Esercizi e problemi. Gli esercizi sono raggruppati nei tre capitoli delle lezioni Fisica Atomica, Fisica Molecolare e Fisica dei solidi.

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1 Corso di Laurea in Fisica Corso di Struttura della Materia G. Rinaudo - a.a.2001/02 Esercizi e problemi Premessa Gli esercizi sono raggruppati nei tre capitoli delle lezioni Fisica Atomica, Fisica Molecolare e Fisica dei solidi. Per gli esercizi che portano il simbolo * è data la soluzione in un foglio separato. Nell esecuzione dei calcoli si raccomanda l uso del sistema di unità di Gauss e, in particolare, delle unità di misura illustrate nella Nota 1 e qui di seguito riportate. Particolare attenzione dovrà essere posta a indicare sempre ed esplicitamente le unità usate, sia nei calcoli sia, per i grafici, nelle scale degli assi. Unità di misura energia : ev (l ev = joule) lunghezza: m, Å ( 1 ångstrom = m) tempo: s campo magnetico: T, G (tesla, gauss, 1G=10-4 T) temperatura : K (gradi kelvin) Tutte le grandezze fisiche, soprattutto se microscopiche, vanno espresse in queste unità di misura. In particolare: la massa m: va moltiplicata per c 2 (c è la velocità della luce) ed espressa in ev la quantità di moto p: va moltiplicata per c ed espressa in ev 1 la carica elettrica: si usa il sistema di unità di misura di Gauss, nel quale la costante 4πε è 0 posta uguale a 1 e quindi l energia potenziale elettrica E p fra due cariche q e Q poste a distanza r si scrive: qq E p = r Le dimensioni della carica elettrica al quadrato sono perciò pari a [energia*lunghezza] = [azione*velocità] e quindi sono esprimibili in termini di h c. In particolare il quadrato della carica dell elettrone è dato da hc per la costante di struttura fine 1/137: 2 hc e = 137 1

2 Costanti naturali velocità della luce c = m s -l costante di Planck hc = ev m = ev Å costante di struttura fine e 2 / ( h c ) = 1/137 carica dell elettrone al quadrato e 2 = h c /137 = 14,4 ev Å numero di Avogadro N A = mole-1 costante di Boltzmann k B = ev K -1 massa dell elettrone m e c 2 = ev massa del protone m p c 2 = ev unità di massa atomica m uma c 2 = ev magnetone di Bohr eh / 2m = ev T -1 = 0, ev gauss -1 2

3 1. Esercizi di fisica atomica *Esercizio 1.1 atomo di idrogeno classico a) Calcolare, secondo la meccanica classica, alcune possibili orbite dell elettrone nell atomo di idrogeno, sapendo che nell atomo di idrogeno la distanza dell elettrone dal nucleo è dell ordine del raggio di Bohr, 2 h 10 a o = = 0,53 10 m me 2 In particolare calcolare l orbita circolare di raggio a o e un orbita corrispondente alla stessa energia totale ma distanza al perielio pari ad a o /4. Individuare le posizioni del perielio e dell afelio. b) Riportare in un grafico, in funzione della distanza r dal nucleo, l andamento - dell energia potenziale coulombiana E p - della barriera di potenziale centrifugo E L per i due casi di cui al punto a) - della somma E p + E L per entrambi c) Calcolare il valore di a o utilizzando unicamente le unità di misura consigliate. *Esercizio 1.2 atomo di idrogeno quantistico: potenziali, livelli energetici e funzioni d onda radiali dell elettrone in un potenziale coulombiano a) Calcolare l energia potenziale coulombiana di un elettrone nell atomo di idrogeno e i livelli energetici corrispondenti a n=1, 2, 3 e riportarli in un grafico in funzione della distanza r dal nucleo. Individuare sul grafico i punti di inversione per il caso di numero quantico di momento angolare l=0 b) Calcolare e riportare in un grafico le funzioni d onda radiali u(r)=r(r)/r dell elettrone dell atomo di idrogeno corrispondenti a n=1, 2, 3 ed l=0. Individuare sul grafico i nodi delle funzioni e i flessi che non corrispondono ai nodi. c) Calcolare il potenziale effettivo, somma dell energia potenziale coulombiana e del termine di barriera centrifuga, di un elettrone nell atomo di idrogeno per gli stati di numero quantico di momento angolare l=1 e 2 e riportarli in grafici separati in funzione della distanza r dal nucleo. Calcolare i livelli energetici corrispondenti a n= 2 e 3 e riportarli sui due grafici. Individuare sugli stessi grafici i punti di inversione. b) Calcolare e riportare in un grafico le funzioni d onda radiali u(r) dell elettrone dell atomo di idrogeno corrispondenti a n=2 per tutti i valori permessi di l. Ripetere il calcolo per n=3. Individuare sui grafici i nodi delle funzioni e i flessi che non corrispondono ai nodi. 3

