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1 Corso di Ordinamento Soluzione dei Temi di Matematica proposti nella Sessione Ordinaria 007

2 Sessione Ordinaria 007 Corso di Ordinamento Sommario Problema Punto Punto Punto 6 Punto 4 6 Problema 7 Punto 7 Punto 8 Punto 9 Punto 4 9 Questionario 0 Quesito 0 Quesito 0 Quesito 0 Quesito 4 Quesito 5 Quesito 6 Quesito 7 Quesito 8 4 Quesito 9 4 Quesito 0 5

3 Sessione Ordinaria 007 Corso di Ordinamento Problema Punto Assumo come sistema di riferimento un sistema la cui origine e nel punto A, l asse delle ascisse è la retta che insiste sulla base AB e la cui unità coincida con la misura di AB Poiché in un triangolo la somma degli angoli interni deve essere pari ad un angolo piatto, deve imporre la condizione: 0, ossia 0 Nel sistema assunto, le rette AC e BC hanno, rispettivamente, equazione: r : y tg x AC, rbc : y tg x Indicate con xy le coordinate del punto C e osservato che tale punto è il punto d intersezione tra le rette r AC e r BC metto a sistema le rispettive equazioni: y tg x ( ), con la condizione che y tg x da cui per le formule di duplicazione y tg x y tg x y x tg x x x xy tg y x x y x e, quindi, l equazione del luogo: : x y 4x 0 Punto La è una conica i cui invarianti lineare, quadratico e cubico valgono rispettivamente: I a a ; a a 0 0 a a 0,

4 Esame di Stato di Liceo Scientifico Sessione Ordinaria 007 Corso di Ordinamento a a a 0 a a a 0 0 a a a 0 e, pertanto la è una conica a centro 0, in particolare un iperbole reale 0 e non equilatera I 0 degenere 0 Il centro della conica è la soluzione del sistema: x 0 y 0 ossia è il punto S ;0 L equazione di può essere scritta anche: x y 9 Il semiasse trasverso vale a, il semiasse non trasverso vale b Gli asintoti sono le rette: y x ; I vertici sono i punti V,0 e V ;0 L iperbole è sottoposta alla condizione 0 e dal sistema ( ) si ha: y tg x y tg x tg y tg x da cui y tg x x e quindi tg x donde cos cos sin x x non e, applicando al numeratore la formula di bisezione del coseno e al denominatore quella di duplicazione del coseno si ottiene: cos x x x x cos x cos x cos x x e, quindi: cos x x 4

5 Sessione Ordinaria 007 Corso di Ordinamento Dalla limitazione 0 si ha 0 ed essendo in questo intervallo il coseno x decrescente deve essere ossia: x x x x x x x x x La rappresentazione grafica dell iperbole, tenendo conto della suddetta condizione è: x,, 5

6 Sessione Ordinaria 007 Corso di Ordinamento Punto Indico, rispettivamente, con H e K i piedi dell altezza relativa al lato BC e al lato AC, osservato che i triangoli AHB e AKB sono triangoli rettangoli, retti, rispettivamente, in H e in K, per i teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli, risulta: AH sin, BH sin D sin sin, Posto determino quando è massima Per le formule di duplicazione e per l espressione del seno mediante il coseno risulta: cos D cos cos cos y D e x cos, ottengo l equazione di una parabola concava, la quale ammette Posto cos, ossia quando: 4 arccos '95'' 4 valore massimo nell ascissa del vertice Pertanto D è massima per Punto 4 ^ Se ABC 6 risulta B AC ABC 7 ed essendo la somma degli angoli interni di un triangolo pari a 80, anche l angolo C AB 7 Pertanto il triangolo ABC è un triangolo isoscele di base AC, con l angolo al vertice di 6 Questo implica che AC è il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio, ossia AC è la parte aurea del raggio, cioè il medio proporzionale tra il raggio e la differenza tra il raggio e AC Imposto la proporzione: AB : AC AC : AB AC da cui, essendo AB, si ottiene: AC AC Posto AC x ottengo l equazione x le cui soluzioni sono: ^ ^ ^ x 0 5 x Dovendo essere x 0 il valore accettabile è quello richiesto 6

7 Sessione Ordinaria 007 Corso di Ordinamento Problema Punto Indicata con l ampiezza dell angolo al vertice del triangolo isoscele, osservato che: ^ AB D, in quanto il triangolo ABC è isoscele di base AC; ^ AE D, in quanto angolo al centro e, quindi doppio ^ dell angolo AB D ; 0, in quanto angolo interno di un triangolo, da cui 0; ; risulta: AC rsin, per il teorema della corda; BD BE ED r rcos, essendo il triangolo AED rettangolo in D Pertanto, l area del triangolo ABC è: A AC BD r sin r r cos r sin cos A è una funzione continua, in quanto somma e prodotto di funzioni continue ed è La funzione definita nel compatto massimo Risulta: 0; e, pertanto, per Weierstrass deve assume valore minimo e valore A' r cos cos sin r cos cos sin r cos cos 0 da cui A' 0 per cos cos L area del triangolo assume valore massimo quando cos, ossia quando, ovvero per 6 Concludo asserendo che tra i triangoli isosceli inscritti nella circonferenza, quello di area massima è l equilatero 7

