A.A. 2004/2005 ESERCIZI DI SISTEMI DI COMMUTAZIONE LS

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1 A.A. 2004/2005 ESERCIZI DI SISTEMI DI COMMUTAZIONE LS Esercizio 1 Si consideri un commutatore a pacchetto a 1000 ingressi con pacchetti di lunghezza fissa e buffer in ingresso di dimensione L=10. Il carico in ingresso e' bernoulliano con valore medio p=0.4 pacchetti/slot, bilanciato sulle uscite. Si calcoli: a) la probabilita' di perdita di pacchetto trascurando la correlazione tra gli indirizzi dei pacchetti in testa alle code b) la probabilita' di perdita di pacchetto tenendo conto della correlazione tra gli indirizzi dei pacchetti in testa alle code. Esercizio 2 1. Si disegni la rete di interconnessione di tipo Omega 16 x 16 utilizzando elementi di commutazione 2 x 2 e si dimostri che tale rete non e topologicamente equivalente alla rete baseline di pari dimensioni. 2. Si calcoli il massimo throughput della rete disegnata supponendo in ingresso un traffico bernoulliano uniformemente distribuito sulle uscite e lo si confronti con quello di una rete delta di pari dimensioni che utilizza elementi 4 x 4 e con quello di una rete a stadio singolo. Commentare il risultato ottenuto. 3. Si calcoli la probabilita di perdita di pacchetto della rete 16 x 16 a stadio singolo con buffer in ingresso di lunghezza L=10 e traffico di tipo bernoulliano di parametro p=0.4, trascurando la correlazione tra i pacchetti di testa. 4. Si ripeta il calcolo di cui al punto c) supponendo di utilizzare una rete di interconnessione costituita da due reti in parallelo a stadio singolo 16 x 16 sulle quali viene distribuito in maniera casuale il traffico in uscita dai buffer di ingresso. Esercizio 3 Si consideri l architettura di un commutatore operante in ambiente slotted/unframed con modalita di commutazione store&forward con linee a 155 Mbit/s. Tale commutatore ha dimensioni 8 x 8 e si suppone realizzato mediante 4 reti banyane in parallelo ciascuna di dimensione 8 x 8 ed elementi di commutazione di dimensione 2 x 2. Le 8 linee di accesso al commutatore vengono raggruppate a coppie e ciascuna coppia viene inviata a una delle quattro reti banyane. Per fare fronte alle situazioni di blocco che si verificano all interno della rete si predispongono buffer sulle linee di accesso al commutatore in cui i pacchetti vengono memorizzati fino a corretto trasferimento attraverso il commutatore. Per ciascuna linea di uscita del commutatore e presente un buffer per ricevere il traffico proveniente dalle quattro reti in parallelo diretto alla medesima uscita; tale buffer viene supposto di capacita infinita. Si suppone che ciascuna linea di accesso al commutatore porti traffico random di valore medio pari a ) Disegnare una topologia di interconnessione all interno del commutatore e di ciascuna delle reti banyane che garantisca la piena accessibilita di tutte le linee di ingresso verso tutte le uscite e che consenta di evitare condizioni di blocco nei primi due stadi delle reti banyane. 2) Calcolare il throughput massimo del commutatore. 3) Calcolare la dimensione del buffer di ingresso che consente di limitare la probabilita di perdita di pacchetto a valori non superiori a 1. E-9. 4) Calcolare il ritardo medio di trasmissione in microsecondi supponendo pacchetti di lunghezza 60 byte. Esercizio 4 Un commutatore ATM 4x4 con accodamento in uscita realizza l inoltro dell informazione con modalita asincrona (store&forward). Il traffico di ingresso e bernoulliano, con parametro p = 0.1 per gli ingressi 1 e 2 e p = 0.2 per gli ingressi 3 e 4, ed e uniformemente distribuito sulle uscite. Ogni uscita e servita da una linea di velocita pari a quella delle linee di ingresso e la capacita delle memorie di uscita e pari ad una cella. 1) Disegnare la catena di Markov che descrive ciascuno dei buffer di uscita 2) Calcolare la matrice delle probabilita di transizione 3) Calcolare la probabilitá di perdita Esercizio 5 Si consideri l accesso alla rete ATM mediante linee a 155 Mbit/s che vengono multiplate a gruppi di 10 su linee a 2.5 Gbit/s. Tali linee ad alta capacita vengono poi inviate ai nodi della rete ATM. Si assuma il traffico sulle linee

