I sistemi lineari Prof. Walter Pugliese

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1 I sistemi lineari Prof. Walter Pugliese

2 Le equazioni lineari in due incognite Un equazione nelle incognite x e y del tipo #$ + &' = ) dove *,,, - sono numeri reali è un equazione lineare in due incognite (diciamo anche che è un equazione di primo grado sia rispetto a. sia rispetto a / ). Le sue soluzioni sono tutte le coppie ordinate di valori, il primo da attribuire a x, il secondo a y, che verificano l equazione ESEMPIO: L equazione 0$ 2' 30 = 4 è un equazione lineare in due incognite. La coppia ordinata 3; 6 è una soluzione. (Per verificarlo basta sostituire, nell equazione, a x il valore 1, a y il valore 2 e controllare che l uguaglianza risulti soddisfatta). Per trovare altre soluzioni è sufficiente assegnare un qualsiasi valore a. e poi risolvere rispetto a / l equazione così ottenuta:

3 Le equazioni lineari in due incognite ESEMPIO: Se risolviamo l equazione precedente rispetto a! otteniamo! = #$%$& '. / = 01%1. -! = #$%$(%3) 4 '! = 5 ; se poi poniamo ( = 4 risulterà: La coppia ordinata +; - è soluzione dell equazione. Possiamo trovare altre soluzioni allo stesso modo, attribuendo diversi valori a ( e ricavando i rispettivi valori di!. Poiché le coppie (;! che soddisfano l equazione sono infinite, ogni equazione lineare in due incognite è indeterminata. ATTENZIONE: Dire che le soluzioni sono infinite non significa dire che qualunque coppia di numeri è soluzione dell equazione.

4 I sistemi di due equazioni in due incognite Def.: Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni per le quali cerchiamo le soluzioni comuni, ossia i valori, da attribuire alle incognite, che verificano contemporaneamente tutte le equazioni. ESEMPIO: Il sistema! 3# % = 0 4# % 1 = 0 ha come soluzione la coppia di numeri 1; 3, perché per # = 1 e % = 3 sono soddisfatte tutte e due le equazioni. La coppia 0; 0 non è soluzione del sistema perché soddisfa la prima equazione ma non la seconda. Le soluzioni comuni a tutte le equazioni sono le soluzioni del sistema. Un sistema può avere un numero nullo, finito o infinito di soluzioni.

5 Il grado di un sistema Un sistema formato da equazioni razionali è intero se lo sono tutte le sue equazioni, altrimenti è fratto. Def.: Il grado di un sistema di equazioni algebriche intere è il prodotto dei gradi delle singole equazioni che lo compongono. ESEMPIO: 3# 2& + 1 = 0 Il sistema! è di primo grado, perché è formato da due 4# 5& = 2 equazioni di primo grado; il prodotto dei gradi è dunque 1-1 = 1.

6 Sistemi lineari Come un equazione di primo grado è detta «lineare», un sistema formato soltanto da equazioni di primo grado è detto sistema lineare. (Per il momento ci occuperemo soltanto di sistemi lineari di due equazioni in due incognite). Due sistemi sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Facendo uso dei principi di equivalenza delle equazioni, possiamo sempre scrivere un sistema lineare, equivalente a quello dato, in forma normale, cioè nella forma: "# + %& = (! " ) # + % ) & = ( ) Dove i valori ", " ) e %, % ) indicano, rispettivamente, i coefficienti delle incognite # e &, e dove ( e ( ) indicano i termini noti delle due equazioni. ", " ), %, % ), (, ( ) sono numeri reali.

7 Il metodo di sostituzione Dopo averlo ridotto alla forma normale, un sistema lineare può essere risolto utilizzando diversi modi. Il primo metodo è basato sul principio di sostituzione: se in un sistema ricaviamo una delle due incognite in una delle due equazioni e sostituiamo l espressione ottenuta in un altra equazione, otteniamo un sistema equivalente.

8 Esempio: metodo di sostituzione Risolviamo il sistema! " + 5% = 3 2" 4% = 8 Il sistema! 3" 2% + 1 = 0 4" 5% = 2

9 Esercizi con Il metodo di sostituzione

10 I sistemi determinati, impossibili e indeterminati In generale un sistema si dice determinato quando ha un numero finito di soluzioni. In particolare, è possibile dimostrare che un sistema lineare determinato ha una sola soluzione. In sintesi, un generico sistema lineare scritto in forma normale "# + %& = (! " ) # + % ) & = ( ) risulta determinato se * * una soluzione impossibile se * * + = nessuna soluzione indeterminato se * * + = =.. + infinite soluzioni

11 Il metodo del confronto Per risolvere un sistema in due incognite con il metodo del confronto, ricaviamo la stessa incognita in entrambe le equazioni e uguagliamo le espressioni ottenute. Infatti, il valore dell incognita che soddisfa la prima equazione deve soddisfare anche la seconda. In questo modo otteniamo un equazione che contiene solol altraincognita. ESEMPIO: Risolviamo il sistema! 5# + % = 2 2# % = 16

12 Esercizi con Il metodo del confronto Risolvi il seguente sistema con il metodo del confronto! 2# + % = 3 & & # + * = %+& ),

13 Il metodo di riduzione Alla base di questo metodo c è il principio di riduzione: se sommiamo o sottraiamo membro a membro due equazioni di un sistema e sostituiamo l equazione ottenuta a una delle due equazioni di partenza, otteniamo un sistema equivalente.

14 Esercizi con Il metodo di riduzione

15 I sistemi fratti Un sistema è fratto se almeno una delle equazioni che lo compongono è fratta. Per risolvere un sistema fratto è necessario determinare le condizioni di esistenza delle incognite che compaiono al denominatore delle frazioni algebriche. Si procede poi alla risoluzione del sistema con uno dei metodi risolutivi studiati. Le soluzioni, se esistono, sono accettabili solo se rispettano le condizioni di esistenza.

16 I sistemi fratti