8 Sessione Ordinaria 007 Corso di Ordinamento Punto L area di un poligono regolare può essere calcolata come la somma delle aree dei triangoli in cui viene suddiviso dalle sue diagonali L ampiezza di un angolo centro di un poligono regolare di n lati è n L area di un triangolo, per una formula di trigonometria, è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell angolo compreso, e, quindi, indicata con S l area del triangolo AOH si ha che: S r r sin r sin n n n da cui: Sn n S r sin n e, quindi, la prima parte Per quanto riguarda il poligono regolare circoscritto, esso può essere suddiviso in n triangoli isosceli, il cui angolo al vertice ha ampiezza e la cui area vale: n SC FEOI r tg r r tg n n C e quindi, denotata con S l area del generico poligono regolare circoscritto, risulta: n C S n S n C n r tg n 8

9 Sessione Ordinaria 007 Corso di Ordinamento Punto sin Ricordando il limite notevole lim n, il limite proposto è: n n sin sin n lim r sin r lim n r lim n r n n n n n n e, tale limite, è l area del cerchio circoscritto al poligono regolare (Si osservi che anche il limite delle aree dei poligoni regolari circoscritti è r ) Punto 4 La quadratura del cerchio è un classico problema di geometria il cui scopo è costruire un quadrato equivalente, ossia che abbia la stessa area, di un cerchio, servendosi esclusivamente di riga e compasso Essendo l area del cerchio pari a r, il quadrato equivalente deve avere lato uguale a r ed essendo π è un numero trascendente, come dimostrato da Ferdinand von Lindemann nel 88, la soluzione del problema della quadratura del cerchio con riga e compasso implicherebbe trovare anche un valore algebrico per π il che è impossibile 9

10 Sessione Ordinaria 007 Corso di Ordinamento Questionario Quesito Considerato un punto Px ;0 con 0 x, l immagine di x nella funzione è x che risulta essere il lato del generico triangolo equilatero indicato dalla traccia L area di questo triangolo è: x x S x x Il volume infinitesimo del prisma di base S x è dv xdx Il volume del solido richiesto è dato da: V xdx x 0 0 Quesito Rappresentato il triangolo come in figura, determino il coseno degli angoli tramite il teorema di Carnot Risulta: cos ; cos cos Con una calcolatrice scientifica ottengo: arccos ' ; 6 7 arccos ' ; 8 arccos ' 4 Quesito L equazione proposta è equivalente al sistema parametrico: 0

11 Sessione Ordinaria 007 Corso di Ordinamento y x x y k Studio la funzione y x x Dominio: D Simmetrie: la funzione non presenta particolari simmetrie 0,0 A,0 Intersezioni con gli assi: O Segno: y 0 x;0 0;, y 0 x ; Asintoti: la curva non presenta asintoti Monotonia: Essendo y ' x x si ha che la funzione è crescente x ;0 ;, decrescente x 0; 4 Il punto di massimo relativo è l origine, il punto di minimo relativo è m ; 7 La funzione y k è un fascio di rette parallele all asse delle ascisse La retta del fascio passante per il punto m la si ottiene per k 7 La retta del fascio passante per il punto O la si ottiene per k Rappresento graficamente la situazione Si può concludere asserendo che: l equazione ammette soluzione reale e negativa per k ; 7 ;

12 Esame di Stato di Liceo Scientifico Sessione Ordinaria 007 Corso di Ordinamento l equazione ammette soluzioni reali, di cui una negativa e due coincidenti positive per k ; 7 l equazione ammette soluzioni reali distinte, di cui negativa e positive per k ; 7 ; l equazione ammette soluzioni reali di cui coincidenti e nulle e la terza positiva per k ; k ; l equazione ammette soluzione reale e positiva per Quesito 4 Indicata con x l altezza del cono, e osservato che deve essere 0 x a, il raggio della circonferenza di base è a x x e, pertanto, il volume del cono è: V x x x x x (*) La derivata prima di V x è: V ' x x che è positiva per x 0; e, quindi, il volume del cono è massimo per x Sostituendo tale valore nella (*) si ottiene: VMax V m m 7 il cui valore approssimato è V 040m 40dm 40litri Quesito 5 Max La funzione proposta Continua in,; Derivabile in, f x x 8 è una funzione polinomiale che risulta: e, pertanto, soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange, ossia deve esistere almeno un punto f f c, che verifichi la condizione f ' c Osservato che: f 8 6 f 8 0 e f ' x x,