2 di accesso ai multiplatori di tipo bernoulliano con valore medio 0.8 e che il buffer nei multiplatori di accesso abbia capacita infinita. Il primo nodo che si incontra nella rete a valle dei multiplatori ha dimensione 4 x 4 ed e realizzato con accodamento in uscita. Assumendo che le code del nodo possano contenere al piu due celle ATM ciascuna, si calcoli il throughput a valle di tale nodo. Si commentino le approssimazioni introdotte in tale valutazione. Esercizio 6 Si consideri un commutatore a pacchetto a 2 ingressi e 4 uscite con pacchetti di lunghezza fissa e buffer associati a ciascuna uscita di dimensione b = 1 pacchetto. Il carico su ciascun ingresso e' bernoulliano con valore medio p = 0.8 uniformemente indirizzato sulle uscite. 1) Disegnare la catena di Markov che descrive il sistema 2) Scrivere il sistema risolvente in forma matriciale 3) Calcolare le probabilita' di stato 4) Calcolare il numero medio di pacchetti trasmessi per uscita per unita' di tempo 5) Calcolare la probabilita' di perdita di pacchetto Esercizio 7 Un commutatore ATM 8 x 8 utilizza una rete di interconnessione costituita da tre reti cross-bar in serie. In caso di contesa su una uscita le celle in eccesso vengono inviate alle uscite libere per proseguire verso la rete crossbar successiva. Le celle che si trovano sulla uscita giusta a valle di una rete vengono inviate ai buffer di uscita. Al fine di prevenire la perdita nella catena di reti cross-bar, si predispongono buffer sugli ingressi della rete in cui le celle vengono mantenute finche' non riescono ad essere inviate ai buffer di uscita. I buffer in uscita hanno capacita' pari a due celle. 1) Calcolare il valore del carico che consente di ottenere una utilizzazione delle linee in uscita al buffer di ingresso pari all'80%. 2) Calcolare la probabilita' di perdita nei buffer di uscita assumendo il carico sbilanciato. 3) Calcolare la lunghezza del buffer di ingresso che rende trascurabile la probabilita' di perdita rispetto a quella nei buffer di uscita Esercizio 8 Un commutatore ATM 16 x 16 e costituito da una rete cross-bar con accodamento in ingresso. Al fine di servire due diversi tipi di traffico, T1 e T2, ogni ingresso e dotato di due code separate, una per ciascun tipo di traffico,che vengono interrogate con frequenze F1 ed F2 (slot 1 ) rispettivamente (F1=1-F2). Il carico su ciascun ingresso e bernoulliano con parametro p complessivamente pari a 0.6, di cui un terzo di tipo T1 e il rimanente di tipo T2. Si chiede di a) Determinare il valore della probabilita di successo q nell attraversamento della rete cross-bar in funzione del carico p b) Calcolare i limiti di variabilita di F1 che consentono la stabilita del sistema c) Determinare il valore della frequenza F1 che consente di ottenere un ritardo medio di coda pari a 60 microsecondi e verificare se e compatibile con i vincoli di cui al punto a) d) Calcolare il ritardo nella coda C2 e) Calcolare la dimensione della coda C1 per avere una perdita inferiore a 1.E-9 f) Calcolare il throughput per il traffico T1 Esercizio 9 Un commutatore ATM e costituito da K reti crossbar 16 x 16 in parallelo con buffer in ingresso e in uscita. I buffer in ingresso sono posti a valle della distribuzione del traffico che avviene in maniera casuale. I buffer in uscita si suppongono di capacita infinita. Si chiede di dimensionare il sistema e in particolare di - determinare il numero minimo di reti in parallelo che consente di ottenere throughput massimo complessivo pari a 0.9 con traffico bernoulliano - in corrispondenza alla configurazione di cui al punto precedente determinare la dimensione dei buffer di ingresso per avere probabilita di perdita inferiore a 1.E-9 con traffico in ingresso bernoulliano con parametro determinare il ritardo medio in microsecondi nei buffer di ingresso supponendo di operare con linee a 10 Mbit/s

3 - assumendo per il buffer di uscita un modello M/D/1 calcolare il ritardo medio in microsecondi nei buffer di uscita. Esercizio 10 Un commutatore ATM 4 x 4 con buffer in uscita ha carico sbilanciato sugli ingressi e bilanciato sulle uscite e precisamente esso ha per il primo ingresso un valore medio pari al doppio dei rimanenti tre. Si calcoli il massimo valore del carico su ciascun ingresso in modo da ottenere probabilita' di perdita inferiore a 1.e-9 supponendo che i buffer abbiano capacita pari a una cella ed adottino la modalita' cut-through. Esercizio 11 La rete di interconnessione di un commutatore ATM e costituita da una rete di Clos 8 x 8 a tre stadi con 2 elementi di commutazione al primo e al terzo stadio e 5 elementi al secondo stadio. Gli elementi di commutazione utilizzati sono dotati di buffer in uscita di