Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni

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1 Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2018/2019 1

2 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/ Logica matematica Serve ad inquadrare in schemi rigorosi gli strumenti ed i metodi di ragionamento della matematica In matematica si definiscono gli oggetti, se ne definiscono le proprietà, si fanno deduzioni logiche Il complesso di espressioni delle quali si possa dire se sono Vere o False costituisce un SISTEMA LOGICO Atomo: oggetto del sistema logico; si indica con a, b, x,...; possono essere numeri, frasi,... Esempio: x = [popolazione di Roma]; a = [oggi piove] Proposizione: affermazione di cui si possa dire in modo univoco se V oppure F Esempi: [11 è dispari] V ; [13 è pari] F ; [30 è divisibile per 2] V [la matematica è più semplice della fisica] non è una proposizione perchè non si può stabilire in maniera univoca se sia vera o falsa. Predicato: proposizione contenente una variabile e che quindi può essere V o F a seconda del valore della variabile Esempi: p(x) = [x è un quadrato perfetto] è V se x = 4, 9, 16,... mentre è F se x = 2, 3, 5,...; p(x) = [x è un numero pari] è V se... mentre è F se Logica delle proposizioni CONNETTIVI LOGICI : negazione Esempio: P = [il numero 6 è primo]; P = [non è vero che il numero 6 è primo] = [il numero 6 non è primo] Tabella di verità della Legge della Doppia Negazione

3 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/ P P ( P ) V F V F V F Si vede che P = ( P ), ovvero due negazioni affermano. : congiunzione (et) Esempio: P = [oggi piove]; Q = [porto l ombrello] P Q = [oggi piove e porto l ombrello] : disgiunzione (vel) Esempio: P = [oggi piove]; Q = [porto l ombrello] P Q = [oggi piove o porto l ombrello] Si ha: P Q P Q P Q V V V V F F F F V F F V F V F V Esempio: P = [il numero 6 è primo] F ; Q = [il numero 5 è primo] V P Q = [sia il numero 6 che il numero 5 sono primi] F P Q = [o il numero 6 è primo o il numero 5 è primo] V Esercizio. Costruire la tabella di verità di P P e P P. LEGGI di De MORGAN: Infatti: (P Q) = P Q (P Q) = P Q P Q P Q (P Q) (P Q) P Q P Q V V F F F F F F F F V V V V V V V F F V V F V F F V V F V F V F Esempio: (P Q) = [non è vero che 6 e 5 sono entrambi primi] P Q = [non è vero che il numero 6 è primo oppure non è vero che il numero 5 è primo]

4 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/ IMPLICAZIONE ED EQUIVALENZA : implica A B si legge: [se A è vera, allora B è vera] [A è condizione sufficiente per B] [B è condizione necessaria per A] : equivale A B si legge: [A e B sono equivalenti] [A è condizione necessaria e sufficiente per B (e viceversa)] (A B) (B A) Formulazione astratta-logica degli enunciati dei teoremi P Q si può leggere nei seguenti modi: Se P allora Q (cioè se P è vera, allora Q è vera) Condizione sufficiente (in breve, CS) perché sia vera Q è che sia vera P Condizione necessaria (in breve, CN) perché sia vera P è che valga Q Teorema. CN perché un parallelogramma sia un quadrato è che abbia le diagonali uguali = [p è un quadrato p ha le diagonali uguali] = [se un parallelogramma è un quadrato, allora ha le diagonali uguali] }{{}}{{} ipotesi tesi La CN del teorema precedente non è anche CS, ovvero [p ha le diagonali uguali p è un quadrato]; controes: rettangolo Teorema: CS perché un numero sia pari è che sia divisibile per 2 = [n è divisibile per 2 n è pari] = [se un numero è divisibile per 2 allora esso è pari] }{{}}{{} ipotesi tesi In questo caso è vero anche il viceversa, cioè la CS è anche necessaria, quindi le due proposizioni sono equivalenti, ovvero [un numero è divisibile per 2 esso è pari]

