ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA 1 A - L

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1 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corso di laurea in Informatica Anno accademico 2017/ anno ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA 1 A - L MAT/05-6 CFU - 2 semestre Docente titolare dell'insegnamento GIUSEPPA RITA CIRMI cirmi@dmi.unict.it Edificio / Indirizzo: Dipartimento di Matematica e Informatica, 3 blocco, stanza n. 38, viale a.doria 6 Telefono: Orario ricevimento: Venerdì ore Eventuali variazioni verranno comunicate su Studium OBIETTIVI FORMATIVI Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti dell'analisi Matematica: fra questi, le successioni e le serie numeriche, i limiti e le derivate per le funzioni di una variabile. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): attraverso esempi legati alle scienze applicate, lo studente potrà apprezzare l importanza dell'analisi Matematica in ambito scientifico e non solo come disciplina fine a se stessa, ampliando in tal modo i propri orizzonti culturali. Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente potrà affrontare con sufficiente rigore alcuni semplici ma significativi metodi dimostrativi dell'analisi Matematica per affinare le capacità logiche. Molte dimostrazioni saranno presentate in modo schematico e intuitivo per coinvolgere gli studenti e stimolarli a raggiungere da soli l'obiettivo. Abilità comunicative (communication skills): studiando l'analisi Matematica, e mettendosi alla prova mediante le esercitazioni guidate e i seminari, lo studente apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per comunicare con chiarezza il linguaggio scientifico, non solo in ambito matematico. Capacità di apprendimento (learning skills): gli studenti, soprattutto i più volenterosi, saranno stimolati ad approfondire alcuni argomenti, anche mediante lavori di gruppo. PREREQUISITI RICHIESTI I prerequisiti sono quelli richiesti per l'accesso al Corso di Studi

2 FREQUENZA LEZIONI La frequenza è obbligatoria. CONTENUTI DEL CORSO Il programma dettagliato sarà pubblicato alla fine del corso. Gli argomenti trattati sono: - l'insieme dei numeri reali e la sua struttura - generalità sulle funzioni reali di una variabile reale - successioni e serie numeriche - limiti di funzioni reali di una variabile reale -funzioni continue - calcolo differenziale per le funzioni reali di una variabile reale, e sue applicazioni -cenni sui numeri complessi (se la trattazione degli altri argomenti richiederà più tempo del previsto, quest'argomento non sarà svolto) Tutti gli argomenti trattati sono indispensabili per acquisire una buona conoscenza della materia e tutti saranno oggetto delle prove d esame. Per alcuni teoremi non verrà richiesta la dimostrazione. Per conoscere il grado di approfondimento con cui saranno presentati i singoli argomenti si raccomanda di frequentare le lezioni. Frequentare regolarmente le lezioni e partecipare attivamente ad esse e alle attività integrative agevoleranno l apprendimento. TESTI DI RIFERIMENTO Per la teoria: 1. P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica, vol. I ed. Liguori. Per gli esercizi: 1. M.Bramanti:Esercizi di Analisi Matematica 1, Esculapio 2. P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Analisi 1, Vol.1, Parte 1 e 2, Liguori. PROGRAMMAZIONE DEL CORSO

