Primo principio della termodinamica

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1 Primo principio della termodinamica Gas ideale/perfetto: definizione Gas: insieme di particelle privo di forma e volume proprio. Si dice perfetto o ideale se i suoi parametri termodinamici P,,T sono legati tra loro dall'equazione di stato: P =n R T n numero di moli R 8, 314 J K mole Costante universale dei gas Date due variabili (P,,T) che definiscono lo stato del sistema, la terza può essere calcolata tramite l'equazione di stato. P P0, 0 T P nr Stato del sistema Piano di Clapeyron 1

2 Condizioni fisiche perché un gas possa essere considerato ideale: Le molecole possono essere considerate puntiformi (bassa densità). Interagiscono tra loro e con le pareti del recipiente con urti perfettamente elastici (nessuna dispersione di energia cinetica). Le forze di interazione molecolare a distanza sono trascurabili (bassa densità, alta temperatura e quindi agitazione termica) Le molecole del gas sono identiche tra loro 2

3 Derivazione equazione dei gas perfetti da leggi sperimentali di Boyle & Gay-Lussac Legge di Boyle: P =const A temperatura constante Legge di GayLussac: T = 0 (1+α T ) PT =P0 (1+βT ) α e β costanti e T misurata in gradi Celsius. Per un gas ideale: 1 1 α=β= C T = 0 (1+α T )= 0 α ( α +T ) 1 P T = P0 (1+β T )=P 0 α( α +T ) 3

4 Se T = T C T = 0 α T PT =P0 α T allora con T misurato in gradi Kelvin Alcune definizioni: Una mole contiene un numero di atomi (o molecole) pare a NA = 6.02 x 1023 (numero di Avogadro) Il peso molare M è pari al peso di una mole del gas Data una massa Mgas di un gas, il numero di moli è M gas m= ma N A dove ma è la massa dell'atomo (o molecola) di cui è costituito il gas. olume molare: volume occupato da una mole di gas 4

5 Condizioni standard P0 = Pa o T 0 = K =0 C 3 m = m = l(volume molare) Date n moli a P0 e T0, 0 = n m, se si aumenta T PT =P0 α T 0 PT =P0 0 α T = P0 T Ma per legge di Boyle, trattandosi sempre dello stesso sistema: 0 PT =α P 0 T 0= P0 T =P Con P e coordinate dello stato di equilibrio alla temperatura T P =P 0 0 α T =n (P0 m α)t =n R T 5

6 Barotrauma: Scendendo in profondità la P aumenta. Il respiratore fornisce quindi aria ad una pressione pari a quella esterna. Se si risale troppo velocemente senza respirare, i polmoni si gonfiano perchè la pressione interna è maggiore di quella esterna. P =const 6

7 Alveoli polmonari aumentano il volume riducendo la pressione: l aria viene inspirata dall esterno. 7

8 Teoria cinetica dei gas Il gas è un insieme di molecole in movimento che urtano tra loro e con le pareti che le confinano. La pressione P è l'effetto macroscopico degli urti molecolari contro le pareti. 8

9 Recipiente cubico di lato L (vista laterale) v v L Momento trasferito (1D) Δ p= pf p i= mv ( mv)= 2 mv 2L Tempo tra 2 collisioni Δt= v Modulo della forza esercitata da una singola molecola su una parete v mv F=2m v = 2L L 2 9

10 Numero totale di molecole 1 mv FT = n N A 3 L 1 2 v = v 3 2 x 3 possibili direzioni nello spazio: n NA NA numero di Avogadro 2 Pressione sulla parete: 2 2 FT 1 mv 1 mv 2 n N A P= 2 = n N A 3 = n N A = EK 3 L 3 L EK = m v 2 energia cinetica della singola molecola 2 nn A T P= E K =n R 3 3 R 3 EK = T= k T 2 NA 2 k R NA 8, 314 6,02 10 J K 23 1 K costante di Boltzmann mole 1 1, 38 mole J/K 10

11 Energia interna di un gas= somma dell'energia cinetica di tutte le molecole. Funzione SOLO della temperatura L'energia interna può variare solo grazie a scambi di energia (calore o lavoro) dq 0 dq 0 dl 0 Sistema dl 0 Lavoro ottenuto dal sistema Lavoro fatto sul sistema 11

12 Espressione generale del lavoro Per una espansione infinitesima P A f dx A i gas dl Fdx P Adx f P f i Pd i Per una espansione finita f L P d i 12

13 Conferma sperimentale che l'energia interna dipende solo dalla Temperatura: esperimento dell'espansione libera. Durante l'espansione sia P che cambiano ma l'energia interna U resta costante (nessun lavoro fatto dalle forze di pressione perche' il non cambia, nessuno scambio di calore perché le pareti sono adiabatiche). Quindi, U può dipendere solo da T 13

14 Trasformazioni termodinamiche 1) ISOBARA: a pressione costante P P0 P0, i P0, f i f L=P 0 ( f i)=p0 Δ Calore può essere scambiato e si ha: dq=nc P dt Dove cp è il calore specifico a pressione costante 14

15 2) ISOCORA: a volume costante P Pi Pi, 0 Pf P, f 0 0 L=P Δ =0 ΔU =ΔQ=nc dt alida perché du dipende solo da dt. c calore specifico a volume costante. Espressione valida per QUALSIASI traformazione perche può essere immaginata come sequenza di isocora+isoterma. 15

16 Relazione di Mayer tra calori specifici In una trasformazione isobara: du =nc dt =dq dl=nc P dt P d Dall'equazione di stato dei gas si ha P d =n R dt Perché P costante da cui du =nc dt =nc P dt n R d T c P c =R 3 c = R J /mole K 2 5 c P= R J /mole K 2 Per gas monoatomico. 16