5 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/ Osservazione: [A B] equivale a [ B A] (proposizione contronominale) Esempio: A = [n è divisibile per 9]; B = [n è divisibile per 3] A B = [se n è divisibile per 9, allora n è divisibile per 3] B A = [se n non è divisibile per 3, allora n non è divisibile per 9] Att.!! situazione diversa da B A = [che n sia divisibile per 3 non implica che n sia divisibile per 9]; questa infatti nel caso in questione è falsa: controes.: n = 6 è divisibile per 3 ma non per 9. Esempio: A = [numero > 9]; B = [numero > 5] A B significa [se un numero è > 9 allora esso è> 5]; o equivalentemente [CS perché un numero sia > 5 è che esso sia > 9]; o equivalentemente [CN perché un numero sia > 9 è che esso sia > 5]; per l osservazione precedente questo equivale a B A, che significa [se non è vero che un numero sia > 5 allora non è vero che esso sia > 9]. Anche qui si ha che non è vero che B A, il quale significa [dato un numero > 5, non implica che esso sia > 9]; controes.: Logica dei predicati QUANTIFICATORI esistenziale ed universale : esiste : per ogni NEGARE I PREDICATI x P (x) = [per ogni valore della variabile accade che la proprietà P (x) è vera] x : Q(x) = [esiste almeno un valore della variabile per cui la proprietà Q(x) è vera] Vediamo come si nega. Esempio: [Non è vero che ogni studente ha una penna] = [almeno uno studente non ha una penna] dunque [ ( x P (x))] equivale a [ x : P (x)] In generale:

6 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/ ; : ; poi si nega la proprietà Esempio: un insieme C è convesso se A, B in C AB contenuto in C; un insieme C non è convesso se A, B in C Esempi: : AB non è contenuto in C 1. Negare che [ogni studente è biondo e con gli occhi azzurri]. In simboli, devo negare che [ x P (x) Q(x)], quindi la negazione è [ x : (P (x) Q(x))] }{{} De Morgan [ x : P (x) Q(x)], quindi [c è almeno uno studente che o non è biondo o non ha gli occhi azzurri]. 2. Negare la frase [ x R y R : xy = 1]. [ x R : ( y R : xy = 1)] [ x R : y R xy 1)]. 3. Negare la frase [La mamma cucina e parla al telefono]. frase: [C T ]; negata (per De Morgan) è [ C T ] ovvero [la mamma o non cucina o non parla al telefono]. 4. Negare la frase [Tutte le sere leggo a letto]. frase: [ S L]; negata è [ S : L], ovvero [c è almeno una sera in cui non leggo a letto].

7 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/ Numeri N numeri naturali: 0, 1, 2, 3, 4,... (N, +) (G1) elemento neutro: 0 (G2) proprietà associativa: (n + m) + p = n + (m + p) (C) proprietà commutativa: n + m = m + n Ma NON esiste in N l opposto, cioè l elemento che sommato ad un numero fornisca l elemento neutro. (Z, +) numeri interi (G1) elemento neutro: 0 (G2) proprietà associativa: (n + m) + p = n + (m + p) (G3) opposto: n m : n + m = 0; l elemento opposto di n si indica con il simbolo n; (C) proprietà commutativa: n + m = m + n. (Z, +) è un gruppo abeliano o commutativo (Z, +, ) (G1) elemento neutro: 1 (G2) proprietà associativa: (n m) p = n (m p) (C) proprietà commutativa: n m = m n (D) proprietà distributiva: n (m + p) = n m + n p. Ma NON esiste in N l inverso, cioè l elemento che moltiplicato per un numero intero fornisca l elemento neutro. (Q, +, ) numeri razionali (G1) elemento neutro: 1 (G2) proprietà associativa: (n m) p = n (m p) (G3) opposto: p 0 q : p q = 1; l elemento opposto di p si indica con il simbolo 1 p ; (C) proprietà commutativa: n m = m n (D) proprietà distributiva: n (m + p) = n m + n p.

8 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/ Q escluso 0 è un gruppo rispetto al prodotto. (R, +, ) numeri reali (G1) elemento neutro: 1 (G2) proprietà associativa: (n m) p = n (m p) (G3) opposto: p 0 q : p q = 1; l elemento opposto di p si indica con il simbolo 1 p ; (C) proprietà commutativa: n m = m n (D) proprietà distributiva: n (m + p) = n m + n p. I numeri reali nascono per risolvere problemi di incommensurabilità (lato e diagonale del quadrato) o di esaustione (lnghezza della circonferenza). Osserviamo che: q Q si può scrivere in infiniti modi: 0, 75 = = 3 4 0, 6 = 6 9 = = 2 3 = 4 6 = 2 3 costruisco la frazione di un decimale periodico: =...(decimale esatto) =...(decimale periodico) x = 0, 6 = 0, x = 6, = 6 + 0, = 6 + x 9x = 6 x = 6 9 ; costruisco la frazione di un decimale periodico: x = 0, 12 = 0, x = 12, = x(10 2 1) = 12 x = ; = , = = , 12 = 12 + x

