LE SEQUENZE Questi esercizi sono i più comuni e i più frequenti. Sono prove che si basano su un semplice principio costituito dalla ricerca della

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1 LE SEQUENZE Questi esercizi sono i più comuni e i più frequenti. Sono prove che si basano su un semplice principio costituito dalla ricerca della regola che spiega la progressione di una certa sequenza che può essere costituita da numeri, lettere o figure. Risolvere le sequenze numeriche oppure le sequenze di lettere è un esercizio di ragionamento numerico, il primo richiede una trasformazione in più, dove le lettere costituiscono dei simboli sostituibili da numeri. Osservazione: in questo tipo di esercizi l aiuto delle riposte alternative non è utilizzabile, occorre invece concentrarsi nella scoperta della regola.

2 Per chiarire subito la tipologia delle prove partiamo con un esempio: Esempio 1: Data la sequenza numerica Qual è il numero che completa la serie? a) 1 b) 3 c) 10 d) 16 e) 9

3 La risposta esatta è 10, quindi l alternativa c). Infatti, la sequenza costituisce una progressione crescente di due in due:

4 Le sequenze possono essere costituite anziché da numeri anche da lettere. A tale proposito si consiglia di imparare l ordine numerico dell alfabeto, cioè A = 1; B = 2 e così via come riportato di seguito: Solitamente gli esercizi con sequenze di lettere, in Italia, non comprendono le lettere K, J, W, X, Y.

5 Altrimenti, l abbinamento lettera numero d ordine sarebbe il seguente:

6 Esempio 2: Quale lettera completa la sequenza A D G L? a) M b) O c) C d) P e) Q La risposta esatta è la b).

7 Esempio 3: Quale lettera completa la serie B D F L? a) R b) O c) U d) Q e) T Occorre fare ricorso al numero d ordine di ciascuna lettera e scoprire la regola sottostante. Trasformiamo le lettere in numeri in modo da individuare qualche regolarità nascosta:

8 La prima più immediata è la progressione di 2 in 2 ( +2), che però non viene confermata nel passaggio da 6 a 10 e quindi dobbiamo abbandonare questa ipotesi per passare ad altro. Provate adesso a sommare le prime 2 lettere B e D, otterrete = 6 che trasformato in lettere sarebbe B + D = F. Adesso passiamo alla coppia successiva, la coppia D e F, cioè 4 e 6, otterremo = 10 ovvero trasformato in lettere D + F = L A questo punto abbiamo scoperto la regolarità della sequenza per cui è facile giungere alla conclusione che la lettera mancante è la sedicesima dell alfabeto ovvero la lettera R, quindi a) è la risposta esatta.

9 Esempio 4: Z N T L Q H.... Quale lettera completa la sequenza? a) G b) I c) E d) N e) Non ha soluzione Trasformiamo le lettere con i numeri d ordine corrispondenti.

10 In questo esercizio occorre lavorare con le coppie non contigue. Infatti la sequenza è mossa da due regole: A questo punto appare evidente che la riposta esatta è N, quindi la risposta d), dodicesima lettera dell alfabeto.

11 Esempio 5: Quale numero completa la serie? a) 9 b) 1 c) 3 d) 8 e) 6

12 Soluzione: Risp. e) 6

14 Ogni numero è dato dal precedente sommato ad una potenza progressiva del 2. Risp. c) 37.

16 Soluzione: b) 38. La soluzione è data dalla moltiplicazione del primo numero per il fattore 2 a cui si toglie 1 per ottenere il secondo numero della sequenza, cioè il 7. Il secondo numero della sequenza lo moltiplichiamo sempre per il fattore 2, ma togliamo 2 per ottenere il terzo numero della sequenza che è il 12, poi ancora moltiplichiamo il terzo numero delle sequenza per il fattore 2 ma stavolta sottraiamo 3 per ottenere il quarto numero della sequenza che è il 21, quindi l incognita ovvero il numero che completa la serie è dato dalla moltiplicazione del quarto numero della sequenza cioè il 21 sempre per il fattore 2 a cui togliamo 4 unità.

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19 Soluzione: Con esercizi che presentano numeri a tre cifre di solito si richiede di sommare o sottrarre una costante. La sequenza presenta dei numeri decrescenti. Ciascun numero diminuisce di 23 unità rispetto al precedente, quindi la risposta esatta sarà 223, cioè la risposta e).

20 Riepilogando, le regole che aiutano a risolvere le serie numeriche sono le seguenti: a) progressioni geometriche di ragione n ovvero ad ogni termine si moltiplica (o si divide) per una costante.

21 b) progressioni semplici dette progressioni aritmetiche. ovvero ad ogni termine si somma (o si sottrae) una costante.

22 c) aumentare o diminuire coppie contigue o non contigue dette successioni "a salterello"

23 d) differenze o somme tra numeri contigui (oppure moltiplicazioni e divisioni)

24 e) raddoppiare o triplicare e togliere una costante oppure un valore progressivo

25 f) addizionare una valore ad ogni numero (solitamente 1) e raddoppiare la somma g) Elevare a potenza (e poi sommare o sottrarre una costante o una successione) (si eleva ogni termine al quadrato) (si eleva ogni termine al quadrato e si sottrae 1) (si eleva al quadrato e si sottrae 1,2,3,...)

