La lezione di oggi. Un altro modo di risolvere i problemi: Lavoro Energia Potenza

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2 La lezione di oggi Un altro modo di risolvere i problemi: Lavoro Energia Potenza 2

3 ! Lavoro! Energia cinetica! Forze conservative! Energia potenziale! Conservazione dell energia meccanica 3

4 Le forze, il lavoro e l energia! Il lavoro è il prodotto di forza per spostamento Forza e Spostamento sono vettori. Il lavoro è uno scalare. dl =! F d! d s = Fdscos! s θ"! Se forza e spostamento sono paralleli! lavoro massimo! F! Se forza e spostamento sono ortogonali! lavoro nullo! Applico una forza ad un oggetto per spostarlo:! Se esercito una forza maggiore, faccio più lavoro! Se lo sposto per un tragitto maggiore, faccio più lavoro! L energia che spendo può venire da molte fonti (chimica, termica, gravitazionale,...) 4

5 Lavoro compiuto da una forza costante L = 0 quando d = 0 In questo esempio: forza e spostamento paralleli Lavoro: L = F d " Si misura in (newton) x (metro) = joule (J) " Dimensionalmente: L = Fd = (ma)(d) = [M][LT -2 ][L] = [M][L 2 ][T -2 ] 5

6 Quanti joule sono... Attività Lavoro (J) Utilizzazione annuale di energia in Italia Cibo mangiato in media in un giorno da una persona Lampadina da 100 W per 1 minuto battito del cuore 0.5 Salto di una pulce 10-7 Rottura di un legame di DNA

7 Se Forza e Spostamento non sono paralleli y x F sen θ F θ" F cosθ d Asse x F x = Fcosθ Asse y F y = F senθ d y = 0 d x = d cos θ = d L = F d = Fcosθ d 7 x x

8 Lavoro negativo o Fcosθ > 0 quando 90 < θ < L = Fd cosθ > 0 90 o Fcosθ = 0 quando θ = L = Fd cosθ = 90 0 o o 270 o A spasso con il cane Fcosθ < 0 quando 90 < θ < L = Fd cosθ < 0 o 270 8

9 Lavoro nullo e lavoro totale Nota: se la componente della forza lungo lo spostamento è nulla, il lavoro è nullo Quindi, se porto una valigia di 30 kg, anche se cammino per 1 km, il lavoro che faccio è zero! Se su un corpo agiscono più forze (F 1, F 2,..., F n ) L = L + L totale 1 2 L n 9

10 Esercizio Un automobile di massa m = 850 kg scende in folle lungo una strada inclinata di un angolo θ = 20 o rispetto all orizzontale. Se l aria esercita una forza costante di 1.5 kn in direzione opposta al moto e l auto percorre una distanza d = 2.0 km, qual è il lavoro totale fatto sull auto? f aria N d y N y f aria w x x Asse y d = 0 L = 0 y d w cos θ y w Asse x (- f + mg senθ) L = aria d = x w sen θ x = 3-2 o 3 ( ( N + (850 kg) (9.8 ms ) (sen 20 )) m = = J = 2.7 MJ 10

11 ! Lavoro! Energia cinetica! Forze conservative! Energia potenziale! Conservazione dell energia meccanica 11

12 Energia cinetica K = mv " E uno scalare " Si misura in joule " E sempre 0 Teorema delle forze vive L = ΔK = totale 1 2 mv 2 finale mv 2 iniziale 12

13 Teorema delle forze vive! Consideriamo il caso di una forza costante parallela allo spostamento.! Per uno spostamento s, la velocità finale è v 2 f = v 2 i +2a (x f! da cui si ricava l accelerazione:! Il lavoro vale: x i )=v 2 i +2as a = v2 f L = Fs = mas = ms v2 f 2s L = mv2 f 2 mv2 i v 2 i 2s v 2 i 13

14 Calcolo del lavoro per una forza generica Piano (F d) Asse x: spostamento (d) Asse y: forza (F)! Area = F d = L 2 Forze costanti 4 Forze costanti L = x 2 x 1 F( x) dx Forza variabile approssimata con n forze costanti 14

15 Il lavoro della forza elastica Forza elastica F = kx y = kx Area = L = ½ xy = ½ x(kx) = ½ kx 2 L 15

16 Il lavoro della forza elastica Un blocco è collegato a una molla compressa La molla si espande e spinge il blocco Forza e velocità (" spostamento) hanno lo stesso verso Un blocco si muove con velocità v e comprime una molla Forza e velocità (" spostamento) hanno verso opposto Il lavoro fatto dalla forza elastica sul blocco > 0 " K finale > K inizale La molla si comprime e rallenta il blocco Il lavoro fatto dalla forza elastica sul blocco < 0 " K finale < K inizale 16

17 Potenza! E uno scalare P = ΔL Δt! Unità di misura SI: watt (W) = joule/s! Dimensionalmente:! newton: [M][L][T -2 ]! joule: newton x [L] = [M][L 2 ][T -2 ]! watt: joule x [T -1 ] = [M][L 2 ][T -3 ] P =! F! s t =! F! v t t =! F!v Se forza e velocità sono paralleli: P=Fv (dove F e v sono le componenti di forza e velocità nella direzione e verso del moto) 17

18 Esercizio Calcolare il lavoro fatto da una persona di m = 80 kg per salire un piano di scale con dislivello = 3.0 m Calcolare la potenza sviluppata, se le scale sono salite in t = 20.0 s 18