9 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/ costruisco un numero irrazionale, cioè di R \ Q: 0, In R sussiste una relazione d ordine totale, cioè valgono le seguenti proprietà: riflessiva: x x x antisimmetrica: x, y : x y y x x = y transitiva: x, y, z : x y y z x z tricotomia: x, y x y y x

10 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/ Teoria degli insiemi Parole chiave: insieme (A); elemento (a); appartenenza ( ) Descrizione per tabulazione: A = {1, 2, 5} (ordine irrilevante) Descrizione per proprietà: A = {studenti aventi nome con iniziale A} = {studente : A è iniziale nome studente} In generale, A = {x : P (x) è vera} }{{} = {x : P (x)}. sinteticamente Insiemi numerici N={0, 1, 2,...} Z={..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Q= { a b : a, b Z, b 0} R={tutti i decimali periodici e non periodici, limitati e non limitati} Possiamo allora dare la definizione di intervallo: dati a, b R, si pone [a, b] = {x R : a x b} e analogamente [a, b[= {x R : a x < b}; ]a, b] = {x R : a < x b}; ]a, b[= {x R : a < x < b}. 3.1 RELAZIONI TRA INSIEMI A B = A è contenuto in B; A è sottoinsieme di B; vuol dire che x A x B, cioè ogni elemento di A è anche elemento di B Esempio: A = {1, 2} B = {1, 2, 7} Esempio: A = {studenti aventi nome con iniziale A} B = {studenti}

11 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/ Esempio: N Z Q R. A B = A non è contenuto in B; A non è sottoinsieme di B; vuol dire che x A : x B, cioè esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B Esempio: A = {studenti oggi in aula}; B = {studenti domani in aula} Esempio: A = {studenti oggi in aula}; B = {studenti oggi a medicina} In questo caso gli insiemi sono disgiunti. A = B = A B B A; vuol dire che ( x A x B) ( x B x A) Esempio: A = {persone presenti in aula} B = {persone entrate in aula e non ancora uscite} A B = A B B A

12 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/ Osservazione 3.1 Non scambiare con!!! La prima è relazione tra elementi, la seconda tra insiemi: sono livelli diversi della realtà. Osservazione 3.2 Un insieme può essere un elemento in un insieme di insiemi. Esempio: (0, 0) r = {(x, y) R 2 : y = x} F = {y = mx : m R}. Insiemi degeneri = insieme vuoto P(A) = insieme delle parti Esempio: A = {1, 2, 3} P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A} 3.2 OPERAZIONI tra insiemi in X insieme universo A B = {x X : x A x B} intersezione A B A e A B B A B A B = A due insiemi sono disgiunti se A B = A B = {x X : x A x B} unione

13 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/ A A B e B A B A B A B = B A C = {x X : (x A)} = {x X : x A} complementare A \ B = {x X : x A x B} = {x X : x A} {x X : x B} = A B C differenza

14 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/ A B = {(x, y) X X : x A, x B} prodotto cartesiano le coppie sono ordinate: A B B A Esempio: A = {1, 2}, B = {2, 3} A B = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}, B A = {(2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)} PIANO CARTESIANO [0, 1] [ 1, 1] [0, 1] ] 1, 1[ ]0, 1] [ 1, 1]... Proprietà Leggi di De Morgan

15 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/ (A B) C = A C B C (A B) C = A C B C Proviamo la prima. Dobbiamo dimostrare la doppia inclusione. : x (A B) C }{{} Ipotesi x A C B C }{{} T esi Fissiamo x in (A B) C. Allora per tale x si ha x (A B) C x A B (x A B) (x A x B) }{{} (x A) (x B) x A x B De Morgan x A C x B C x A C B C : x } A {{ C B C } x (A B) C }{{} Ipotesi T esi Fissiamo x in A C B C. Allora per tale x si ha x A C B C x A x B (x A) (x B) }{{} De Morgan (x A x B) (x A B) x A B x (A B) C Proprietà dell intersezione A B = B A commutativa A (B C) = (A B) C associativa

16 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/ A A = A idempotenza Proprietà dell unione A B = B A commutativa A (B C) = (A B) C associativa A A = A idempotenza Esercizio 3.1 Provare la proprietà distributiva dell intersezione sull unione, cioè che A (B C) = (A B) (A C). Svolgimento: x A (B C) x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) x (A B) x (A C) x (A B) (A C) Esercizi Provare la proprietà distributiva dell unione sull intersezione, cioè che A (B C) = (A B) (A C) 2. Provare che A (A B) = A 3. Provare che A C (A B) = A C B 4. Provare che A B = A (B \ A) 5. Provare che A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)