Sistemi Dinamici a Tempo Continuo

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1 Parte 2 Aggiornamento: Febbraio 2012 Parte 2, 1 T Sistemi Dinamici a Tempo Continuo Ing. Roberto Naldi DEIS-Università di Bologna Tel roberto.naldi@unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~rnaldi

2 Parte 2, 2 Sistema dinamico Modello Matematico di un oggetto fisico che interagisce con il mondo circostante tramite due vettori di variabili dipendenti dal tempo t Variabili di ingresso Sistema Dinamico Variabili di uscita Variabili di ingresso: azioni compiute sul sistema da agenti esterni che ne influenzano il comportamento Variabili di uscita: grandezze del sistema in esame che, per qualche ragione, sono di interesse Rapporto causa-effetto tra le variabili

3 Normalmente il valore dell ingresso (causa) ad un certo istante temporale non e sufficiente per determinare il valore assunto dall uscita (effetto) allo stesso istante Parte 2, 3 Variabili di stato: variabili che descrivono la situazione interna del sistema (determinata dalla storia passata) necessarie per determinare l uscita Ingressi stato uscita Descritti dal modello matematico

4 Esempio 1 R 1 Parte 2, 4 Ingresso: Uscita: R 0 V R0 R 2 Legge di Ohm alla maglia: Ingresso: Uscita: Modello: In questo caso particolare l ingresso è sufficiente per determinare l uscita

5 Esempio 2: Circuito RC Parte 2, 5 Dalla legge delle tensioni e sapendo che si ottiene Avendo posto

6 Esempio 2: Circuito RC Parte 2, 6 Ingresso: tensione E ai morsetti del generatore Uscita: Tensione V R ai capi della resistenza Stato: Tensione V C ai capi del condensatore

7 Parte 2, 7 Modello Matematico: rappresentazione di stato Dipendenza dell uscita dall ingresso e dallo stato: Vettore uscita Vettore stato Vettore ingresso Evoluzione dello stato in funzione dell ingresso e dello stato: Equazione di stato Derivata dello stato all instante t Dato (valore dello stato all istante iniziale) e dato, sotto certe proprietà di regolarità di, allora l equazione di stato definisce l andamento di

8 Modello Matematico: rappresentazione di stato Parte 2, 8 n = ordine del modello m = numero di ingressi r = numero di uscite

9 Esempio 3: sistema meccanico Parte 2, 9 M: massa carrello h: coefficiente attrito viscoso k: coefficiente di elasticità della molla, HP: Forze agenti sul carrello forza di attrito viscoso: forza di reazione elastica della molla: forza applicata:

10 Esempio 3: Sistema Meccanico Parte 2, 10 Equazione della dinamica (II legge di Newton) Ingresso: T Uscita: scelgo come uscita la posizione del carrello x Variabili di stato? Posizione e velocità del carrello, quindi Quindi riscrivo la dinamica del sistema come

11 Esempio 3: Sistema Meccanico Parte 2, 11 Modello del sistema: Ingresso: forza T Uscita: posizione x Stato: posizione e velocità

12 Classificazione sistemi dinamici Parte 2, 12 Un sistema dinamico si dice SISO (Single Input-Single Output) se r=m=1 MIMO (Multi Input-Multi Output) altrimenti Un sistema dinamico si dice strettamente proprio o puramente dinamico nel caso proprio in caso contrario N.B. L uscita dipende dall ingresso solo attraverso lo stato Un sistema dinamico si dice Stazionario se le funzioni f e h esplicitamente dal tempo, ovvero non dipendono Tempo variante in caso contrario

13 .. Classificazione sistemi dinamici Parte 2, 13 Un sistema dinamico si dice lineare se le funzioni f e h dipendono linearmente dalle variabili di stato e di ingresso, ovvero dove non lineare in caso contrario Nota: Se il sistema e lineare e stazionario allora Se il sistema e strettamente proprio,

14 .. Classificazione sistemi dinamici Parte 2, 14 Esempio 2: circuito RC SISO proprio stazionario lineare Esempio 3: sistema meccanico SISO strettamente proprio stazionario nonlineare (a causa della non linearità nel coefficiente di elasticità)