13 Sessione Ordinaria 007 Corso di Ordinamento 6 i punti c devono essere soluzione dell equazione: c 4 da cui: c In questi due punti la tangente alla curva deve risultare parallela alla congiungente gli estremi della funzione relativi all intervallo, Quesito 6 Indico con P 0 il prezzo finale nel primo caso e con P f il prezzo finale nel secondo Risulta: P0 p 006 p 006 p 006 p 004 p 006 p p P p 006 p 006 p 006 p 06 p 006 p p f ossia il prezzo è lo stesso nei due casi Quesito 7 Dimostro il seguente asserto: Siano A e B non vuoti e f : A B una funzione dispari Allora: a a A: f x dx 0 a Dim Premetto che l integrale è ben posto, in quanto essendo, per ipotesi, f dispari in A il dominio deve essere un dominio di parità e, di conseguenza, se a A anche a A x A: f x f x Per ipotesi risulta che:

14 e, quindi: Esame di Stato di Liceo Scientifico Sessione Ordinaria 007 Corso di Ordinamento 0 a a a a a a a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx a a a f x dx f x dx Pongo x t, da cui dx dt e osservato che per x 0 risulta t 0 e che per x a risulta t a si ha che: a a a a a a a f x dx f x dx f x dx f t dt f x dx f t dt f x dx 0 a Pertanto f x dx 0 Calcolo l altro integrale Risulta Quesito 8 f x dx f x dx dx 0 x n n L equazione (*) 4 5 4, per definizione di coefficiente binomiale, necessita delle seguenti condizioni: n 4 n e, pertanto, sono accettabili solo le soluzioni n 5( ) La (*) si può scrivere: n n n n n n n !! da cui, dividendo entrambi i membri per n n (operazione lecita per la ( )),! n n 5 n 4 donde e, quindi n 6 e n 0 Quesito 9 n 6n 60 0 Per calcolare l integrale proposto, pongo: x sin t da cui t arcsin x dx cos tdt Osservato che, il dominio della funzione arcsin x è l intervallo ; 4 e che in tale intervallo risulta cost sin t, per sostituzione, si ottiene l integrale: cos t sin t cos tdt cos tdt dt t sin t k t sin t cos t k 4 da cui, l integrale assegnato risulta:

15 L integrale definito è: x dx arcsin x x x k 0 Esame di Stato di Liceo Scientifico Sessione Ordinaria 007 Corso di Ordinamento x dx arcsin x x x arcsin 4 0 La funzione f x x è la semicirconferenza positiva di centro l origine e raggio e l area richiesta è quella del quarto di cerchio posto nel primo quadrante Quesito 0 Supposta la superficie terrestre di forma sferica, nel sistema di coordinate terrestri viene scelto: Il piano dell'equatore come fondamentale, L'asse di rotazione terrestre quale direzione fondamentale Un qualunque piano che contiene l'asse terrestre (piano meridiano), determina sulla superficie terrestre un cerchio massimo passante per i poli, il circolo meridiano Per meridiano geografico s intende una semicirconferenza compresa tra i due poli Ogni meridiano ha un suo antimeridiano I meridiani sono tutti ugnali fra loro I paralleli sono i circoli formati dall'intersezione tra un qualunque piano parallelo all'equatore e la superficie terrestre I paralleli sono tanto più piccoli quanto più sono distanti dall'equatore Paralleli e meridiani formano un reticolo che permette di identificare la posizione di un qualsiasi punto della superficie terrestre Per individuare un punto si deve indicare il parallelo e il meridiano che passano per tale punto Convenzionalmente viene fissato come meridiano fondamentale quello passante per l'osservatorio astronomico di Greenwich nei pressi di Londra La longitudine geografica è la distanza angolare di un punto dal meridiano fondamentale, misurata sull'arco di parallelo che passa per quel punto Essa corrisponde all'angolo compreso tra il piano del meridiano del punto e il piano del meridiano fondamentale Può essere EST o OVEST a seconda che il punto si trovi a EST o a OVEST del meridiano fondamentale, varia da 0 a 80 per i punti a EST del meridiano fondamentale da -80 a 0 per i punti a OVEST del meridiano fondamentale La latitudine geografica è la distanza angolare di un punto dall'equatore misurata lungo il meridiano che passa per quel punto Corrisponde all'angolo compreso tra la verticale del luogo e il piano dell'equatore, varia da +90 polo NORD a -90 polo SUD I punti lungo l'equatore hanno latitudine 0 5

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