Tre resistenze in serie

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Massimiliano Bianchini
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1 Tre resistenze in serie Un circuito è formato da tre resistenze collegate in serie a una batteria da 24,0 V. La corrente nel circuito è di 0,0320 A. Sapendo che R 1 = 250,0 Ω e R 2 = 150,0 Ω, calcola a)il valore di R 3 b)la differenza di potenziale ai capi di ciascuna resistenza Descrizione del problema La figura riporta lo schema del circuito con le tre resistenze e quello del circuito con la resistenza equivalente Nel primo circuito ogni resistenza è attraversata dalla stessa corrente I

2 Strategia Possiamo ottenere la resistenza equivalente del circuito utilizzando la legge di Ohm R eq = ε/i Poiché le resistenze sono in serie, sappiamo che R eq = R 1 + R 2 + R 3, quindi possiamo ricavare l unica incognita R 3 Per calcolare la differenza di potenziale ai capi di ciascuna resistenza utilizziamo ancora la legge di Ohm, V = IR

3 Soluzione a)utilizziamo la legge di Ohm per calcolare la resistenza equivalente del circuito Imponiamo l uguaglianza tra R eq e la somma delle resistenze e ricaviamo R 3 R eq = R 1 + R 2 + R 3 R 3 = R eq R 1 R 2 = = 750,0 Ω 250,0 Ω 150,0 Ω = 350,0 Ω b)utilizziamo la legge di Ohm per calcolare la differenza di potenziale ai capi di R 1 V 1 = IR 1 = (0,0320 A) (250,0 Ω) = 8,00 V Ripetiamo il calcolo per la d.d.p. ai capi di R 2 ed R 3 V 2 = IR 2 = (0,0320 A) (150,0 Ω) = 4,80 V V 3 = IR 3 = (0,0320 A) (350,0 Ω) = 11,2 V

4 Osservazioni All aumentare della resistenza aumenta la differenza di potenziale La somma delle singole d.d.p. è 24,0 V, come ci aspettavamo

5 Resistenze in serie e in parallelo Un esempio di resistenze in serie è la resistenza interna di una batteria

6 Resistenze in parallelo Le resistenze sono in parallelo quando sono collegate alla stessa differenza di potenziale

7 Resistenza equivalente di resistenze in parallelo

8 Tre resistenze in parallelo Un circuito è formato da tre resistenze, R 1 = 250,0 Ω, R 2 = 150,0 Ω e R 3 = 350,0 Ω, collegate in parallelo con una batteria da 24,0 V Calcola a)la corrente totale fornita dalla batteria b)la corrente che passa attraverso ciascuna resistenza

Tre resistenze in parallelo Descrizione del problema In figura sono mostrati il collegamento in parallelo delle tre resistenze con la batteria e il circuito con la resistenza equivalente.

9 Tre resistenze in parallelo Descrizione del problema In figura sono mostrati il collegamento in parallelo delle tre resistenze con la batteria e il circuito con la resistenza equivalente. Osserviamo che alle estremità di ogni resistenza c è la stessa differenza di potenziale Strategia a)possiamo determinare la corrente totale utilizzando la relazione I = ε/r eq, dove 1/R eq = 1/R 1 + 1/R 2 + 1/R 3 b)per ogni resistenza la corrente si ricava dalla legge di Ohm, I = ε/r

10 Tre resistenze in parallelo Soluzione a)calcoliamo la resistenza equivalente del circuito, utilizzando la relazione da cui R eq = (0,01352 Ω 1 ) 1 = 73,96 Ω Utilizziamo la legge di Ohm per calcolare la corrente totale

11 Tre resistenze in parallelo Determiniamo I1 dalla legge di Ohm I1 = ε/r1, con ε = 24,0 V Ripetiamo il calcolo precedente per le correnti I2 e I3

12 Resistenze in serie e in parallelo Potenza dissipata nei circuiti Confrontiamo la potenza dissipata nei Problem solving 6 e 7

13 Semplificazione di circuiti con un solo generatore

14 Una combinazione speciale Nel circuito rappresentato in figura la fem della batteria è 12,0 V e tutte le resistenze hanno lo stesso valore R = 200 Ω Determina a)la corrente erogata al circuito dalla batteria b)la corrente che attraversa le due resistenze del ramo inferiore Descrizione del problema Il circuito ha tre resistenze collegate a una batteria Le due resistenze del ramo inferiore sono in serie l una con l altra e in parallelo con quella del ramo superiore

15 Strategia a)la corrente I è data dalla legge di Ohm, I = ε/r eq, dove R eq è la resistenza equivalente delle tre resistenze Per determinare R eq osserviamo anzitutto che le due resistenze del ramo inferiore sono in serie e che la loro resistenza totale è pari a 2R La resistenza del ramo superiore, R, è in parallelo con 2R, quindi la R eq richiesta corrisponde alla resistenza equivalente di quest ultima combinazione b)poiché la tensione applicata al ramo resistivo inferiore è pari alla fem ε, la corrente che lo attraversa è I inf = ε/r eq,inf = ε/2r

