Teoria della Complessità Computazionale

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1 Teoria della Complessità Computazionale Laura Galli Dipartimento di Informatica Largo B. Pontecorvo 3, Pisa 21 Ottobre 2014 Ricerca Operativa 2 Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa A.A. 2014/15 L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 1 / 16

2 Complessità Computazionale Il corso si concentrerà sui problemi di Programmazione Lineare Intera (PLI). Non tutti i problemi di PLI sono facili da risolvere. Lo studio della difficoltà dei problemi si basa sulla Complessità Computazionale: dimensione dell istanza di un problema complessità di un algoritmo classe P classe NP L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 2 / 16

3 Dimensione di un istanza Istanza Esempio specifico di un problema. Dimensione dell istanza Numero di bit necessari a codificare l istanza. Esempi problema di Programmazione Lineare: numero di variabili, numero di vincoli Cammino minimo (costi nonnegativi): numero nodi, numero archi... L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 3 / 16

4 Complessità di un algoritmo Algoritmo (deterministico) Insieme di operazioni da eseguire per risolvere un problema. Tempo di esecuzione di un algoritmo Numero di operazioni elementari eseguite dall algoritmo. (Dipende dalla dimensione dell istanza.) Complessità computazionale di un algoritmo Analisi del caso peggiore. Un algoritmo A ha complessità computazionale O(f(n)) se esistono una costante c > 0 e un indice n > 0 tali che tempo di esecuzione di A per risolvere un istanza dimensione n è c f(n) per ogni n > n. Un algoritmo ha complessità polinomiale quando la sua complessità è O(n k ) per un certo k N. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 4 / 16

5 Complessità di un algoritmo Algoritmi di complessità polinomiale sono detti efficienti. n 100n log n 10n 2 n 3.5 n log n 2 n n! 10 3 µs 1 µs 3 µs 2 µs 1 µs 4 ms 20 9 µs 4 µs 36 µs 420 µs 1 ms 76 years µs 9 µs 148 µs 20 ms 1 s y µs 16 µs 404 µs 340 ms 1100 s µs 25 µs 884 µs 4 s 13 days µs 36 µs 2 ms 32 s 37 years µs 64 µs 5 ms 1075 s y µs 100 µs 10 ms 5 hours y µs 400 µs 113 ms 12 years µs 2.5 ms 3 s y ms 10 ms 32 s y ms 1 s 28 hours ms 100 s 10 years s 3 hours 3169 y s 12 days 10 7 y s 3 years y hours y days y. 1 operazione elementare = 1 nanosecondo. [B. Korte, J. Vygen, Combinatorial Optimization, Springer, 2000]. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 5 / 16

6 Complessità di un algoritmo Dimensione massima di un istanza risolubile entro 1 ora: 100n log n 10n 2 n 3.5 n log n 2 n n! (a) (b) (a): 1 operazione elementare = 1 nanosecondo (b): 1 operazione elementare = 0.1 nanosecondi. [B. Korte, J. Vygen, Combinatorial Optimization, Springer, 2000]. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 6 / 16

7 Problemi decisionali e di ottimizzazione Problema decisionale Ha come risposta SI/NO. Problema di ottimizzazione Data una regione ammissibile X ed una funzione obiettivo f : X R da minimizzare, bisogna trovare x X tale che f( x) f(x) per ogni x X. Versione decisionale di un problema di ottimizzazione Data una regione ammissibile X, una funzione obiettivo f : X R, e una soglia S R, esiste un x X tale che f( x) S? L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 7 / 16

8 Versione decisionale di un problema di ottimizzazione Problema del cammino minimo Dato un grafo (N,A), costi c ij sugli archi, nodi o (origine) e d (destinazione). Tra tutti i cammini da o a d trovarne uno di costo minimo. Versione decisionale Dato un grafo (N,A), costi c ij sugli archi, nodi o (origine) e d (destinazione), soglia S. Esiste un cammino da o a d di costo minore o uguale a S? L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 8 / 16

9 Classe P Classe P Un problema decisionale è nella classe P se è risolubile da un algoritmo (deterministico) di complessità polinomiale. Esempi Cammino minimo: trovo il cammino minimo con algoritmo di Dijkstra che ha complessità O(n 2 ) e confronto il suo costo con la soglia S. Flusso di costo minimo Assegnamento di costo minimo OGNI problema di Programmazione Lineare L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 9 / 16

10 Classe NP Algoritmo non-deterministico Un algoritmo non-deterministico risolve un problema decisionale in 2 fasi: 1. si ipotizza che l istanza considerata abbia risposta SI e che esista una soluzione che permetta di verificare questa ipotesi; 2. si verifica che l ipotesi sia corretta (cioè si verifica che la soluzione considerata fornisca una risposta SI). Quando la fase 2 è effettuabile in tempo polinomiale si dice che l algoritmo è non-deterministico polinomiale. Classe NP Un problema decisionale è nella classe NP se è risolubile da un algoritmo non-deterministico polinomiale. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 10 / 16

11 Classe NP Cammino minimo La soluzione è data da un insieme di archi. Per verificarla: Si verifica che la sequenza sia un cammino Si calcola il costo del cammino Si confronta il valore ottenuto con la soglia Il controllo si esegue in tempo polinomiale, quindi il problema del cammino minimo appartiene alla classe NP. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 11 / 16

12 Classi P e NP Relazioni tra le classi P e NP P NP P = NP? È ancora un problema aperto (1 milione di $ in palio...) Quali sono i problemi più difficili nella classe NP? L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 12 / 16

13 Riducibilità Definizione Un problema decisionale P 1 è polinomialmente riducibile ad un altro problema P 2 (e si scrive P 1 P 2 ) se per ogni istanza I 1 di P 1 si può costruire in tempo polinomiale un istanza I 2 di P 2 tale che dalla soluzione ottima di I 2 si determina in tempo polinomiale una soluzione ottima di I 1. se P 1 P 2, allora P 2 è almeno tanto difficile quanto P 1 se P 1 P 2 e P 2 P, allora P 1 P proprietà transitiva: se P 1 P 2 e P 2 P 3, allora P 1 P 3 L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 13 / 16

14 Problemi NP-completi Definizione Un problema decisionale P è NP-completo se 1. P NP 2. P 1 P per ogni P 1 NP Un problema NP-completo è almeno tanto difficile quanto ogni problema di NP. Se un problema NP-completo fosse risolubile in tempo polinomiale, allora sarebbe P = NP. Problemi nella classe P facili Problemi NP-completi difficili L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 14 / 16

15 Problemi NP-completi Problema della Soddisfacibilità Data un espressione booleana di n variabili booleane x 1,...,x n, esiste un valore di verità da assegnare alle variabili che renda vera l espressione? Esempio: l espressione x 1 ( x 1 x 2 x 3 ) x 3 è resa vera dai valori x 1 = x 2 = VERO, x 3 = FALSO. Teorema di Cook (1971) Il problema della Soddisfacibilità è NP-completo. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 15 / 16

16 Problemi NP-completi Come si dimostra che un problema è NP-completo? Se un problema P NP ed esiste un problema NP-completo P 1 tale che P 1 P, allora anche P è NP-completo. In questo modo si dimostra che il problema del ciclo hamiltoniano: Dato un grafo, esiste un ciclo che passa su tutti i NODI del grafo una ed una sola volta? è NP-completo. Problemi di ottimizzazione NP-hard Un problema di ottimizzazione è detto NP-hard se la sua versione decisionale è un problema NP-completo. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Università di Pisa 16 / 16