massimo e minimo assoluto. - Grafico completo. Funzioni di più variabili - Dominio, segno e limiti. - Derivate direzionali e parziali e loro utilizzo. Teoremi sul calcolo differenziale - Concetto di differenziale (solo significato geometrico). - Teoremi di Rolle e Lagrange. - Teoremi di Taylor, Mc Laurin (solo per funzioni di una variabile e senza maggiorazione del resto). - Differenziale totale. Teoria dell Integrazione - integrali indefiniti con calcolo delle primitive di funzioni elementari (escluse sostituzione e funzioni razionali fratte). - integrali definiti e teoria della misura. 3

4 - Integrali impropri. Dimostrazione dei seguenti teoremi: - Limite della somma di funzioni. - Derivata della somma di funzioni. - Teorema di Fermat. - Crescenza-decrescenza implicate dal segno della derivata. BIBLIOGRAFIA CONSIGLIATA Corso propedeutico: - Bellini A., M. Consoli e S. Moreni: Corso propedeutico di Matematica, Giappichelli Editore, Torino, I e II modulo: - Bellini A., S. Mercanti, S. Moreni e S. Ravasio: Metodi Matematici Esercizi, Giappichelli Editore, Torino, Gambarelli G. e S. Mercanti: Matematica indolore, V edizione, Giappichelli Editore, Torino, PIATTAFORMA E-LEARNING Per ulteriori esercizi è anche disponibile una piattaforma e-learning. MODALITÀ D ESAME Per superare l esame lo studente deve dar prova di avere una buona conoscenza di tutte le parti del programma, nessuna esclusa. L'esame consiste in una prova scritta (a risposte sia aperte che chiuse) e, per chi la supera, una successiva prova orale, a discrezione dei docenti. L'ISCRIZIONE Per accedere alla prova scritta di Elementi di Matematica è necessario aver superato il test completo relativo ai precorsi di Matematica ed essersi regolarmente iscritti. Il controllo sull'avvenuto superamento del test completo sui precorsi di Matematica potrà anche avvenire dopo l'effettuazione della prova scritta o orale; in caso di infrazione, l'intero esame (scritto e orale) verrà annullato. L'iscrizione all esame è unica per scritto e orale. Va fatta on-line nei tempi e nei modi stabiliti dalla Segreteria Studenti. Trattandosi di un'operazione tecnica, qualsiasi problema relativo all'iscrizione va risolto esclusivamente con tale Segreteria entro la relativa scadenza. Lo studente dovrà conservare copia cartacea dell'avvenuta iscrizione da esibire, a richiesta dei docenti, all'inizio della prova. 4

5 Qualche giorno prima dello scritto verranno pubblicati on-line gli elenchi degli studenti regolarmente iscritti e le relative aule. Chi, pur essendosi iscritto, non trovasse in tali elenchi il proprio nome, dovrà inviare immediatamente un' ai docenti, indicando la data del superamento del test completo dei precorsi di Matematica e allegando una scansione della ricevuta di iscrizione all'esame. Lo studente che non risultasse regolarmente iscritto non potrà sostenere la prova (*). LA RINUNCIA ALL ISCRIZIONE Per motivi di prenotazione aule e per esigenze della Segreteria Studenti, è indispensabile che chi rinuncia a presentarsi alla prova scritta annulli la sua iscrizione tramite sportello internet entro la scadenza consentita. LA VALIDITÀ La validità della prova scritta è relativa al solo orale immediatamente successivo. Se lo studente non sostiene o non supera tale orale, la prova scritta viene annullata (*). LO SVOLGIMENTO DELLA PROVA SCRITTA LA PRESENTAZIONE ALL APPELLO Lo studente deve presentarsi munito di: - stampa su carta della ricevuta di iscrizione alla prova scritta, - carta d'identità o passaporto validi, - tesserino universitario ovvero, nel caso in cui non fosse ancora reso disponibile dalla Segreteria Studenti, un certificato che attesti l'iscrizione dello studente all'università. La mancanza di uno solo di tali documenti implica l'esclusione dalla prova, senza eccezioni. Lo studente dovrà inoltre munirsi di penna a inchiostro nero non sbiadito, con la quale compilerà l'intera prova scritta. LO SVOLGIMENTO Durante la prova non si possono utilizzare libri, appunti, calcolatrici, apparecchiature per memorizzare o scambiare informazioni, borse, cartelle eccetera. In particolare non è consentito l uso di orologi (di qualsiasi tipo) o dispositivi elettronici indossabili in genere (il tempo mancante al termine della prova verrà comunicato dai docenti). Tutto il materiale non consentito (compresi il telefono cellulare e tutti gli altri dispositivi elettronici spenti) va depositato all'ingresso; i docenti e l Università non si assumono alcuna responsabilità in caso di non ritrovamento di oggetti depositati. Nel corso della prova è vietato comunicare in alcun modo con altri. Per gli inadempienti a una qualsiasi delle prescrizioni suesposte vi sarà l annullamento della prova e la segnalazione alla Presidenza per quanto di competenza. 5