26 Classificazione delle successioni: Una sequenza numerica si dice monotona quando l'ordinamento tra i suoi termini è mantenuto: è monotona crescente quando ogni termine è maggiore dell'antecedente, monotona decrescente quando ogni elemento è minore del precedente. Per quanto visto le successioni si distinguono in: Successioni monotone con relazione indipendente dalla posizione del termine. Per passare da un termine a quello successivo si somma o si moltiplica (monotona crescente) oppure si sottrae o si divide sempre per la stessa quantità.

27 Esempi: (+3) (-6) ( 2) (: 3) (elevamento al quadrato) ( 3 +2)

28 Successioni monotone con relazione dipendente dalla posizione del termine (+3, +3+1, +3+2, +3+3,...) (-5, -5 2, -5 3, -5 4) ( 1, 2, 3, 4,...) (:6, :5, :4, :3,...) (^2+1, ^2+2, ^2+3,...) ( 3, 3 2, 3 3,... )

29 Successioni non monotone a carattere alternato. Per queste successioni i termini non sono tutti crescenti o tutti decrescenti. In pratica è come se l' esercizio fosse diviso in due serie, una formata dai termini che occupano i posti pari, l altra dai termini che occupano i posti dispari della successione. Le leggi che governano le due successioni sono quelle viste in precedenza ( 2, 5)

30 Successioni monotone non a carattere alternato. Il criterio su cui si fondano queste successioni è quello dei caratteri contigui. Il calcolo di ogni termine coinvolge i due che lo precedono (somma dei due precedenti) (successione di Fibonacci)

31 LE SERIE NUMERICHE NELLE CONFIGURAZIONI GRAFICO-GEOMETRICHE Gli esercizi di ragionamento numerico sono presentati sotto svariate forme grafiche. Possiamo trovare sequenze numeriche all interno o ai vertici di figure geometriche regolari o irregolari, ai vertici di stelle a 6 o 8 punte, alle estremità di figure umane o animali stilizzate, entro sezioni di cerchio, oppure in matrici quadrate, o sotto forma di tessere del domino, e in un infinita varietà di altre configurazioni.

32 La particolarità di queste serie numeriche e le strategie risolutive variano a seconda della configurazione: nel caso di numeri ai vertici dei triangoli più spesso il numero al vertice è dato dalla combinazione (somma, sottrazione, moltiplicazione o divisione) dei numeri alla base o da una regola che dia senso all uso del triangolo. Nel caso di numeri all interno di quadrati le soluzioni combinatorie sono molto più numerose, per cui il numero mancante potrebbe derivare dalla combinazione dei numeri che si trovano sulla stessa diagonale, o sullo stesso lato, oppure partendo da un punto e ruotare in senso orario oppure antiorario.

33 Esempio:

34 Soluzione:

35 Esempio:

36 Soluzione. (oppure +3,+6,+12, +24, +48 )

37 Esempio: a) 13 b) 11 c) 22 d) 12 e) 31

38 Soluzione: 6+6 =12 4+8= =13 Sol. a) 13

39 Esercizio: Quale dei seguenti numeri completa la figura? a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 5

40 Soluzione: in ogni triangolo la somma del vertice sinistro e di quello in alto moltiplicata per il numero al centro fornisce il numero del vertice destro. Risp. B) 2

41 Esempio più più meno meno più Seleziona la riga corretta: A B C D E

42 Soluzione: (B) Ogni quesito è costituito da più righe di numeri. Accanto a ciascuna riga, è posta l indicazione più o meno che significa che la riga contiene qualcosa (uno o più elementi che la compongono, la loro posizione, una regola logica o matematica, secondo cui sono ordinati) che la rende valida più o non valida meno ai fini della soluzione del quesito. Occorre: analizzare ciascuna riga (sia quelle con l indicazione più sia quelle con l indicazione meno confrontandola con le altre; individuare l elemento e/o la regola che è sempre presente nelle righe valide più ; trovare tra le alternative di risposta, quella che ripropone l elemento e/o la regola presente nelle righe valide più.

43 Esempio: meno più più meno Selezionare la riga corretta A B C D E

44 Soluzione: 22= =9+1+8 Di conseguenza 7=2+3+2 Risposta D

45 A: 42 B: 38 C: 22 D: 32 E: 40 test d'ingresso Università Bocconi

46 Nel primo gruppo 36 è scritto a carattere più grande, facendoci pensare che sia il risultato di qualche operazione effettuata sui numeri sotto. Proviamo l operazione più semplice, la somma di tutti i numeri sottostanti: 18, esattamente la metà di 36. Se la logica è corretta, dovrebbe potersi applicare anche al secondo gruppo: somma dei numeri sottostanti = 15, nuovamente la metà del numero soprastante, 30. Applichiamo a questo punto il ragionamento al terzo gruppo, trovando che la somma dei numeri presenti in basso è 20, e il numero mancante è il doppio, 40 (risposta E).

47 ATTENZIONE: università Cattolica

48 La soluzione è trovare la relazione tra il tassello superiore e il successivo inferiore, e via dicendo, a zig zag. Partendo dal tassello superiore, osserviamo la serie: 2,4,6,1,3. Osserviamo che una relazione è qui evidente: di domino in domino si somma +2. NB sommando 6+2, otteniamo correttamente nel quarto domino il tassello 1, in quanto dobbiamo anche tenere conto dell esistenza nei domino del tassello vuoto (0), successivo quindi al 6. (Risp. B) Le sequenze con le tessere del domino, con le lettere dell'alfabeto, con le carte,... possono essere cicliche cioè esaurita la sequenza si ricomincia!