4 Esercizio 1.3 atomo di idrogeno: livelli, molteplicità, transizioni Per gli stati con n=1, 2 e 3 dell atomo di idrogeno, trascurando l interazione di spin-orbita,: a) rappresentare schematicamente in scala i livelli energetici in un diagramma simile a quello di figura 3-7 di Alonso, indicando esplicitamente il valore dell energia del livello, b) indicare per ogni stato il valore dei numeri quantici n e l in notazione spettroscopica e la degenerazione g dello stato, c) indicare le transizioni permesse secondo le regole di selezione di dipolo elettrico, d) rifare i diagrammi di cui ai punti b) e c) indicando esplicitamente tutti gli stati degeneri che si differenziano per valori di m l o m s e le transizioni permesse, e) calcolare energia e lunghezza d onda delle righe spettrali. Esercizio 1.4 composizione di momenti angolari, momento angolare totale j Per gli stati con n= 2, l = 1 dell atomo di idrogeno a) calcolare i possibili valori del momento angolare totale j, b) calcolare per ciascuno di essi, la molteplicità o livello di degenerazione g, c) mettere in corrispondenza gli stati nella base n,l,j,m j > con gli stati nella base n,l,m l,m s >, d) scrivere esplicitamente le funzioni d onda espresse nella base n, l, j, m j > in funzione delle funzioni d onda sferiche e stati di spin possibili usando i coefficienti di Clebsch-Gordan. Esercizio 1.5 accoppiamento spin-orbita negli atomi idrogenoidi Per gli stati con l = 1 e 2 dell atomo di idrogeno a) calcolare i possibili valori del momento angolare totale j, b) calcolare, per ogni momento angolare j, la molteplicità o livello di degenerazione g, c) calcolare il valore dell energia di accoppiamento di spin-orbita, d) rappresentare graficamente tutti i livelli energetici per n=1, 2 e 3, includendo l interazione di spin-orbita, e) indicare accanto a ogni livello il nome in notazione spettroscopica, f) indicare le transizioni permesse secondo le regole di selezione di dipolo elettrico, 5 En Z g) utilizzando la relazione ESL 5 10, calcolare le separazioni di spin-orbita per i nl( l + 1) livelli con n=3 ed n=2 dell idrogeno e dell elio ionizzato, h) in base al calcolo precedente, calcolare la separazione fra le energie e lunghezze d onda per le transizioni permesse fra i livelli con n=3 ed n=2 dell idrogeno e dell elio ionizzato,. 2 Esercizio 1.6 atomo di He I seguenti livelli dell atomo di He sono così ordinati secondo l inverso della lunghezza d onda, κ=1/λ, avendo posto κ=0 per lo stato fondamentale 1s 2 1 S: - 1s 1 2s 1 1 S cm -1-1s 1 2s 1 3 S cm -1-1s 1 3s 1 1 S cm -1-1s 1 3s 1 3 S cm -1 a) Da queste informazioni ricavare il valore in ev dell integrale di scambio K nelle configurazioni 1s 1 2s 1 e 1s 1 3s 1 b) Spiegare il significato delle notazioni 1 S e 3 S 4