6 È indispensabile scrivere con penna a inchiostro nero non sbiadito, in modo chiaro e intellegibile, in stampatello se non si possiede una bella scrittura. In caso di risposta errata e/o confusa, questa va cancellata e riscritta chiaramente. Le parole, le lettere e i numeri non facilmente interpretabili verranno considerati errati. Chi entra nell aula per sostenere l esame si impegna a non uscirne almeno per un ora; in seguito chi esce non può più rientrare in aula. LA VALUTAZIONE Ogni risposta lasciata in bianco riceverà punteggio nullo. Nella parte a risposte aperte, ogni risposta errata in modo grossolano riceverà punteggio negativo. In testa a ogni quesito sarà riportato l'intervallo entro cui potrà variare il relativo punteggio (con somma dei massimi di tali intervalli uguale a 30). Un elaborato con punteggio totale inferiore a 16 verrà giudicato gravemente insufficiente. Al termine della prova, tutti gli studenti devono consegnare il loro elaborato. Prima di farlo, ogni candidato è invitato a effettuare un'autovalutazione. Se il punteggio calcolato corrisponde a "gravemente insufficiente", allo studente conviene ritirarsi, consegnando l'elaborato con la dicitura "ritirato" di traverso sulla facciata del foglio di bella copia. Infatti, gli autori non ritirati di prove scritte gravemente insufficienti riceveranno una nota di demerito una nota di demerito per il successivo appello. LA COMUNICAZIONE DEI RISULTATI Con l'esposizione degli elenchi degli studenti regolarmente iscritti alla prova scritta verranno comunicati: data di esposizione dei risultati e prossimo ricevimento. Si invitano gli studenti a prendere nota di tale data (*). I risultati verranno esposti sia nella bacheca cartacea (fuori dallo studio dei docenti) che sulla piattaforma internet. LA VISIONE DELL'ELABORATO Le prove scritte possono essere visionate per un anno dall'effettuazione, a partire dal ricevimento studenti immediatamente successivo l'esposizione dei risultati. LA PROVA ORALE La prova orale può essere sostenuta solo se si è superata la prova scritta dello stesso appello. LA PRESENTAZIONE ALL'APPELLO Ogni studente deve presentarsi munito di: - carta d'identità o passaporto validi, - tesserino universitario, La mancanza di uno solo di tali documenti implica l'esclusione dalla prova, senza eccezioni. 6

7 LO SVOLGIMENTO Nel corso della prova orale verranno effettuate domande su qualsiasi argomento del corso e del precorso. Inoltre lo studente dovrà aspettarsi almeno una domanda riguardante ciascuno dei capitoli in cui non ha risposto perfettamente nella prova scritta. STUDENTI DI ANNI ACCADEMICI PRECEDENTI A partire dal primo appello relativo all'a.a tutti e soli gli studenti che potranno sostenere l'esame con il professor Gambarelli saranno quelli, presenti e passati, che nel piano di studi hanno un insegnamento da 6 cfu attinente la sola Analisi matematica. Tutti gli altri studenti (compresi quelli che negli anni accademici precedenti hanno seguito le lezioni col professor Gambarelli) si dovranno rivolgere agli altri docenti secondo le indicazioni fornite dalla Segreteria studenti. (*) QUALSIASI INVIATA IN PROPOSITO AI DOCENTI SARÀ SGRADITA E NON RICEVERÀ RISPOSTA. 7