PEARSONTEXTBUILDER. Matematica. Angelo Guerraggio Knut Sydsæter Peter Hammond Arne Strøm

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1 Matematica Corso di Laurea Triennale in Economia & Management Prof. Giovanni Puccetti Università degli Studi di Milano Angelo Guerraggio Knut Sydsæter Peter Hammond Arne Strøm MyLab Codice per accedere alla piattaforma PEARSONTEXTBUILDER

2 2018 Pearson Italia, Milano Torino ESTRATTO DAI VOLUMI DI: Knut Sydsæter, Peter Hammond, Arne Strøm, Metodi matematici per l analisi economica e finanziaria Angelo Guerraggio, Matematica per le scienze Per i capitoli tratti dal libro di Sydsæter, Hammond, Strøm (capp. 0, 1, 2, 7, 8, 10, 11, 12, 13): Authorized translation from the English language edition, entitled: Essential Mathematics for Economie Analysis, 4th edition, by Knut Sydsceter & Peter Hammond with Arne Strøm, published by Pearson Education Limited, Copyright Edizione italiana: Knut Sydsæter, Peter Hammond, Arne Strøm, Metodi matematici per l analisi economica e finanziaria, a cura di Davide La Torre, Pearson Italia 2015 Per i capitoli tratti dal libro di Guerraggio (capp. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13): Pearson Italia 2018 Le informazioni contenute in questo libro sono state verificate e documentate con la massima cura possibile. Nessuna responsabilità derivante dal loro utilizzo potrà venire imputata agli Autori, a Pearson Italia S.p.A. o a ogni persona e società coinvolta nella creazione, produzione e distribuzione di questo libro. Per i passi antologici, per le citazioni, per le riproduzioni grafiche, cartografiche e fotografiche appartenenti alla proprietà di terzi, inseriti in quest opera, l editore è a disposizione degli aventi diritto non potuti reperire nonché per eventuali non volute omissioni e/o errori di attribuzione nei riferimenti. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume/fascicolo di periodico dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n Le fotocopie effettuate per finalità di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da CLEARedi, Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali, Corso di Porta Romana 108, Milano, e- mail autorizzazioni@clearedi.org e sito web Realizzazione grafica: Andrea Astolfi Progetto grafico di copertina: Maurizio Garofalo Stampa: Rotomail Italia S.p.A. Vignate (MI) Tutti i marchi citati nel testo sono di proprietà dei loro detentori a edizione: settembre 2018 Printed in Italy Ristampa Anno

3 Sommario Pearson MyLab XV Capitolo 0 Elementi di matematica elementare Numeri reali Potenze con esponente intero Proprietà delle potenze Interesse composto Regole algebriche Espressioni algebriche Fattorizzazione Frazioni Una nota importante Potenze frazionarie Radici n-esime Disuguaglianze Diagrammi del segno Disuguaglianze doppie Intervalli e valori assoluti Valore assoluto Come risolvere semplici equazioni Equazioni parametriche Equazioni di secondo grado Equazioni lineari in due incognite Divisione per zero Simbolo di sommatoria Regole per le sommatorie. Formula binomiale di Newton Alcune utili formule Formula binomiale di Newton Somme doppie 27

4 VI Sommario 0.16 Elementi di logica Proposizioni Implicazioni Condizioni necessarie e sufficienti Dimostrazioni matematiche Ragionamento deduttivo e ragionamento induttivo Elementi di teoria degli insiemi Insiemi definiti mediante le proprietà degli elementi Appartenenza ad un insieme Operazioni insiemistiche Diagrammi di Venn Induzione matematica 34 Capitolo 1 Funzioni di una variabile Introduzione Definizioni di base Notazione funzionale Dominio e insieme immagine Grafici di funzioni Alcuni grafici importanti Funzioni lineari Formule punto-pendenza e punto-punto Soluzioni grafiche di equazioni lineari Disequazioni lineari Modelli lineari Funzioni quadratiche Problemi di ottimizzazione quadratica in economia Polinomi l Polinomi in generale Fattorizzazione di polinomi Divisione tra polinomi Divisione con resto tra polinomi Funzioni razionali Funzioni potenza Grafici di funzioni potenza Funzioni esponenziali Funzione esponenziale naturale 65

5 Sommario VII 1.10 Funzioni logaritmiche Funzione logaritmo naturale Logaritmi con basi diverse da e 69 Capitolo 2 Proprietà delle funzioni Spostare grafici Operazioni tra funzioni Prodotti e quozienti Funzioni composte Simmetria Funzioni inverse Caratterizzazione geometrica delle funzioni inverse Curve nel piano Test della retta verticale Scelta delle unità di misura Funzioni definite a tratti Distanza nel piano. Circonferenze Circonferenze Ellissi ed iperboli Definizione generale di funzione Funzioni inverse 92 Capitolo 3 Le funzioni elementari Funzioni crescenti e decrescenti Funzioni convesse e concave Funzioni pari e dispari Le funzioni lineari Le funzioni quadratiche Le iperboli Le funzioni potenza: quando l esponente è intero (e positivo) Le funzioni potenza: quando l esponente è frazionario (e positivo) La funzione esponenziale 37