15 Parte 2, 15 Principi di modellistica

16 Derivazione del modello mediante indagine diretta Parte 2, 17 L analisi energetica del sistema risulta uno strumento utile per la derivazione del modello matematico Incremento/decremento infinitesimale di energia interna Potenza istantanea La potenza (istantanea) fornita al sistema può: essere dissipata nel sistema variare il livello di energia accumulata nel sistema essere trasferita all'esterno, magari in un altro sistema fisico

17 .. Derivazione del modello mediante indagine diretta Parte 2, 18 Dalla definizione di stato (grandezza che sintetizza la storia passata del sistema utile al fine di calcolare l uscita corrente) sembra ragionevole scegliere, come variabili di stato, grandezze che determinano quantità di energia accumulate nel sistema (Variabili Energetiche) In ogni dominio energetico (tranne quello termico) ci sono due variabili energetiche e due meccanismi di accumulo dell energia che dipendono, ciascuno, da una sola delle due variabili energetiche. Il prodotto delle due variabili energetiche rappresenta la potenza in quel particolare dominio energetico In ogni dominio energetico esiste un parametro che lega le due variabili energetiche e che caratterizza il meccanismo di dissipazione dell energia in quel dominio

18 Considerazioni energetiche Parte 2, 19 Definizione delle variabili energetiche nei diversi domini fisici Dominio Potenza Variabili Energetiche Elettrico Meccanico traslazionale Meccanico rotazionale Fluidico Termico tensione ai capi di un conduttore velocità traslazionale di un corpo velocità rotazionale di un corpo pressione ai capi di una condotta flusso di corrente attraverso un conduttore forza applicata ad un corpo coppia applicata ad un corpo portata di una condotta calore

19 ..Considerazioni energetiche Parte 2, 20 Dominio Elettrico Tensione ai capi di conduttore (il quadrato e proporzionale alla energia elettrica accumulata) (accumulo capacitivo) capacità Corrente attraverso un conduttore (il quadrato e proporzionale alla energia magnetica accumulata) (accumulo induttivo) induttanza Parametro di dissipazione: Resistenza elettrica

20 ..Considerazioni energetiche Parte 2, 21 Dominio Meccanico Velocità (translazionale-rotazionale) di un corpo (il quadrato e proporzionale alla energia cinetica accumulata) massa (accumulo capacitivo) momento di inerzia Forza-Coppia applicata ad un corpo (il quadrato e proporzionale alla energia potenziale accumulata) (accumulo induttivo) Rigidità longitudinale Rigidità torsionale Parametro di dissipazione: Coeff. attrito viscoso

21 ..Considerazioni energetiche Parte 2, 22 Dominio fluidico (Idraulico-Pneumatico) Differenza di pressione ai capi di una condotta (il quadrato e proporzionale alla energia cinetica accumulata) Capacità fluidica (accumulo capacitivo) Portata di una condotta (il quadrato e proporzionale alla energia potenziale accumulata) Parametro di dissipazione: Induttanza fluidica (accumulo induttivo) Resistenza fluidica

22 ..Considerazioni energetiche Parte 2, 23 Dominio Termico Differenza di temperatura ai capi di un mezzo Capacità termica (accumulo capacitivo) Parametro di dissipazione: Resistenza termica

23 Parte 2, 24 Tabella riassuntiva Dominio Accumulo capacitivo Accumulo induttivo Dissipazione Elettrico Meccanico traslazionale Meccanico rotazionale Fluidico Termico assente L energia accumulata dipende da: variabili ai morsetti Variabili passanti

24 Derivazione modelli matematici di sistemi fisici con considerazioni energetiche scelta variabili di stato Parte 2, 25 La potenza (istantanea) fornita al sistema può: essere dissipata nel sistema variare il livello di energia accumulata nel sistema secondo le due modalità viste essere trasferita all'esterno, magari in un altro sistema fisico Dalla definizione di stato (grandezza che sintetizza la storia passata del sistema utile al fine di calcolare l uscita corrente) sembra ragionevole scegliere, come variabili di stato, grandezze che determinano quantità di energia accumulate nel sistema (Variabili Energetiche)

