Statistica. POPOLAZIONE: serie di dati, che rappresenta linsieme che si vuole indagare (reali, sperimentali, matematici)

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1 Statistica La statistica può essere vista come la scienza che organizza ed analizza dati numerici per fini descrittivi o per permettere di prendere delle decisioni e fare previsioni. Statistica descrittiva: dalla mole di dati numerici a disposizione trae degli indicatori sintetici che possano riassumere le proprietà salienti dell intera distribuzione. Statistica inferenziale: utilizza dati statistici per pevisioni di tipo probabilistico su situazioni future (incerte), su popolazioni più ampie... POPOLAZIONE: serie di dati, che rappresenta linsieme che si vuole indagare (reali, sperimentali, matematici) CAMPIONE: serie di dati, che rappresenta una porzione della popolazione (campione rappresentativo) VARIABILI: qualitative, quantitative (continue, discrete)

2 Distribuzione di Frequenza - Esempio Supponiamo di avere un campione di n = 200 famiglie, di cui rileviamo il carattere titolo di studio del capo famiglia. Questo carattere può presentare m = 5 differenti realizzazioni (categorie). Costruiamo la tabella della distribuzione di frequenza: f i f i / n F i F i / n Laurea Diploma scuola media superiore Diploma scuola media inferiore Licenza elementare Nessun titolo

3 Distribuzione di Frequenza - Esempio Rappresentiamo i dati riportati nella tabella della distribuzione delle frequenze con un istogramma delle frequenze titolo di studio fi fi / n nessuno 18 0,09 elementare 52 0,260 media inferiore 74 0,370 media superiore 49 0,245 università 7 0, , nessuno elementare media inferiore 49 media superiore 7 università ogni rettangolo rappresenta un carattere l area del rettangolo e proporzionale alla frequenza di quel carattere

4 Distribuzione di Frequenza dati raggruppati in classi o categorie ( x i, f i )...m FREQUENZA ASSOLUTA f i : è numero di osservazioni che ricadono in ciascuna classe. Numero totale di osservazioni n = FREQUENZA RELATIVA f i /n: è il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero totale n di osservazioni e rappresenta la percentuale di osservazoni in ogni classe o categoria. m f i FREQUENZA ASSOLUTA CUMULATA F i : F i = i k=1 f k FREQUENZA RELATIVA CUMULATA F i /n: 1 n i k=1 f k

5 Statistica Descrittiva misure, indici (numerici) che descrivono le caratteristiche della distribuzione di una o più variabili in modo sintetico indici di posizione o centralità : valore centrale, medie algebriche, mediana, moda ( detti anche misure di intensità, centri...) indici di dispersione o variabilità : intervallo di variazione, varianza, varianza stimata, deviazione standard, deviazione standard stimata indici di simmetria o asimmetria :...

6 Valore Centrale VALORE CENTRALE : dato l insieme di valori { x 1, x 2,... x n }, considera solo i due valori estremi (non tiene conto di tutti i valori) x max + x min 2 x max = max { x 1, x 2,... x n } e x min = min { x 1, x 2,... x n } ESEMPIO : {3, 20, 27, 25, 30, 310} x max + x min 2 = = 156.5

7 Media Aritmetica - 1 MEDIA SEMPLICE : dato l insieme di valori { x 1, x 2,... x n } x = 1 n n x i = x 1 + x x n n MEDIA PONDERATA (dati raggruppati): dato l insieme di valori { x 1, x 2,... x m } con le rispettive frequenza assolute { f 1, f 2,... f m } m x = m f i x i f i = 1 n m f i x i = f 1 x 1 + f 2 x f n x n n

8 Media Aritmetica - 2 la media può non appartenere all insieme dei dati insiemi di dati diversi possono avere la stessa media utilizza tutti i dati centro di gravità dei dati riduce l effetto dei dati estremi (outlier) PROPRIETÀ: se applico una trasformazione lineare ai dati y i = a x i + b ȳ = a x + b n la somma degli scarti dalla media è nulla (x i x) = 0 la somma dei quadrati degli scarti dalla media è minima n (x i x) 2 assume il valore minimo per x = x