capacita pari a due celle ciascuno. Con riferimento a carico bernoulliano in ingresso pari a 0.8. Si chiede di - Calcolare il throughput della rete - Calcolare la probabilita di perdita della rete Si chiede di giustificare adeguatamente le eventuali approssimazioni introdotte Esercizio 12 Si consideri un commutatore ATM 16 x 16 basato su una architettura tandem che utilizza 3 reti banyane in serie, realizzate con elementi 4 x 4. Le uscite corrispondenti di ciascuna rete vengono inviate a buffer di uscita di capacita pari a due celle ATM, ciascuno servito da due linee a 34 Mbit/s, pari alla velocita delle linee di ingresso. Il buffer di uscita funziona in modalita store & forward. Il traffico in ingresso e di tipo bernoulliano con parametro p=0.9. Si calcoli: - la probabilita di perdita nella catena di reti in serie. - la probabilita di perdita nel buffer di uscita sapendo che esso viene utilizzato con modalita store & forward. - Il tempo medio di permanenza nel buffer di uscita (ritardo di trasmissione) in s. Esercizio 13 Si consideri un commutatore ATM 4 x 2 realizzato mediante due commutatori con buffer in uscita posti in parallelo. Ciascun commutatore ha 4 ingressi e 2 uscite a cui e associata una coda di capacita pari a 2 celle. Il traffico in ingresso e bernoulliano di parametro p=0.2 e viene distribuito in maniera bilanciata ai due commutatori. La concentrazione del traffico in uscita dalle reti in parallelo avviene mediante un sistema a coda infinita. Si calcoli la probabilita di perdita del sistema assumendo che i buffer dei commutatori funzionino con modalita cut-through. Esercizio 14 Si consideri un commutatore ATM 16 x 16 realizzato mediante 4 reti banyane in parallelo a 2 stadi di elementi 4 x 4 e con buffer in uscita. Gli ingressi sono collegati alle 4 reti in modo da ottenere piena accessibilita sulle uscite e da evitare situazioni di blocco al primo stadio. La trasmissione a valle del buffer di uscita avviene con probabilita 0.9 per time slot a causa di situazioni di congestione nella rete a valle che vengono notificate mediante un meccanismo di riscontro. Un pacchetto viene mantenuto nel buffer fino a che non e stato trasmesso con successo. Supponendo che il traffico in ingresso sia pari a 0.8 si chiede di - disegnare la topologia del commutatore - calcolare la lunghezza del buffer di uscita che consente di ottenere probabilita di perdita inferiore a 1.e- 9 - calcolare il ritardo medio in tempi di pacchetto nell attraversamento del commutatore Esercizio 15 Si consideri un commutatore ATM 8 X 8 che utilizza una rete con accodamento in uscita. Al fine di gestire due diverse classi di servizio ogni interfaccia di uscita ha a disposizione due code, una per il traffico prioritario e l altra per il resto del traffico. La rete di interconnessione utilizzata e internamente non bloccante ed e in grado di smistare il traffico sulla coda appropriata di ciascuna interfaccia di uscita. Supponendo che il traffico in ingresso sia bernoulliano con parametro p=0.7, bilanciato sugli ingressi e sulle uscite, e che sia composto da una percentuale pari al 15% di traffico prioritario: - Calcolare la probabilita di perdita per il traffico prioritario supponendo una capacita del relativo buffer di uscita corrispondente pari a 2 celle;

4 - Calcolare la probabilita di perdita per il traffico prioritario in corrispondenza a un aumento del 10% del traffico totale; - Calcolare il ritardo medio del traffico prioritario. Esercizio 16 Un commutatore a pacchetto 8x8 con pacchetti di lunghezza fissa di 60 byte realizza l accodamento in ingresso e utilizza una rete di interconnessione a stadio singolo. Al fine di gestire due livelli di qualita di servizio, l accodamento in ingresso e realizzato con due code, una per il traffico prioritario e l altra per il traffico non prioritario, servite con tecnica priority queueing: la coda non prioritaria viene servita solo se la coda prioritaria e vuota. Assumendo che il carico in ingresso sia bernoulliano, calcolare: - La probabilita di successo q nella rete di interconnessione con carico complessivo per linea di ingresso pari a 0.7; - La probabilita che il buffer prioritario sia vuoto in presenza di carico prioritario pari a 0.2 e carico totale pari a 0.7; - La lunghezza della coda non prioritaria per avere probabilita di perdita inferiore a 10-9 in corrispondenza ai valori del punto precedente; - Il ritardio medio in microsecondi