5 Esercizio 1.7 configurazioni elettroniche Scrivere la configurazione elettronica dell atomo di cadmio sapendo che ha Z=48. Sulla base di tale configurazione, discutere a quale altro atomo il Cd sarà simile. Discutere anche possibili stati eccitati. Esercizio 1.8 atomi alcalini Esercizio 4-27 dell Alonso Esercizio 1.9 spin-orbita in atomi alcalini Esercizio 4-24 dell Alonso Esercizio 1.10 raggi X Esercizio 4-30 dell Alonso 5

6 2. Esercizi di fisica molecolare Esercizio 2.1 molecola ione-idrogeno La molecola ione-idrogeno si forma a una distanza di equilibrio di 1,06 Å con una energia di legame molecolare pari a 2,65 ev. a) discutere tutti i contributi all energia della molecola b) calcolare l energia di repulsione coulombiana fra i due nuclei alla distanza di equilibrio c) calcolare i primi tre livelli energetici rotazionali d) calcolare la lunghezza d onda delle righe spettrali associate alle transizioni permesse fra livelli rotazionali. Esercizio 2.2 molecola CO La molecola CO ( 12 C 16 ) si forma a una distanza di equilibrio di 1,13 Å con una energia di legame molecolare pari a 11 ev e con un valore della costante vibrazionale hν pari a 0,27 ev. a) scrivere le configurazioni elettroniche degli atomi C e O nello stato fondamentale b) scrivere la probabile configurazione elettronica della molecola e giustificare qualitativamente il valore dell energia di legame c) calcolare i primi tre livelli energetici rotazionali d) calcolare la lunghezza d onda delle righe spettrali associate alle transizioni permesse fra livelli rotazionali e) calcolare i primi tre livelli energetici vibrazionali f) calcolare la lunghezza d onda delle righe spettrali associate alle possibili transizioni fra livelli vibrazionali g) calcolare i parametri D e a del potenziale di Morse h) calcolare la costante elastica k dell ipotetico oscillatore armonico molecolare Esercizio 2.3 molecola NaCl La molecola NaCl ( 23 Na 35 Cl) si forma a una distanza di equilibrio di 2,51 Å con una energia di legame molecolare pari a 4,22 ev e con un valore della costante vibrazionale hν pari a 0,27 ev.. L energia di ionizzazione del sodio è pari a 5,14 ev e l affinità elettronica del Cl è pari a 3,62 ev. a) scrivere le configurazioni elettroniche degli atomi Na e Cl nello stato fondamentale b) discutere perché è plausibile ipotizzare un legame molecolare di tipo prevalentemente ionico c) calcolare e rappresentare graficamente, in funzione della distanza interatomica, l energia di attrazione coulombiana fra lo ione Na + e lo ione Cl - d) indicare chiaramente nel grafico i livelli energetici degli gli ioni e degli atomi neutri a distanza infinita e) valutare, alla distanza di equilibrio, il contributo all energia dei termini repulsivi i) calcolare i primi tre livelli energetici vibrazionali j) calcolare la lunghezza d onda delle righe spettrali associate alle possibili transizioni fra livelli vibrazionali f) il cloro ha un isotopo stabile, il 37 Cl. Calcolare lo spostamento sia dei livelli energetici sia delle linee spettrali dell isotopo rispetto a quelli del 35 Cl. 6