9 Media Aritmetica - 3 La somma degli scarti dalla media è nulla. n (x i x) = n x i n x = n x i n x = n x i n 1 n n x i = 0 La somma dei quadrati degli scarti dalla media è minima. Nel caso di due soli dati { x 1, x 2 } tale somma è F(x) = (x 1 x) 2 + (x 2 x) 2 Determino i punti di massimo e di minimo relativo F (x) = 2(x 1 x) + 2(x 2 x) = 0 x = 1 2 (x 1 + x 2 ) lo studio del segno di F (x) mi dice che la somma dei quadrati degli scarti ha un punto di minimo in x = 1 2 (x 1 + x 2 ) media aritmetica

10 Media Aritmetica - Esercizi ESERCIZIO 1 : dato l insieme di valori {12,25,37,41,0,53} x = 1 6 ( ) = 28 ESERCIZIO 2 :dato l insieme di valori {28,28,28,28,28,28} x = 1 6 ( ) = 28 ESERCIZIO 3 (dati raggruppati) : In un campione di 200 persone si sa che 20 pesano 50 kg, 30 pesano 55kg, 50 pesano 60kg, 70 pesano 65kg, 20 pesano 75 Kg e 10 pesano 80kg. Calcolare il peso medio. x = = = = 62.5Kg

11 Media Geometrica MEDIA SEMPLICE : dato l insieme di valori { x 1, x 2,... x n } x g = n n x i = n x 1 x 2 x n log x g = 1 n n log x i MEDIA PONDERATA : dato l insieme di valori { x 1, x 2,... x m } con le rispettive frequenza assolute { f 1, f 2,... f m } log x g = 1 n n i= f i log x i

12 Mediana Dato l insieme di valori ordinati x 1 x 2... x n 1 x n si chiama mediana (valore mediano) il valore M e che occupa la posizione centrale se n è dispari c è un unico termine mediano di posto n+1 2 M e = x n+1 2 se n è pari ci sono due termini mediani di posti n 2 e n M e = 1 2 (x n 2 + xn 2 +1) Utilizza tutti i valori ma si basa soltanto sull ordinamento degli stessi. ESEMPIO 1: {0,13,25,81,503} M e = 25 ESEMPIO 2: {1,2,81,93,327,503} M e = 87

13 Moda MODA : valore (o classe) al quale associata la frequenza più alta titolo di studio fi fi / n nessuno 18 0,09 elementare 52 0,260 media inferiore 74 0,370 media superiore 49 0,245 università 7 0, , nessuno elementare media inferiore 49 media superiore 7 università (si può applicare anche a dati qualitativi espressi su scala nominale)

14 Esempio: Media, Mediana, Moda classe ri fi fi / n , , , , , , MEDIA: si calcola come media ponderata x = 9.2 MEDIANA: M e = 7 è la media del decimo e dell undicesimo termine che hanno entrambi valore 7. MODA: è la classe 5 9 o il suo rappresentante r 2 = 7, corrispondenti a f 2 = 6 moda < mediana < media distribuzione obliqua a destra

15 Intervallo di Variazione INTERVALLO DI VARIAZIONE (campo, range) : dato l insieme di valori { x 1, x 2,... x n }, considera solo i due valori estremi I V = x max x min facile da calcolare utilizza soltanto due informazioni (gli estremi) della distribuzione dei dati e risente quindi della presenza di outlier non fornisce informazioni sulla distribuzione (variabilità) dei dati allinterno del campione ESEMPIO : {1, 17, 31, 525, 526, 527, 529, 529, 530, 531} x max x min = (531 1) = 530

16 Intervallo di Variazione - Esempio I = 8 V I = 8 V

17 Dispersione si cercano indici di dispersione che: utilizzino tutti i dati { x 1, x 2... x n } siano basati sulla nozione di scarto (distanza) dei dati rispetto ad un centro d i = x i C ad es. rispetto alla media aritmetica d i = x i x rispetto a un dato d i = x i x j con alcune proprietà generali: non deve mai essere negativo assume valore 0 se i dati sono tutti uguali non cambia se aggiungiamo una costante ai dati