nella coda prioritaria alla velocita di 155 Mbit/s; Esercizio 17 Si consideri un commutatore a pacchetto tempo discreto 4 x 4. Tale commutatore utilizza una rete di interconnessione costituita da tre reti banyane in serie realizzate con elementi 2 x 2. Il carico bernoulliano sugli ingressi e sbilanciato e vale 0.6 per gli ingressi 1 e 2 e 0.8 per gli ingressi 3 e 4. L accodamento in uscita prevede code di lunghezza pari a un pacchetto. Si chiede di determinare la probabilita di perdita del commutatore. Esercizio 18 Un commutatore a pacchetto 6x4 con pacchetti di lunghezza fissa di 60 byte realizza l accodamento in uscita e utilizza una rete di interconnessione a stadio singolo. Il traffico di tipo bernoulliano e sbilanciato sugli ingressi e vale 0.4 per ingressi per i primi 3 ingressi e 0.6 per i rimanenti 3. Assumendo che la capacita del buffer di uscita sia pari a 2 pacchetti si calcoli: - Il throughput per linea di uscita - La probabilita di perdita nel buffer di uscita; - Il ritardio medio in microsecondi alla velocita di 155 Mbit/s. Supponendo di inserire buffer sugli ingressi per prevenire le sole perdite nella rete di interconnessione, determinare nell ipotesi di carico bilanciato sugli ingressi: - il valore del carico sulle linee d ingresso che determina un carico sugli ingressi della rete di interconnessione pari a 0.8 Esercizio 19 Un commutatore a pacchetto 8x8 con pacchetti di lunghezza fissa di 60 byte utilizza una rete di connessione costituita da tre reti crossbar in serie. I pacchetti vengono portati ai buffer in uscita immediatamente a valle della rete in cui raggiungono con successo l uscita corretta. L accodamento in uscita utilizza buffer di dimensioni pari a due pacchetti. Al fine di prevenire le perdite nella catena di reti in serie vengono posti inoltre buffer sugli ingressi. Il traffico in ingresso e di tipo bernoulliano. Si calcoli: - Il valore del carico in ingresso per ottenere una utilizzazione delle linee in uscita ai buffer di ingresso pari a La probabilita di perdita nel buffer di uscita; - Il ritardio medio di coda in microsecondi nell attraversamento del commutatore, alla velocita di 155 Mbit/s, assumendo buffer di ingresso di capacita infinita La dimensione dei buffer di ingresso per avere probabilita di perdita pari a 1.e-9. Esercizio 20 Si consideri l accesso alla rete ATM mediante linee a 34 Mbit/s che vengono multiplate a gruppi di 10 su linee a 622 Mbit/s. Tali linee ad alta velocita vengono poi inviate ai nodi della rete ATM. Si assuma il traffico sulle linee di accesso ai multiplatori di tipo bernoulliano con valore medio 0.8 e che il buffer nei multiplatori di accesso abbia capacita infinita. Il primo nodo che si incontra nella rete a valle dei multiplatori ha dimensione 4 x 3 ed e realizzato con accodamento in uscita. Assumendo che le code del nodo possano contenere al piu due celle ATM ciascuna, si calcoli il throughput a valle di tale nodo. Si commentino le approssimazioni introdotte in tale valutazione.

5 Esercizio 21 Un commutatore tempo-discreto a 4 ingressi e 6 uscite operante a 155 Mbit/s utilizza una rete di interconnessione costituita da tre reti cross-bar in serie di dimensione 4 x 6. A valle della prima e della seconda rete si inseriscono due multiplatori per realizzare la concentrazione e la ri-distribuzione uniforme del carico del carico da 6 a 4 linee. I pacchetti che hanna successo in ciascuna rete cross bar vengono inviati a buffer in uscita attraverso opportune connessioni. I buffer di uscita funzionano in modalita store&forward con capacita pari a due pacchetti. Le linee di ingresso della rete di connessione portano un carico pari a 0.9 di tipo bernoulliano. I pacchetti sono lunghi 60 byte. Dopo avere disegnato uno schema sintetico del commutatore, si richiede di calcolare - La probabilita di perdita nelle reti in serie - La probabilita di perdita nei buffer di uscita - Il ritardo medio nei buffer di uscita in microsecondi Supponendo di introdurre buffer sugli ingressi del commutatore in modo da evitare la perdita nella catena di reti in serie attraverso un opportuno meccanismo di riscontro, calcolare la capacita di ciascun buffer di ingresso in modo da ottenere perdita non superiore a 10-6 mantenendo l utilizzazione delle linee in uscita ai buffer in ingresso pari al precedente valore 0.9 e calcolare il ritardo massimo e il ritardo medio in microsecondi nell attraversamento del commutatore.