Esame di Fluidodinamica delle Macchine (I modulo)

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1 Esame di Fluidodinamica delle Macchine I modulo) Cognome/Nome Matricola N = 0 Marzo Si consideri il campo di moto potenziale mostrato in Fig. 1 ottenuto dalla sovrapposizione di due vortici controrotanti disposti simmetricamente lungo l asse y a distanza a dall origine. Il vortice posto lungo il ramo positivo dell asse y è orario ed entrambi sono caratterizzati dalla medesima circolazione Γ. Se ne calcoli il potenziale F e la velocità W nel piano complesso. Si calcolino quindi le componenti cartesiane del vettore velocità ed in particolare la distribuzione della componente orizzontale lungo l asse x i.e. per y = 0). Si spieghi perchè l asse x si comporta come una frontiera impermeabile al fluido. Si dimostri che la funzione di corrente assume la seguente forma: ψ = Γ 4π log x +y a) x +y +a) [ 1 = Γ 4π log 4ay x +y +a) ] 1) A tale scopo si utilizzi il potenziale complesso precedentemente ottenuto oppure si scriva la funzione di corrente utilizzando un sistema di riferimento bi-polare con i poli nel centro dei vortici. Infine, utilizzando l Eq. 1), si dimostri che le linee di corrente sono cerchi di equazione: x + [ y +acoth )] πψ = Γ [ acsch )] πψ ) Γ 1

2 P=x+iy r 1 1 Y 0 r X Figura 1: Vortice in prossimità di una parete Al fine di dimostrare l equazione ) si utilizzino le seguenti identità: Svolgimento cothx = ex +e x e x e = ex +1 x e x 1 ex cschx = = e x e x e x 1 Il potenziale complesso per il campo di moto mostrato in Fig. 1 è: Posto pari a: F z) = i Γ Γ logz ia) logz +ia) π π = i Γ z ia) log π z +ia) = i Γ x+iy a) [x iy +a)] log π x+iy +a) [x iy +a)] = i Γ π log x +y a iax x +y +a) 3) = φ+iψ ζ = x +y a iax x +y +a) = ρe iν

3 l argomento della funzione log nella 3), si ottiene: dove: ψ = Γ π logρ = Γ 4π logρ 4) ρ = Rζ) +Iζ) = x +y a ) +4a x [ x +y +a) ] = x +y a) x +y +a) 5) Sostituendo la 5) nella 4) si ottiene la1). In alternativa, utilizzando il sistema di riferimento bi-polare mostrato in Fig. 1, la funzione di corrente si può scrivere: ψ = Γ π logr 1 Γ π logr = Γ π log r 1 r = Γ 4π log r 1 r da cui si ottiene immediatamente l Eq. 1), tenuto conto che: r 1 = x +y a) r = x +y +a) Per quanto concerne l equazione delle linee di corrente, dall Eq. 1) otteniamo: e 4ψπ Γ = 1 4ay x +y +a) che, posto α = 4ψπ, si può riscrivere nella forma seguente: Γ da cui: avendo posto: x +y +a) 4ay = [ x +y +a) ] e α 6) x +y +a) 4aβy = 0 7) β = 1 1 e α Confrontando la 7) con l equazione di una generica circonferenza con centro sull asse y: x +y +y 0 yy 0 R = 0 si ottiene: y 0 = aβ 1) R = y0 a = a 4ββ 1) = 4a e α 1 e α ) 8a) 8b) 3

4 da cui: R/a = eα/ = csch α/) 9) 1 e α ) y 0 /a = 1+β) = 1+ ) e α 1 = eα +1 α ) e α 1 = coth 10) La velocità complessa è: W = iγ π = iγ π = iγ π = iγ π 1 z ia 1 ia z +a z +ia ) ia x y +a ixy x y +a +ixy x y +a ixy 4axy +iax y +a ) x y +a ) +4x y = Γ ax y +a )+i4axy π x y +a ) +4x y = u iv 11) Pertanto, lungo l asse x: u = Γ a πx +a ) 1) v = 0 13) Dall Eq. 13) si evince che l asse x è una frontiera impermeabile al fluido.. Aria attraversa un condotto a sezione costante termicamente isolato) caratterizzato da un rapporto lunghezza/diametro idraulico pari a L/d H = 15 e da un coefficiente di attrito pari a f = Nella sezione 1 di ingresso il numero di Mach è pari a M 1 = e la temperatura e pressione valori statici) rispettivamente pari a T 1 = 333 K e p 1 = 47.5 kpa. Nella sezione di sbocco la velocità è pari a 39. m/s. Si calcolino densità e numero di Mach nella sezione. Sapendo poi che un urto retto si localizza tra le due sezioni, si calcoli la distanza l 1,sh, misurata rispetto alla sezione di monte, in cui questo si localizza, nonchè il numero di Mach M monte immediatamente a monte dell urto. Svolgimento ρ = kg/m 3 ; M = ; l 1,sh = ; M monte =. 4