7 3. Esercizi su statistiche quantistiche e solidi il forno a microonde La frequenza f di lavoro di un forno a microonde è pari a 2,4 GHz. Il principio di funzionamento è l assorbimento risonante di energia da parte della molecola di acqua a) Calcolate la lunghezza d onda λ e l energia E γ dei fotoni emessi b) Calcolate possibili dimensioni ottimali del forno c) Supponete che il forno lavori a una potenza di 800 W: quanti fotoni sono emessi al secondo? d) Calcolate l intensità dello spettro di corpo nero presente in cavità intorno alla frequenza di lavoro a temperatura ambiente e con forno spento, assumendo che il gas di fotoni sia in equilibrio con le pareti e le molecole di aria. Supponendo che, con forno acceso, vengano emessi fotoni in un intervallo di frequenza di ±10 MHz intorno alla frequenza di lavoro, discutete la situazione che si crea dopo un secondo di accensione a 800 W, nel caso in cui nel forno non ci sia del materiale in grado di assorbire efficacemente la radiazione. e) La molecola di acqua è in grado di assorbire in modo risonante fotoni a 2,4 GHz: spiegate che cosa ciò significa, disegnate graficamente i livelli energetici dell acqua coinvolti nel processo, indicando anche la scala di energia. Descrivete i diversi processi di scambio energetico che possono avvenire e le loro caratteristiche: quali processi dipendono dalla potenza a cui viene fatto lavorare il forno e quindi dalla densità di fotoni presenti? f) Supponete che nel forno ci siano dei cibi che contengono in totale 500 g di acqua. Per quanto tempo deve restare acceso il forno (supponendo che sia impostato a 800 W) perché la temperatura salga da 20 o C a 60 o C? Che cosa occorre perché la temperatura salga effettivamente? g) Supponete che il trasferimento di energia ad altri gradi di libertà non avvenga e che la molecola resti temporaneamente in equilibrio con il gas di fotoni creatosi dopo 1s di funzionamento a 800 W, quale è la temperatura statistica equivalente che misura l equilibrio statistico fra acqua e fotoni in quella situazione? h) Valutate l ordine di grandezza della probabilità di urto per secondo delle molecole di acqua a 300 K. i) Spiegate perché, per ottimizzare il tempo di cottura dei cibi, conviene scegliere una potenza di lavoro proporzionale alla massa di cibo da scaldare. Spiegate anche perché, per scongelare un cibo, occorre operare il forno a una bassa potenza. La variazione di potenza nel forno avviene modificando il duty cycle, cioè il tempo nel quale il forno resta acceso rispetto al tempo in cui resta spento. Per fare ciò si sovrappone all onda a 2,4 GHz un onda rettangolare, come quella della figura, nella quale il tempo t on in cui il livello è alto è un frazione regolabile del periodo t dell onda. Spiegate perché questo modo di lavorare ben si adatta al tipo di funzionamento del forno sopra discusso. t on V o t 0 7

8 3.2 - la resistività del sodio Il sodio metallico ha una densità di circa 2,7 g cm -3, numero di massa 23, energia di Fermi E F di circa 3 ev e temperatura di Debye T D di circa 160 K. La sua resistività, per temperature molto basse e campioni abbastanza puri (frazioni di impurità dell ordine di 10-3 ), tende tipicamente a un valore inferiore a Ωm, mentre, intorno a 300 K, ha una resistività dell ordine di 10-7 Ωm. a) Calcolate la temperatura di Fermi T F b) Calcolate la velocità di Fermi v F e l energia cinetica media allo zero assoluto c) L energia cinetica media sarebbe la stessa a temperatura ambiente? d) Se trattaste il gas di elettroni come un gas classico, quale energia cinetica media otterreste allo zero assoluto? E a temperatura ambiente? e) Calcolate la densità numerica di elettroni liberi presenti nel metallo f) Calcolate la densità numerica degli atomi di sodio presenti nel metallo e quindi il numero medio di elettroni liberi per atomo g) Dalla resistività per T tendente a zero, calcolate il libero cammino medio per urti contro le impurezze presenti nel solido. h) Calcolate la densità numerica di fononi presenti nel metallo intorno alla temperatura di 300 K i) Dal valore della resistività a 300 K, calcolate il libero cammino medio per urti contro i fononi. Confrontate e commentate il rapporto fra i cammini liberi medi per urti contro i fononi e contro le impurezze e il rapporto fra la densità di fononi e di impurezze. 8