17 3) ISOTERMA: a temperatura costante Per un gas perfetto dall equazione di stato P nrt 0 cos t. Legge di Boyle P Isoterma a T0 = cost. f f L = Pd = nrt 0 i i nrt 0 ln Î U f i U T0 d = nrt 0 ( ln f ln i ) Q perché U T0 Q L 0 17

18 4) ADIABATICA: senza scambio di calore du = dl L'energia interna varia a causa del lavoro e quindi T cambia. Condizione adiabatica P =n R T P d + dp=n R dt Q=0 du = P d lavoro fatto sul sistema 1 du 1 d P = P d =n dt n dt n dt c Si ricorda che c 0 1 du n dt 18

19 P d + dp=n R dt P d + dp =n dt R R=c P c Ma n R dt P d + dp P =n dt = d c P c c c d + dp c v = P d c P + P d c Dividendo ambo i membri per P dp c v P d c P = P P dp d c P + =0 P c si ottiene alla fine cp γ= c definendo γ log P+ γ log =const log(p )=const P γ =const f f i i γ γ ( 1 1 ) 1 f i L= P d =K γ d =K 1 γ dove K =P γ 19

20 Secondo principio della termodinamica Clausius: E' impossibile realizzare una trasformazione il cui UNICO risultato è il traferimento di calore da un corpo più freddo a uno più caldo (senza lavoro esterno) Kelvin-Plank: E' impossibile realizzare una trasformazione il cui UNICO risultato è la trasformazione di tutto il calore assorbito da una sorgente omogenea in lavoro. SONO EQUIALENTI 20

21 Supponiamo sia FALSA la formulazione di Clausis e realizziamo una macchina termica che scambia calore Q estraendolo da una sorgente fredda Tf e cedendolo ad una sorgente calda Tc, Q' Possimao ora aggiungere una seconda macchina che assorbe dalla sorgente calda il calore Q' e cede il calore Q a quella più fredda. Il risultato finale è la produzione di un lavoro L = Q' Q con calore estratto SOLO dalla sorgente Tc. Ma Q questo nega la formulazione di Kelvin-Planck! Tc Q Tf Tc L Q Tf 21

22 Ciclo di Carnot Il sistema torna nella condizione iniziale quindi du = 0 e d U=dQ dl=0 Q è il calore assorbito quindi Q = Q1 - Q2 22

23 Il rendimento è definito come L η= Q L= Lavoro compiuto Q=Calore assorbito Q1 Q 2 T 1 T 2 η= = Q1 T1 La funzione di stato ENTROPIA è definita come: Q Δ S= T dq Δ S= T In una trasformazione isoterma In una trasformazione P9 Primo Principio generica 23

24 Ciclo di Carnot nel piano T,S 24

25 2) Un gas (non necessariamente ideale) effettua una trasformazione adiabatica. Durante il processo 1) il lavoro compiuto e nullo 2) la temperatura del gas diminuisce, se viene compresso 3) l energia interna del gas diminuisce, se si espande 4) la temperatura del gas aumenta, se si espande 25

26 Un recipiente con volume fissato e con pareti adiabatiche è diviso in due parti da un setto NON adiabatico. Inizialmente, una parte contiene m1 = 10 kg di acqua a temperatura T1 = 20o C, l'altra contiene invece m2 = 2.5 kg di acqua a T2 = 80o C. Calcolare la temperatura finale del sistema una volta raggiunto l'equilibrio. Il corpo a temperatura più alta cede calore al corpo a temperatura più bassa. Q1 +Q2 =0 Q=m c Δ T m1 c(t f T 1)+m2 c(t f T 2 )=0 m1 T 1+m2 T 2 Tf= =32 o m1 +m2 26

27 Un cilindro con un pistone mobile esegue un'espansione durante la quale scambia 40 kj di lavoro con l'ambiente. Sapendo che la variazione di U è 660 KJ, calcolare il calore scambiato dal sistema. Il lavoro è POSITIO perché FATTO dal sistema. Io principio! Δ U =Q L=Q 40=660 kj Q=700 Kj 27

28 Un contenitore termicamente isolato contiene inizialmente 130 g di acqua a T = 80o C e un cubetto di ghiaccio di massa m = 13 g a temperatura T = -10o C. Si calcoli la temperatura finale all'equilibrio (Ca = kj/(kg K), cg = kj/(kg K), calore latente di fusione hl = 333 kj/kg). Il calore assorbito dal ghiaccio per sciogliersi viene assorbito dall'acqua. Questo calore viene assorbito in 3 stadi: 1) Qg1 = calore assorbito per arrivare a T=0o C 2) Qg2 = calore assorbito per fondere il ghiaccio, 3) Qg3 = calore per riscaldare l'acqua fusa prodotta a T=0o. Per il ghiaccio Qg 1=m g c g (T 0 T g )= (0 ( 10))= kj Q g2 =mg h l= =3.996 kj Q g3=mg c a (T f 0) Per l'acqua inizialmente presente Qa =ma c a (T f T 1 ) Qa +Q g1 +Q g2 +Q g3=0 ma c a T 1 Qg 1 Qg 2 o Tf= =66 (mg +ma )c a 28

29 3 moli di gas perfetto alla temperatura iniziale TA = 400 K e alla pressione PA = 2.5 Atm sono espanse in modo isotermo dallo stato A allo stato finale B in cui il volume del gas è doppio ( B = 2A). Il gas viene successivamente compresso isobaricamente fino a tornare al volume iniziale A. Calcolare il valore delle variabili termodinamiche nello stato finale. nr T A T A=400 K P A =2.5 Atm A = PA Isoterma: 1 B =2 A T B =T A P B = P A =1.25 Atm 2 Isobara: PC C C = A P C=P B =1.25 Atm T C = =200 K nr A P C B 29

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