3 * Argomenti Riferimenti testi 1 * L'insieme dei numeri reali: operazioni, ordinamento. ( Prima settimana) testo 1, cap.1 2 * Proprietà di densità. Estremi di un insieme numerico. Elementi di topologia. (Prima e seconda settimana) 3 * Generalità sulle funzioni reali. Funzioni elementari. Operazioni con le funzioni. Funzioni composte. Funzioni invertibili.(terza settimana)) 4 * Successioni numeriche. Limiti di successioni: teoremi di unicità del limite, permanenza del segno e confronto. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Successioni monotone. Il numero di Nepero. Confronto tra infiniti e infinitesimi.alcuni limiti notevoli. Relazioni tra limite e estremi di una successione.( Quarta e quinta settimana) testo1, cap.2 testo 1, cap.1 testo 1, cap.3 5 Successioni estratte (quinta settimana) testo 1, cap.3 6 * Limiti di funzioni. Limiti delle funzioni elementari. Teorema ponte. Limiti notevoli di funzioni.( Sesta e settima settimana) 7 * Funzioni continue. Teoremi di esistenza degli zeri e di Weierstrass.(Ottava settimana) 8 * Derivate. Derivate delle funzioni elementari. Algebra delle derivate. Derivazione delle funzioni composte e inverse.(nona settimana) 9 * Applicazioni del calcolo differenziale. estremi relativi. teoremi di Fermat, Rolle Lagrange e sue conseguenze. I Teoremi di De L'Hospital. Studio del grafico di una funzione.(decima settimana) 10 * Serie numeriche. serie geometrica, armonica, telescopica. Operazioni con le serie. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto, del rapporto, della radice, di condensazione e degli infinitisimi. Serie assolutamente convergenti. Serie esponenziale. (Undicesima e dodicesima settimana) 11 Serie a segni alterni. Proprietà commutativa. ( Dodicesima settimana) delle serie testo 1, cap. 4 testo 1, cap.4 testo 1, cap. 5 testo 1, cap.6 testo 1, cap. 11 testo 1, cap Cenni sui numeri complessi ( alla fine del corso ) * Conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell'esame. N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame. MATERIALE DIDATTICO Sul portale Studium potranno eventualmente essere inseriti appunti relativi ad alcune parti del programma ad integrazione dei libri di testo consigliati.

4 VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO L'esame consiste in una prova scritta, composta da due parti: A) quesiti teorici, anche a risposta multipla B) esercizi tecnici Per superare la prova il candidato dovrà avere riportato una votazione maggiore o uguale a 18/30 in ciascuna delle parti A e B. Coloro che volessero migliorare il voto potranno chiedere di sostenere un colloquio orale, che potrà essere svolto entro la sessione in cui è stata svolta la prova scritta, finalizzato soprattutto a valutare la padronanza degli argomenti e le capacità espositive. La commissione potrà riservarsi di convocare per un colloquio orale anche gli studenti che nella provascritta abbiano riportato un risultato di poco inferiore alla sufficienza. DATE DEGLI APPELLI PROVE IN ITINERE Non previste PROVE DI FINE CORSO Non previste. ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI ESEMPIO DI PROVA SCRITTA: Parte A (Teoria) T1 Rispondere ad almeno una delle seguenti domande. i) Dare la definizione di massimo e minimo assoluto ed enunciare il teorema di Weierstrass. ii) Se una funzione f è dotata di massimo assoluto, quale delle seguenti affermazioni è sempre vera? - f è costante - f è limitata superiormente - f è continua - f è derivabile - f ha anche il minimo assoluto

5 T2 Enunciare e dimostrare almeno uno dei seguenti teoremi. i) Teorema di Fermat. ii) Sia f : (a; b) --> R una funzione derivabile e tale che f'(x) > 0 per ogni x in (a; b). Dimostrare che f è crescente nell'intervallo (a; b). T3 Rispondere ad almeno una delle seguenti domande. i) Sia f : (a; b) --> R. Si dice che f è crescente nell'intervallo (a; b) se...(completare). Si dice che f è invertibile in (a; b) se... (completare). Stabilire quale relazione c'è fra crescenza e invertibilità di una funzione in un intervallo, giustificando la risposta con la dimostrazione o mediante un controesempio. ii) Dire quando una serie numerica è assolutamente convergente e quale relazione c'è fra convergenza semplice e assoluta, giustificando la risposta con la dimostrazione o mediante un controesempio. Parte B (Esercizi): essa è costituita da due coppie di esercizi tecnici (eventualmente a risposta multipla) aventi livelli diversi; lo studente dovrà svolgere un esercizio per ciascuna delle due coppie. Un esempio sarà pubblicato su Studium.