IL FATTORE Rh Supponiamo ora di sapere che è nato un figlio Rh + da madre Rh, qual è la probabilità che il padre sia Rh + omozigote?

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1 IL FATTORE Rh Supponiamo ora di sapere che è nato un figlio Rh + da madre Rh, qual è la probabilità che il padre sia Rh + omozigote? Dobbiamo calcolare P(P AA F + ), dove abbiamo indicato con P AA l evento padre Rh + omozigote P(P AA F + ) = P(P AA F + ) / P(F + ) Abbiamo già calcolato la probabilità P(F + )= p, inoltre P(P AA F + ) = p 2

2 IL FATTORE Rh P(P AA F + ) = P(P AA F + ) / P(F + ) = p 2 /p = p Dunque P(P AA F + ) = p Si osserva che p > p 2 (perché? ), quindi l evento F + è correlato positivamente con l evento P AA Se P(P AA F + ) = p, qual è la probabilità di P(P Aa F + )? 1-p = q

3 IL FATTORE Rh Supponiamo ora di sapere che sono nati due figli Rh + da madre Rh, qual è la probabilità che il padre sia Rh + omozigote? Indichiamo con FI + ed FII + rispettivamente gli eventi il primo figlio è risultato Rh +, il secondo figlio è risultato Rh +, vogliamo calcolare: P(P AA FI + FII + )=P(P AA ( FI + FII + ))/P(FI + FII + ) P(P AA ( FI + FII + )) è, ovviamente, uguale a p 2 Dobbiamo calcolare P(FI + FII + )

4 IL FATTORE Rh Per calcolare P(FI + FII + ), dobbiamo tenere conto che questo evento può verificarsi nei seguenti due casi: Il padre è AA e quindi i figli sono sicuramente entrambi Rh + oppure il padre è Aa ed i figli sono entrambi Rh + solo se hanno ereditato entrambi, indipendentemente l uno dall altro con probabilità 1/2 ciascuno, un allele A. Si ha quindi: P(FI + FII + ) = p 2 + (1/2) (1/2) 2 p q = p 2 + (p q) /2

5 IL FATTORE Rh La probabilità richiesta è quindi P(P AA FI + FII + )= p 2 /(p 2 + (p q) /2) = 2p/(p+1) Si osserva che 2p/(p+1) > p (perché?), vale a dire che la nascita di un secondo figlio Rh + aumenta la probabilità che il genotipo del padre sia AA.

6 IL FATTORE Rh Supponiamo ora di sapere che sono nati due figli Rh + da madre Rh, qual è la probabilità che il padre sia Rh + omozigote? ALTRO MODO DI PROCEDERE: Potremmo partire dalle probabilità calcolate una volta saputo che è nato un primo figlio Rh +, per modificarle in base alla nuova informazione che ci viene data dal sapere che è nato un secondo figlio anch esso Rh +. Assumiamo quindi come P(P AA ) = P(P AA FI + ) = p, P(P Aa ) = P(P Aa FI + ) = 1-p= q Calcoliamo quindi P(P AA FII + )

7 Si ottiene IL FATTORE Rh P(P AA FII + ) = P(P AA FII + )/ P(FII + ) P(P AA FII + ) = p P(FII + )= p + (1/2) q P(P AA FII + ) = p/(p + q/2) = 2p/(p+1) L informazione raccolta tutta insieme o un po per volta porta ovviamente alle stesse conclusioni.

8 In una famiglia con tre figli, qual è la probabilità di avere un solo figlio maschio? Indichiamo con M una nascita maschile e con F una femminile, consideriamo P(M) =0.515 e P(F) = L evento richiesto si può realizzare nei seguenti modi: MFF, FMF, FFM. Se ipotizziamo che il risultato di ogni nascita sia indipendente dal risultato delle precedenti, ciascuno di loro avrà probabilità (0.515) (0.485) 2

9 Dunque la probabilità richiesta sarà 3 (0.515) (0.485) 2 In una famiglia con 5 figli, qual è la probabilità di avere 2 maschi? La famiglia sarà composta da 2 M e 3 F, ogni evento, sempre nell ipotesi di indipendenza tra nascite, avrà probabilità (0.515) 2 (0.485) 3 Ma in quanti modi si possono avere 2 M su 5 figli?

10 Ma in quanti modi si possono avere 2 M su 5 figli? 5 2 Dunque la probabilità richiesta è 5 2 (0.515)2 (0.485) 3

11 Generalizziamo ad un famiglia con n figli, indichiamo con p la probabilità di una nascita maschile e con q = 1-p la probabilità di una nascita femminile. Calcoliamo quindi la probabilità che in una famiglia con n figli, k siano maschi (0 k n ). n k pk q n-k

12 Ancor più in generale sia A un evento e A la sua negazione (evento contrario). Poniamo P(A) = p, P( A ) = q = 1-p. Ripetiamo l esperimento n volte in modo tale che ogni risultato consecutivo sia indipendente da tutti i precedenti risultati. Allora la probabilità che A si verifichi esattamente k volte (0 k n ) è n k pk q n-k

13 ESEMPIO: Cinque cavie appartenenti ad una stessa figliata sono sofferenti di una deficienza di vitamina A. Essi vengono nutriti di una certa dose di carote. Sia p=0.73 la probabilità di guarigione. Ci domandiamo: a) Qual è la probabilità che tre delle cinque cavie guariscano? b) Qual è la probabilità che almeno una cavia guarisca c) Qual è la probabilità che al più una cavia guarisca?

14 Qual è la probabilità che tre delle cinque cavie guariscano? 5 3 (0.73)3 (0.27) 2

15 Qual è la probabilità che almeno una cavia guarisca? almeno una cavia guarisce, significa una oppure due, oppure tre, oppure quattro oppure cinque. Conviene negare questo evento, otteniamo: nessuna cavia guarisce. Quest ultimo evento ha probabilità (0.27) 5 Quindi l evento almeno una cavia guarisce ha probabilità 1 (0.27) 5

16 Qual è la probabilità che al più una cavia guarisca? Significa che o nessuna cavia guarisce oppure una sola cavia guarisce (0.27) 5 +5 (0.73) (0.27) 4