16 Soluzione a)calcoliamo la resistenza equivalente delle due resistenze nel ramo inferiore R eq,inf = R + R = 2R Calcoliamo la resistenza equivalente di R in parallelo con 2R Calcoliamo la corrente I erogata dalla batteria b)utilizziamo ε e R eq,inf per calcolare la corrente che scorre nelle resistenze del ramo inferiore

17 Osservazioni La resistenza equivalente delle tre resistenze da 200 Ω è minore di 200 Ω (infatti è di soli 133 Ω) Notiamo anche che attraverso le due resistenze del ramo inferiore scorrono 30,0 ma e che quindi nel ramo superiore scorre una corrente doppia, cioè 60,0 ma

18 Applicazione delle leggi di Kirchhoff ai circuiti complessi 1. Per ciascuna maglia del circuito scegliamo un punto di partenza 2. Immaginiamo di tagliare il circuito e di raddrizzarlo e indichiamo il verso scelto per la corrente

19 3/4. Consideriamo il tratto AB dove è presente il generatore e il tratto BC dove è presente la resistenza 5. La convenzione sui segni permette di percorrere in un verso a piacere la maglia. Costruiamo ora il grafico del potenziale nei due casi

20 Circuito con un solo generatore

21 Circuito con due generatori

23 Circuiti con condensatori Condensatori in parallelo simbolo del condensatore Capacità equivalente di condensatori in parallelo C eq = C 1 + C 2 + C 3 + = ΣC

9 Energia in parallelo Due condensatori, uno di capacità 12,0 μf e l altro di capacità incognita C, sono collegati in parallelo con una batteria la cui fem è 9,00 V.

24 9 Energia in parallelo Due condensatori, uno di capacità 12,0 μf e l altro di capacità incognita C, sono collegati in parallelo con una batteria la cui fem è 9,00 V. L energia totale immagazzinata nei due condensatori è 0,0115 J. Qual è il valore della capacità C? Descrizione del problema Nello schema è rappresentato il circuito formato da una batteria da 9,00 V e da due condensatori in parallelo e il circuito con la capacità equivalente. L energia immagazzinata nei due condensatori, 0,0115 J, è uguale a quella immagazzinata nella capacità equivalente dello stesso circuito

25 Circuiti con condensatori Condensatori in serie Capacità equivalente di condensatori in serie

26 Circuiti RC Carica di un condensatore Carica sul condensatore in un circuito RC q(t) = Cε(1 e t/τ ) τ = costante di tempo del circuito

27 Corrente in un circuito RC

29 La carica di un condensatore Un circuito è formato da una resistenza di 126 Ω, una resistenza di 275 Ω, un condensatore di 182 μf, un interruttore e una batteria da 3,00 V, tutti collegati in serie Inizialmente il condensatore è scarico e l interruttore è aperto Al tempo t = 0 l interruttore viene chiuso a)quale carica avrà il condensatore dopo molto tempo dalla chiusura dell interruttore? b)in quale istante la carica sul condensatore avrà raggiunto l 80% del valore calcolato nel punto a)?

30 La carica di un condensatore Descrizione del problema La figura mostra il circuito descritto nel testo del problema con l interruttore aperto Una volta chiuso l interruttore al tempo t = 0, la corrente scorrerà nel circuito e la carica inizierà ad accumularsi sulle armature del condensatore

31 Strategia a)molto tempo dopo la chiusura dell interruttore, la corrente non scorre più e il condensatore è completamente carico. A questo punto la differenza di potenziale ai capi del condensatore è uguale alla fem della batteria e la carica sul condensatore è Q = Cε b)per determinare l istante in cui la carica sarà l 80% della carica massima Q = Cε, poniamo q(t) = Cε(1 e t/τ ) = 0,800 Cε e ricaviamo t

32 La carica di un condensatore Soluzione a)calcoliamo la carica nel condensatore, Q = Cε, per il circuito Q = Cε = (182 μf) (3,00 V) = 546 mc b)poniamo q(t) = 0,800 Cε nell equazione q(t) = Cε(1 e t/τ ) 0,800 Cε = Cε(1 e t/τ ) Semplifichiamo il termine Cε e ricaviamo t in funzione della costante τ 0,800 = 1 e t/τ e t/τ = 1 0,800 = 0,200 t = τ ln 0,200 Calcoliamo τ e utilizziamo il risultato per determinare τ τ = RC = (126 Ω Ω) (182 μf) = 73,0 ms t = (73,0 ms) (ln 0,200) = (73,0 ms) ( 1,61) = 118 ms

33 Circuiti RC Scarica di un condensatore

34 Amperometri e voltmetri

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