25 Derivazione modelli matematici di sistemi fisici con considerazioni energetiche calcolo equazioni differenziali Parte 2, 26 1) Scomposizione sistema complessivo in sottosistemi elementari il cui modello matematico sia facilmente derivabile (sotto opportune ipotesi) Sistema elementare Elementi di accumulo dell energia Problema: ricavare il modello di un sistema elementare (vedi dopo)

26 .calcolo equazioni differenziali Parte 2, 27 2) Composizione dei modelli matematici elementari mediante principi base della fisica (conservazione dell energia) per derivare il modello complessivo: Sistemi elettrici: leggi di Kirchoff per le tensioni e per le correnti Sistemi meccanici: Bilanciamento di Forze/Coppie Sistemi idraulici: Equazioni di Bernoulli La complessità dinamica di un sistema (numero di variabili di stato) è legata al numero di elementi di accumulo presenti

27 Parte 2, 28 Calcolo equazioni differenziali: Derivazione modelli elementari Definendo un generico parametro di accumulo (capacitivo o induttivo) e con due generiche variabili energetiche del medesimo dominio energetico si ha che Energia accumulata all istante Potenza fornita all istante Dalla relazione si ottiene ovvero da cui

28 .. Derivazione modelli matematici di sistemi fisici con considerazioni energetiche calcolo equazioni differenziali Parte 2, 29 La relazione rappresenta il modello generalizzato del meccanismo di accumulo di energia per un accumulatore elementare non dissipativo Considerazioni: equazione differenziale che lega le variabili energetiche relazione generale indipendente dal dominio energetico

29 Parte 2, 30 Modelli componenti elementari: accumulatori capacitivi Condensatore Ipotesi: assenza di resistenza e induttanza Variabili energetiche: corrente tensione Modello matematico: Accumulo di energia:

30 .. Modelli componenti elementari: accumulatori capacitivi Parte 2, 31 Massa/inerzia Ipotesi: assenza di attrito ed elasticità Variabili energetiche: forza/coppia Velocità tras./rot. Modello matematico: Accumulo di energia:

31 .. Modelli componenti elementari: accumulatori capacitivi Parte 2, 32 Condotta Idraulica Ipotesi: assenza di attrito ed inerzia nulla del fluido Variabili energetiche: portata pressione Modello matematico: Accumulo di energia:

32 .. Modelli componenti elementari: accumulatori capacitivi Parte 2, 33 Parete Ipotesi: assenza di dissipazione variabile energetica: = temperatura Modello matematico: Accumulo di energia:

33 Modelli componenti elementari: accumulatori induttivi Parte 2, 35 Induttore Ipotesi: assenza di resistenza e capacità Variabili energetiche: corrente tensione Modello matematico: Accumulo di energia:

34 Modelli componenti elementari: accumulatori induttivi Parte 2, 36 Molla lineare/torsionale Ipotesi: assenza di massa e attrito Variabili energetiche: forza/coppia velocità tras./rot. Modello matematico: Accumulo di energia:

35 Modelli componenti elementari: accumulatori induttivi Parte 2, 37 Condotta idraulica Ipotesi: assenza di attrito e capacità Variabili energetiche: portata pressione Modello matematico: Accumulo di energia:

36 Modelli componenti elementari: dissipazione potenza Parte 2, 39 Ammortizzatore Ipotesi: massa nulla, corpi rigidi Variabili energetiche: forza velocità Modello matematico: Potenza istantanea dissipata:

37 .Modelli componenti elementari: dissipazione potenza Parte 2, 40 Resistore Ipotesi: capacità e induttanze nulle Variabili energetiche: corrente tensione Modello matematico: Potenza istantanea dissipata:

38 .Modelli componenti elementari: dissipazione potenza Parte 2, 41 Condotta idraulica Ipotesi: condotta piena e inerzia del fluido nulla Variabili energetiche: portata pressione Modello matematico: Potenza istantanea dissipata:

