Esercizio (tratto dal problema 6.16 del Mazzoldi 2)

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1 Esercizio (tratto dal problema 6.6 del Mazzoldi ) Un proiettile di massa M viene sparato da terra all istante t 0 con velocità iniziale di modulo v 0 m/s ad un angolo θ 60 o con l orizzontale. Arrivato alla sommità della sua traiettoria il proiettile esplode in due frammenti di massa pari a m 900 gr e m 600 gr rispettivamente. I due frammenti arrivano al suolo contemporaneamente e la distanza di m dal punto di lancio è x,cad 5 m. Calcolare:. la posizione di caduta x,cad del frammento m ;. l energia cinetica K CM del centro di massa immediatamente prima dell esplosione; 3. le velocità dei due frammenti immediatamente dopo l esplosione. y?? Figure : x Esplosione del proiettile in due frammenti

2 SOLUZIONE DATI INIZIALI v 0 m/s θ π/3 m 0.9 Kg m 0.6 Kg M m + m.5 Kg x,cad 5 m Consideriamo i due frammenti come un unico sistema di due punti materiali m e m che sono uniti prima dell esplosione e separati dopo l esplosione. Su ciascun frammento agiscono:. forze interne dovute all altro frammento (forze di coesione prima dell esplosione e forze di repulsione durante l esplosione);. forza peso (esterna al sistema in quanto è dovuta alla terra). NB: A causa della presenza di forze esterne (forza peso) il sistema dei due frammenti non è isolato. La quantità di moto totale P del sistema è governato dall equazione d P dt Fext (m + m ) g () Ricordando che la velocità v CM del centro di massa (C.M.) è legata a P tramite P M v CM dove M m + m è la massa totale del sistema, abbiamo d v CM dt Fext M g () ossia il moto del centro di massa, durante tutta la traiettoria (prima, durante e dopo l esplosione), è determinato dalla sola forza peso. Di fatto il centro di massa non vede l esplosione, che è un fenomeno interno al sistema dei due frammenti. In componenti l Eq.() si scrive dv x CM dt dv y CM g dt da cui si ricava subito la legge oraria per le componenti della velocità del centro di massa vcm(t) x const v0,cm x v 0 cos θ (moto rettilineo uniforme) v y CM (t) vy 0,CM g t v 0 sin θ g t 0 (moto rettilineo unif. accelerato) (3) (4)

3 3 Tenendo conto che il proiettile parte da (x, y) (0, 0), la legge oraria delle coordinate del centro di massa si ricava dalle (4) x CM (t) v 0 cos θ t (moto rettilineo uniforme) y CM (t) v y 0,CM t g t v 0 sin θ t (5) g t (moto rettilineo unif. accelerato) Pertanto il C.M. si muove di un moto parabolico, completamente insensibile all esplosione. L istante t cad caduta del C.M. si determina dal moto lungo la verticale y. Dalla seconda delle Eq.(4) è facile ricavare che t cad vy 0,CM g v 0 sin θ g dove il fattore indica che t cad è il doppio del tempo di ascesa da terra fino all altezza massima. (6) La posizione orizzontale di caduta x CM,cad del C.M. si calcola valutando la prima delle (5) all istante t t cad x CM,cad x CM (t cad ) v 0 cos θ t cad v 0 sin θ cos θ g (7). Per definizione di C.M. abbiamo che, istante per istante, x CM (t) x (t) m + x (t) m M Siccome sappiamo che i due frammenti atterrano allo stesso istante, abbiamo che in particolare all istante di caduta x CM,cad x,cad m + x,cad m (9) M da cui ricaviamo x,cad M x CM,cad x,cad m (0) m e, utilizzando la (7), si ottiene x,cad ( ) M v 0 sin θ cos θ x,cad m m g Sostituendo i valori si trova x,cad.5 Kg/ / ( m 3 s ) / 0.9 Kg/ 9.8 m 5 m 0.6 Kg/ s (.5 44 ) m (8) (). m (). L energia cinetica del C.M. immediatamente prima dell esplosione è data da K CM (t exp ε) M(( vx CM ) + (v y CM (t exp ε) ) ) Mv 0 cos θ (3) v0,cm x 0