18 Varianza - 1 VARIANZA : è la media aritmetica (semplice o ponderata) dei quadrati degli scarti dato l insieme di valori { x 1 x 2,... x n } V ar = s 2 = 1 n n (x i x) 2 dato l insieme di valori { x 1, x 2,... x m } con le rispettive frequenza assolute { f 1, f 2... f m } V ar = s 2 = 1 n m f i (x i x) 2 n = m f i

19 Deviazione Standard DEVIAZIONE STANDARD (scarto quadratico medio) : è la radice quadrata positiva della varianza s = 1 n n (x i x) 2 o s = 1 n m f i (x i x) 2 consente di avere un indice di dispersione espresso nella stessa unità di misura dei dati NOTA applicando una trasformazione lineare ai dati y i = a x i + b s 2 y = a 2 s 2 x s y = a s x

20 Esempio riassuntivo - 1

21 Esempio riassuntivo 2 Caso A x i f i f i /n media 5.00 mediana 5.00 varianza 4.00 deviazione standard 2.00 Caso B x i f i f i /n media 5.00 mediana 5.00 varianza 8.00 deviazione standard 2.83

22 Statistica - Un Esempio Un indagine sul peso, su un campione n = 100 studenti, ha prodotto il seguente risultato. I pesi p sono espressi in kg e sono stati raggruppati in cinque classi di peso. classe f i f i /n 60 p p p p p Sono riportate le frequenze assolute f i (numero di individui appartenenti alla classe di peso i sima) e la frequenze relative f i /n. Le classi sono di uguale ampiezza, ma non sono contigue

23 Statistica - Un Esempio Estendiamo i confini di ciascuna classi in modo simmetrico di 0.5 kg. La popolazione non è cambiata e possiamo rappresentre i dati, in classi contigue, come segue: classe r i f i f i /n 59.5 p < p < p < p < p < Supponendo che gli individui di una classe siano distribuiti uniformemente al suo interno, è naturale associare a ciascuna classe, come rappresentante, il valore centrale r i della classe stessa.

24 Calcolo della Media Come si può calcolare la media dei dati conoscendo solo un informazione parziale (per classi) sulle frequenze? Occorre formulare un ipotesi su come i dati si distribuiscono all interno di ogni classe. In assenza di ulteriori informazioni, è ragionevole congetturare che gli elementi appartenenti ad una classe si distribuiscano uniformemente al suo interno. È naturale associare ad ogni classe un rappresentante: il valore centrale della classe. r i f i Ai fini del calcolo della media si utilizzano solo i rappresentanti r i p = = kg

25 Poligono delle Frequenze DISTRIBUZIONE FREQUENZE f classe r i f i 59.5 p < p < p < p < p < posso rappresentare in modo efficace le frequenze delle classi del campione mediante un istogramma (dove le aree dei rettangoli sono proporzionali alle frequenze della classe) unendo i punti medi dei lati superiori dei rettangoli, ottengo il cosiddetto poligono delle frequenze p (kg) IPOTESI: classi equispaziate distribuzione uniforme all interno della classe

26 Ogiva di Frequenza DISTRIBUZIONE FREQUENZE F classe r i f i F i p < p < p < p < p < p < calcolo le frequenze cumulate F i, ( F i rappresenta il numero dei dati, che sono minori del secondo estremo della i sima classe) costruisco il diagramma cumulativo delle frequenze unendo i punti, ottengo la cosiddetta ogiva di frequenze p (kg)

27 Calcolo della Mediana - 1 CALCOLO DELLA MEDIANA M e : Trovare il punto M e tale che l area in giallo sia il 50% dell area totale sottesa dall istogramma delle frequenze area totale istogramma = f (M e 65.5) 42 = 150 M e = kg NOTA: ricordiamo che le aree sono proporzionali alle frequenze M e p (kg)

28 Calcolo della Mediana - 2 F B CALCOLO DELLA MEDIANA M e : Trovare il punto di intersezione della retta F = 50 con l ogiva di frequenza. Significa trovare l intersezione con la retta passante per i punti: A = (65.5,23) e B = (68.5,65) { F = A F = (p 65.5) M e p (kg) p =