39 .Modelli componenti elementari: dissipazione potenza Parte 2, 42 Parete Ipotesi: assenza di accumulo di calore interno variabile energetica: = temperatura Modello matematico: Potenza istantanea dissipata:

40 Alcune considerazioni Parte 2, 44 analogie tra modelli di sistemi fisici diversi e modelli di sistemi elettrici utilizzate per trasferire esperienze tra settori disciplinari per studiare e simulare sistemi qualunque mediante circuiti elettrici molto usato nel passato oggi sostituito da simulazione numerica allo stesso sistema fisico sono associabili diversi modelli matematici importanza delle specifiche e degli obiettivi di modellazione equazioni algebriche modelli statici equazioni differenziali modelli dinamici

41 Costruzione di modelli per sistemi complessi Parte 2, 45 sistemi elettrici leggi di Kirchoff in corrente (ai nodi) leggi di Kirchoff in tensione (alle maglie) sistemi meccanici diagramma di corpo libero si tengono solo le masse gli elementi di collegamento sono sostituiti dalle relative azioni un modo per risolvere problemi complessi è quello che sfrutta le analogie tra domini fisici si riporta per analogia il sistema in esame ad uno equivalente nel dominio nel quale l'analisi risulta più semplice o più vicina alla cultura del progettista es. dominio elettrico per gli ingegneri della informazione

42 Parte 2, 47 Esempio Circuito Elettrico Rg R1 R2 ~ C1 L1 C2 Ricavare modello del sistema nello spazio degli stati

43 Parte 2, 48 Esempio Circuito Elettrico Rg R1 i1 i3 R2 i2 x2 i4 ~ x1 x3 C1 L1 C2 Variabili di stato: x 1 = tensione su C1 x 2 = corrente su L1 x 3 = tensione su C2

44 Parte 2, 49 Esempio Circuito Elettrico Le leggi di Kirchhoff esprimono il bilancio delle cadute di potenziale lungo le maglie o delle correnti ai nodi: La somma algebrica delle tensioni in una maglia è nulla; La somma algebrica delle correnti in un nodo è nulla. v 2 v 1 v 3 v 4 i 2 i 3 i 1 i 4 v 1 = v 2 + v 3 + v 4 i 1 + i 2 + i 3 +i 4 = 0

45 Esempio Circuito Elettrico Parte 2, 50 Rg R1 i1 i3 R2 ~ x1 i2 C1 x2 L1 x3 i4 C2 Nodo 1: Nodo 2: Maglia 1: Maglia 2:

46 Parte 2, 51 Esempio Circuito Elettrico Rg R1 i1 i3 R2 ~ x1 i2 C1 x2 L1 x3 i4 C2 Equazioni di stato:

47 Parte 2, 52 Esempio Circuito Elettrico Modello nello spazio degli stati: SISO strettamente proprio stazionario lineare

48 Parte 2, 53 Esempi di modellistica di sistemi complessi

49 Esempio 4: pendolo Parte 2, 54 M: massa pendolo L: lungheza del pendolo h: coefficiente attrito viscoso Momento d inerzia rispetto al punto di rotazione: ML 2 Coppia di attrito viscoso: Coppia gravitazionale: Coppia motrice:

50 .Esempio 4: Pendolo Parte 2, 55 Equazione della dinamica (II legge di Newton) Ingresso: Uscita: scelgo come uscita l energia meccanica del pendolo data da (energia cinetica + potenziale gravitazionale dove avendo calcolato l energia potenziale rispetto al centro di rotazione. Stato: Modello (SISO, nonlineare)

51 Esempio 5: VTOL (quadrirotore) Parte 2, 56 Momento d inerzia rispetto al centro di gravita Massa del velivolo Lunghezza braccio motore / c.g. Forza risultante applicata al centro di gravità: Coppia risultante applicata al centro di gravità:

52 Esempio 5: VTOL (quadrirotore) Parte 2, 57 Momento d inerzia rispetto al centro di gravita Massa del velivolo Lunghezza braccio motore / c.g. Dalla legge di Newton per le forze: Dalla legge di Newton per i momenti: con