4 4 dove v x CM,exp vx 0,CM v 0 cos θ, dato che il moto del C.M. lungo x è rettilineo uniforme; v y CM (t exp ε) 0 perché l esplosione avviene quando il proiettile ha raggiunto l altezza massima. Sostituendo i valori si trova K CM,exp.5 Kg ( m s ) Kg m 8 s 7 J (4) 3. Velocità dei due frammenti immediatamente dopo l esplosione Moto dei due frammenti lungo y: Osserviamo che il tempo di caduta di ciascuno dei due frammenti è determinato dal loro moto verticale lungo y. Siccome all istante t exp essi partono dalla stessa altezza, e siccome dopo l esplosione sono soggetti alla stessa accelerazione g, dall informazione che essi arrivano al suolo contemporaneamente deduciamo che subito dopo l esplosione le loro velocità (lungo y) sono uguali v y vy (5) (in caso contrario infatti non atterrerebbero allo stesso istante). D altra parte, siccome l esplosione avviene quando il proiettile è arrivato alla sommità, abbiamo Pertanto, dalla (30), abbiamo che v y CM (t exp) 0 (6) 0 m v y + m v y (m + m ) v y v y vy 0 (7) Pertanto l esplosione non intacca il moto lungo y dei due frammenti, e l andamento nel tempo delle componenti y delle quantità di moto è disegnato in Fig.. Moto dei due frammenti lungo x: Determiniamo ora le componenti e vx delle velocità dopo l esplosione. Esse rimarranno costanti nel tempo, dato che i moti lungo x sono rettilinei uniformi. Consideriamo anzitutto il moto del frammento. La sua legge oraria dopo l esplosione x (t) v x 0,CM t exp posiz. all istante dell esplosione + (t t exp ) (8)

5 5 P y Mv 0 sin CM t cad t t exp Figure : La componente y della quantità di moto totale (curva nera) non si conserva nel tempo perchè la sua componente P y decresce nel tempo. Tuttavia si conserva attraverso l esplosione perché varia con continuità in t t exp. In questo caso anche le quantità di moto dei due singoli frammenti (curve rossa e blu) si conservano attraverso l esplosione. In particolare, al tempo t cad di caduta, si ha x,cad x (t cad ) v x 0,CM t exp + (t cad t exp ) (9) Siccome l esplosione avviene alla sommità della traiettoria, abbiamo Dalla (9) otteniamo dunque da cui t exp t cad x,cad (v x 0,CM + ) t cad (0) () Sostituendo i dati x,cad t cad v x 0,CM Per il frammento osserviamo che, dalla (9), Sostituendo la () in (4) otteniamo g x,cad v 0 sin θ v 0 cos θ () m/ m s m/ m 3 s s ( ) m 3 6 s 8.6 m s (3) m (Mv x 0,CM m ) (4) (Mv0,CM x m ) m ( ( )) g x,cad Mv 0 cos θ m m v 0 sin θ v 0 cos θ ( + m )v 0 cos θ m g x,cad m m v 0 sin θ (5)

6 6 Sostituendo i dati ( 0.6 Kg + / ) m 0.9 Kg / s ( Kg/ 9.8 m/ 0.9 Kg/ ) m s 4.56 m s m/ s s 5 m La traiettoria dei due frammenti è pertanto quella disegnata in Fig.3. y 3 (6) CM x,cad x,cad x Figure 3: Il moto del centro di massa e dei due frammenti. 4. L andamento nel tempo delle quantità di moto lungo x è quello in Fig.4. Sia p x che px subiscono un salto all istante dell esplosione e dunque non si conservano attraverso l urto. Se guardiamo invece alla quantità di moto totale P, essa non si conserva nel tempo [come si vede dalla ()], a causa della forza peso che fa variare nel tempo la componente P y (t) Mv y CM (t) secondo P y (t) Mv y CM (t) M(v 0 sin θ gt) (P y decresce linearmente nel tempo) (7) Tuttavia P si conserva attraverso l esplosione, nel senso che varia con continuità senza subire salti all istante dell esplosione (il C.M. non vede l esplosione), ossia P (t exp ε) immediatam. prima P (t exp + ε) immediatam. dopo Indicando con v e v le velocità dei due frammenti immediatamente dopo l esplosione, l Eq.(8) in componenti diventa P x (t exp ε) Mv x 0,CM P x (t exp + ε) m +m v x (8) (9) P y (t exp ε) P Mv y CM (texp) y (t exp + ε) m v y +m v y (30)

7 7 Mv 0 cos P x CM m v x0 m v x0 t exp t cad t Figure 4: La componente x della quantità di moto totale (curva nera) si conserva nel tempo perchè la forza esterna di gravità non agisce lungo tale direzione. In particolare si conserva attraverso l esplosione. Al contrario, le quantità di moto dei due singoli frammenti (curve rossa e blu) non si conservano attraverso l esplosione (in quanto le loro componenti x subiscono un salto al momento dell esplosione).