19 Soluzione lavoro fatto da una persona di m = 80 kg per salire un piano di scale con dislivello = 3.0 m L = F Δh = w Δh = mgh = (80 kg)(9.8 ms -2 )(3.0m) = 2300 J potenza sviluppata, se le scale sono salite in t = 20.0 s L 2300 J P = = = 120 W t 20.0 s 19

20 ! Lavoro! Energia cinetica! Forze conservative! Energia potenziale! Conservazione dell energia meccanica 20

21 Forze conservative e non conservative La gravità è una forza conservativa = il lavoro fatto dalla persona viene restituito dalla gravità L attrito è una forza non conservativa = il lavoro fatto dalla persona non viene restituito dall attrito 21

22 Forze conservative e non conservative Il lavoro compiuto contro una forza conservativa può essere utilizzato sotto forma di energia cinetica 22

23 La forza gravitazionale è conservativa L=0 montagne russe L=mgh L= - mgh L=0 L totale = L AB + L BC + L CD + L DA = 0-mgh mgh = 0 23

24 L attrito è una forza non conservativa Vista dall alto L= - µ k mgd L= - µ k mgd L= - µ k mgd L= - µ k mgd L AB = B A L totale = L AB + L BC + L CD + L DA = 4µ k mgd F attr d s = µ k mgd Il lavoro dipende dal percorso scelto. Se si andasse da A a B procedendo a zig-zag il lavoro sarebbe maggiore perché si farebbe più strada 24

25 Una forza conservativa applicata lungo un percorso chiuso compie un lavoro totale nullo L 1 L 2 L 3 L + L2 1 = L + L3 1 = 0 0 L 2 = L 3 F d s = 0 Il lavoro fatto da una forza conservativa è indipendente dal percorso 25

26 ! Lavoro! Energia cinetica! Forze conservative! Energia potenziale! Conservazione dell energia meccanica 26

27 L energia potenziale E l energia che viene immagazzinata da un corpo quando su di esso viene fatto del lavoro meccanico contro una forza conservativa Quando una forza conservativa compie lavoro su un corpo, la sua (del corpo) energia potenziale varia della quantità -ΔU L = - ΔU = -( U finale -U ) iniziale Nota: il segno negativo indica che il lavoro compiuto dalla forza conservativa si traduce in una diminuzione dell energia potenziale 27

28 Energia potenziale gravitazionale Per andare da 0 a y ho dovuto compiere un lavoro L contro la forza di gravità L contro la gravità = wd = mgy La persona si tuffa e la gravità compie su di lei un lavoro L = - ΔU = -( U -U ) = (U mgy) finale iniziale finale 28

29 Energia potenziale gravitazionale U finale ha un valore arbitrario! pongo U finale = 0 L = mgy 29

30 Energia potenziale elastica L =U i -U f = 1 2 kx2 L energia potenziale elastica è sempre > 0 30

31 ! Lavoro! Energia cinetica! Forze conservative! Energia potenziale! Conservazione dell energia meccanica 31

32 Conservazione dell energia meccanica Definisco l energia meccanica E = U + K L totale = ΔK = -ΔU K finale finale K iniziale finale = U iniziale K + U = K + iniziale E finale = E iniziale U U finale iniziale In un sistema in cui operano solo forze conservative, l energia meccanica si conserva Nota: questa è una delle leggi di conservazione fondamentali! 32

33 Conservazione dell energia meccanica nel campo gravitazionale K + U = K + finale finale iniziale U iniziale origine 1 mv 2 2 = mgh v = 2gh 33

34 Conservazione dell energia meccanica nel campo gravitazionale K + U = K + finale finale iniziale U iniziale mv mgh = 0 origine v = 2gh 34

35 Linee equipotenziali (o curve di livello) Sono il luogo dei punti che hanno uguale potenziale 35

36 La molla orizzontale x=a K=1/2 mv 2 =0 U el =1/2kx 2 =1/k2A 2 x=0 K=1/2 mv 2 U el =1/2kx 2 =0 x=-a K=1/2 mv 2 =0 U el =1/2kx 2 =1/2kA 2 K x=0 K=1/2 mv 2 U el =1/2kx 2 =0 x= 0 + Uel x = 0 + U grav = K x= A + Uel x = A + U grav 1 2 mv cost = kx2 + cost 1 2 mv2 = 1 2 kx2 36

37 Molla verticale Un blocco di massa m = 1.70 kg è appoggiato su una molla di costante elastica k = 955 N/m. Inizialmente la molla è compressa di 4.60 cm e il blocco è fermo. Quando il blocco viene rilasciato, accelera verso l alto. Calcolare il modulo della velocità quando la molla passa per la posizione di riposo della molla (scarica! elongazione nulla). prima dopo x K + U = K + finale finale iniziale U iniziale x O mv + (0 + 0) 1 = 0 + ( kx 2 mgx) v 2 kx = - 2gx m = = (955 Nm-1 )( m) kg -2(9.8 ms -2 )( m) = ms 1 37

38 Pendolo semplice! Un pendolo è costituito da una sfera di massa m appesa a una corda di massa trascurabile di lunghezza L. La sfera è lasciata cadere dal punto A a partire dalla quiete. Si calcoli la velocità in B, trascurando gli attriti A T L cosθ 0 B mg 38

39 Pendolo semplice K A + U A = K B + U B 0+mgL (1 cos 0 )= 1 2 mv2 B +0 v B = p 2gL (1 cos 0 ) L cosθ 0 A T B mg 39

40 Pendolo semplice 40

41 Riassumendo L 1 Lavoro ed energia permettono la semplice risoluzione di molti problemi L 2 L 3 La conservazione dell energia meccanica è una legge fondamentale della fisica Prossima lezione: Gli urti e quantità di moto 41

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