5 Essendo il flusso S1D, sfruttando l equazione di conservazione della portata ed i dati del problema: T 1, p 1, M 1 e v, è possibile calcolare la densità nella sezione di sbocco ): p 1 RT 1 M 1 γrt1 = ρ v ρ = kg/m 3 14) Poichè il flusso è adiabatico, la temperatura totale resta costante e pertanto, mediante l equazione di conservazione dell energia, è possibile calcolare la temperatura statica nella sezione di sbocco: essendo: T = T 0 1 v = T1 0 c 1 v = K, p c p T 0 1 = T 1 1+ γ 1 ) M1 Il numero di Mach nella sezione è quindi: M = = K. v γrt = Infine, tramite l equazione di stato dei gas perfetti è quindi possibile calcolare la pressione statica nella sezione : p = ρ RT = kpa Circa il calcolo della posizione dell urto, vi è da osservare che, poichè il numero di Mach varia in modo discontinuo attraverso l urto, la relazione che lega il fattore adimensionale 4f l/ al numero di Mach, va applicata separatamente fra le sezioni 1 e quella a monte dell urto sh,1) e fra la sezione a valle di questo sh,) e la sezione di sbocco: 4f l sh = 4f l 1 4f l sh,1 4f L l sh ) = 4f l sh, 4f l 15a) 15b) Nelle Eq. 15) si è indicata con l sh / la distanza adimensionalizzata) della sezione incui si localizza l urto dalla sezione 1. Sommando leeq. 15) si ottiene: Nell Eq. 16) sono noti i termini: 4f L = 4f l 1 4f l sh,1 + 4f l sh, 4f l 16) 4f L = 0.3; 4f l 1 = ; 4f l =

6 mentre sono incogniti i due termini: 4f l sh,1 4f l sh, 17) che dipendono, rispettivamente, dai numeri di Mach a monte ed a valle dell urto. È dunque necessario procedere in modo iterativo, ipotizzando uno o due, a seconda del metodo iterativo utilizzato) valori del numero di Mach M sh,1, calcolare M sh, mediante le equazioni dell urto retto, quindi i corrispondenti gruppi adimensionali 17), finchè l equazione 16) è soddisfatta. Il o i due) valori di M sh,1 di primo tentativo saranno compresi fra M =, che corrisponde ad un urto in corrispondenza della sezione 1 e il valore del numero di Mach a monte di urto che si localizzi nella sezione. Quest ultimo si ottiene come segue: 4f l sh,1 = 4f l 1 4f L = M sh,1 = Risolvendo iterativamente si ottiene: M sh,1 = a) M sh, = b) l sh = c) 3. Aria a pressione e temperatura rispettivamente pari a 150 kpa e 40 C e velocità pari a 50 m/s attraversa un lungo condotto a sezione costante. Due valvole, poste rispettivamente all ingresso ed all uscita del condotto, vengono improvvisamente e simultaneamente chiuse. Si discuta quale tipo di onde vengono generate dalla chiusura delle valvole e si calcoli la pressione che agisce sulle valvole subito dopo la chiusura delle stesse. Svolgimento p ingresso = p 3 = 1.78 kpa; p uscita = p = kpa. A seguito della chiusura delle due valvolo, le velocità in corrispondenza di esse si annulleranno, i.e. u 3 = u = 0. Pertanto, in corrispondenza della valvola verso cui si muove il flusso, verra generata un onda d urto che propaga verso la valvola opposta si veda la Fig. ), mentre verrà generata un onda di espansione in corrispondenza della valvola che si trovava a monte rispetto al flusso uniforme iniziale. Le condizioni a valle dell urto riflesso, che si muove con velocità W, si ottengono calcolando i numeri di Mach relativo a monte regione 1) ed a valle regione ) dell urto stesso: M r1 = u+w = W +u 1 a 1 γrt1 M r = W W = a γrt 19a) 19b) 6

7 t dx/dt= a 3 caratteristica C dx/dt=u a 1 1 x espansione u=0 u 1 3 W u=0 Figura : Schema del condotto ed evoluzione delle onde nel piano x,t) Nelle equazioni 19a e 19b sono noti: la velocità assoluta) u 1 e la velocità del suono a 1. Sono incogniti: la velocità dell urto W, la velocità del suono a ed i numeri di Mach a monte e valle. Per la soluzione é possibile procedere in modo iterativo nel modo seguente: a) si ipotizza un valore del numero di Mach relativo a monte M r1 ; b) tramite l Eq. 19a è possibile calcolare la velocità dell urto W k, essendo noti a 1 e u; c) noto il Mach relativo a monte, tramite le equazioni dell urto retto si calcolano il Mach relativo e la temperatura statica a valle d) infine, tramite l Eq. 19b si calcola una nuova approssimazione W k+1 per la velocità dell urto. La tabella 1 mostra i risultati ottenuti mediante il predetto schema iterativo. La pressione in corrispondenza della valvola di destra si ottiene, nota la p 1 calcolando il salto di pressione attraverso l urto. Per quanto concerne l onda di espansione, la curva caratteristica C mostrata in Figura trasporta l invariante di Riemann: J = a 1 γ 1 u 1 dalla regione 1 fino alla valvola di sinistra, dove J assume il valore: J = a 3 γ 1 0a) 0b) 7

8 Tabella 1: Iterazioni per il calcolo della velocità dell urto. k M r1 W k M r W k essendo nulla la velocità in corrispondenza della valvola. Eguagliando le 0) si ottiene: da cui si ottiene: a 3 /a 1 = 1 γ 1 = = T3 T 1 p3 p 1 )1 )γ 1 γ M 1 p 3 = 1 γ 1 ) γ M 1 γ 1 p1 1a) 1b) 1c) Si noti che il passaggio dalla1b) alla1c) è giustificato dal fatto che l entropia delle regioni 1 e è la medesima. 8