4)L insieme dei numeri naturali e l insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta.

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1 1) Si calcoli La funzione è definita per x Dividendo numeratore e denominatore per Il primo risultato è dedotto dal limite fondamentale Ovvero applicando la regola di De L Hospital Pertanto 2) Una moneta di 1 euro( il suo diametro è 23,25 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle esagonali di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire internamente ad una mattonella? (cioè non tagli i lati dell esagono) La probabilità è uguale al rapporto tra l area dell esagono interno alla mattonella, con i lati paralleli ai lati di questa e a distanza pari al raggio r della moneta e l area della mattonella. Il lato dell esagono interno è Area esagono regolare in funzione del lato l Rapporto tra le aree dei due esagoni rappresentati in figura 3) 4)L insieme dei numeri naturali e l insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta.

2 Immaginiamo di disporre tutte le coppie di N {N \ 0} su una tabella e associamo ad ogni elemento della tabella un numero naturale seguendo il percorso indicato (procedimento diagonale di Cantor). 1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 7/1... 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2... 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 7/3... 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4 7/4... 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5... 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 7/6... 1/7 2/7 3/7 4/7 5/7 6/7 E' chiaro che la corrispondenza tra i punti della tabella e i naturali sarà biunivoca. concludere, L insieme dei razionali è un sottoinsieme di Nx(N\0), poiché tutte le coppie di numeri razionali tra loro proporzionali, corrispondono allo stesso numero razionale.,ma non uò avere una potenza inferiore a quella di N poiché non esiste una potenza inferiore a quella del numerabile 5) Siano dati nello spazio n punti. Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due?quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti( supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)? Poiché un segmento è univocamente determinato dai suoi estremi, un triangolo o un tetraedro è univocamente determinato dai suoi vertici il numero di segmenti che si possono costruire dati n punti corrisponde al numero di coppie di punti che si possono scegliere dagli n dati il numero di triangoli che si possono costruire dati n punti(supposto che nessuna terna sia allineata) corrisponde al numero di terne di punti che si possono scegliere dagli n dati il numero di tetraedri che si possono costruire dati n punti (supposto che nessuna quaterna sia complanare ) corrisponde al numero di quaterne di punti che si possono scegliere dagli n dati 6) Si dimostri che la curva di equazione y = x 3 + ax + b ha uno ed un solo punto di flesso rispetto a cui `e simmetrica.

3 S i c o n s i d e r i l a f u n z i o n e P o i c h é S i d e d u c e c h e l a c u r v a c o r r i s p o n d e n t e c a m b i a c o n c a v i t à n e l l i n t o r n o d e l p u n t o F ( 0 ; c ) c h e è p e r t a n t o p u n t o d i f l e s s o. P e r v e r i f i c a r e c h e è c e n t r o d i s i m m e t r i a, a p p l i c h i a m o l a t r a s f o r m a z i o n e { a l l e q u a z i o n e O s s e r v a n d o c h e l e q u a z i o n e s i m u t a i n s e s t e s s a 7.E dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si determini l ampiezza dell angolo formato da l e da h. 8)Un azienda industriale possiede tre stabilimenti (A, B e C). Nello stabilimento A si produce la metà dei pezzi, e di questi il 10% sono difettosi. Nello stabilimento B si produce un terzo dei pezzi, e il 7% sono difettosi. Nello stabilimento C si producono i pezzi rimanenti, e il 5% sono difettosi. Sapendo che un pezzo è difettoso, con quale probabilità esso proviene dallo stabilimento A? Indichiamo con A l evento il pezzo proviene dallo stabilimento A e con B e C gli altri eventi analoghi. Sia D l evento il pezzo è difettoso. Inoltre P(D\A)= P(D\B)= P(D\C)= essendo

4 9) Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.c.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r, nel determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r. Si risolva il problema nel modo che si preferisce. Per trovare il percorso più breve ricorriamo a una costruzione geometrica. Si costruisce il punto A simmetrico di A rispetto alla retta r.,. Poiché A C è congruente ad AC, il problema si riduce a trovare il percorso più breve per andare da A fino a B. In questo caso il percorso più breve è il segmento A B che incontra in C la retta r. In figura si può osservare come il cammino ADB è affettivamente maggiore di ACB La figura dinamica, costruita con Geogebra, permette di effettuare ulteriori verifiche. Il punto C, così definito, è l'unico punto della retta tale che i segmenti AC e CB formano angoli uguali con la retta r Se AC rappresenta un raggio di luce incidente su una superficie piana riflettente, CB sarà il raggio riflesso Poiché le rette AC e CB sono simmetriche rispetto alla normale in C alla retta r, si deduce la nota legge: L angolo di incidenza è uguale all angolo di riflessione. 10. Si provi che fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una sfera di raggio r, quello di minima area laterale ha il vertice che dista rp2 dalla superficie sferica.

5 Posto dalla similitudine dei triangoli VDF e VBO S ( x ) = Osserviamo che Segno di S (x S(x) decresce a sinistra di e cresce a destra, pertanto assume il valore minimo per x=