6 VIII Sommario 3.10 La funzione logaritmica Le funzioni trigonometriche 46 Riepilogo e verifiche 50 Capitolo 4 Qualche approfondimento. Le funzioni quasi elementari Introduzione Entra in scena l infinito Estremo superiore e inferiore Valore assoluto (o modulo) di un numero reale Gli intorni di un numero reale Funzioni quasi elementari 70 Riepilogo e verifiche 77 Capitolo 5 La definizione di limite Una definizione informale Una definizione unitaria Dal generale al particolare Limite destro e limite sinistro. Limite per difetto e limite per eccesso Limiti di successioni Esistenza e unicità del limite Appendice: le dimostrazioni 92 Riepilogo e verifiche 94 Capitolo 6 Le funzioni continue e il calcolo dei limiti Le funzioni continue Proprietà delle funzioni continue definite su un insieme chiuso e limitato 100

7 Sommario IX 6.3 Il teorema sulle operazioni con i limiti e le forme di indecisione Infiniti e infinitesimi Il simbolo o Appendice: le dimostrazioni 110 Riepilogo e verifiche 112 Capitolo 7 Le derivate Introduzione La definizione di derivata Significato geometrico della derivata Il calcolo delle derivate Derivabilità e continuità Derivate successive Appendice: le dimostrazioni 131 Riepilogo e verifiche 132 Capitolo 8 Le derivate vengono usate per Introduzione I teoremi di Rolle e Lagrange I teoremi di De l Hôpital Il teorema di Taylor Il calcolo dei limiti: le forme di indecisione Ricerca dei punti di massimo e di minimo di una funzione Problemi di ottimo Convessità e concavità di una funzione. Punti di flesso Lo studio di funzione Appendice: le dimostrazioni 170 Riepilogo e verifiche 177

8 X Sommario Capitolo 9 Si torna indietro Le anti-derivate Le anti-derivate immediate Le anti-derivate quasi immediate Le anti-derivate delle funzioni f (x) = P 1 (x)/p 2 (x) Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Appendice: le dimostrazioni 192 Riepilogo e verifiche 194 Capitolo 10 L integrale definito Introduzione La costruzione e la definizione dell integrale definito Le proprietà dell integrale definito Ma quando esiste l integrale definito di una funzione? Il calcolo di un integrale definito Gli integrali generalizzati (o impropri) Appendice: le dimostrazioni 214 Riepilogo e verifiche 217 Capitolo 8 Funzioni di più variabili Funzioni di due variabili Domini Derivate parziali delle funzioni di due variabili Definizione rigorosa di derivata parziale Derivate parziali di ordine superiore al primo Rappresentazione geometrica Grafico di una funzione di due variabili Curve di livello Interpretazione geometrica delle derivate parziali 279

9 Sommario XI 8.4 Superfici e distanza Formula della distanza Funzioni di n variabili Continuità Spazio euclideo n-dimensionale Derivate parziali delle funzioni di n variabili Teorema di Young Definizione rigorosa di derivata parziale Applicazioni economiche Elasticità parziali Due variabili n variabili 291 Capitolo 10 Ottimizzazione in più variabili Due variabili: condizioni necessarie Due variabili: condizioni sufficienti Punti di estremo locale Dimostrazione del test delle derivate parziali del secondo ordine per punti di estremo locale interni Modelli lineari con obiettivi quadratici Teorema dei valori estremi (o di Weierstrass) Calcolo del valore massimo e del valore minimo Tre o più variabili Un risultato utile Statica comparata e teorema dell inviluppo 357 Capitolo 13 Funzioni di due variabili Introduzione Le funzioni continue Le derivate parziali Massimi e minimi liberi Massimi e minimi vincolati 283

10 XII Sommario 13.6 Massimi e minimi in una regione Un introduzione alla programmazione lineare 288 Riepilogo e verifiche 290 Capitolo 11 Ottimizzazione vincolata Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Interpretazione dei moltiplicatori di Lagrange Problemi con più di una soluzione Perché il metodo dei moltiplicatori di Lagrange funziona Spiegazione geometrica Spiegazione analitica Condizioni sufficienti Funzione lagrangiana concava/convessa Condizioni sufficienti locali del secondo ordine Variabili e vincoli supplementari Più vincoli Statica comparata Teorema dell inviluppo Vincoli di disuguaglianza: un caso semplice Perché il procedimento funziona? Più di un vincolo di disuguaglianza Proprietà della funzione valore Vincoli di non negatività 393 Capitolo 12 Algebra lineare: matrici e vettori Sistemi di equazioni lineari Algebra delle matrici Operazioni con le matrici Moltiplicazione tra matrici Sistemi di equazioni lineari e matrici Regole per la moltiplicazione tra matrici Potenze di matrici Matrice identità Errori da evitare 410

11 Sommario XIII 12.5 Matrice trasposta Matrici simmetriche Metodo di eliminazione di Gauss Vettori Operazioni con i vettori Prodotto interno Interpretazione geometrica dei vettori Operazioni con i vettori Spazio euclideo tridimensionale ed n-dimensionale Lunghezza dei vettori e disuguaglianza di Cauchy-Schwarz Ortogonalità Rette e piani Iperpiani 426 Capitolo 13 Algebra lineare: determinante e matrice inversa Determinanti di ordine Interpretazione geometrica Determinanti di ordine Calcolo mediante cofattori o complementi algebrici Interpretazione geometrica Regola di Sarrus Determinanti di ordine n Proprietà dei determinanti Cofattori, o complementi algebrici Calcolo mediante cofattori di linea diversa Matrice inversa Alcune utili conseguenze Proprietà della matrice inversa Risoluzione di sistemi di equazioni lineari con le matrici inverse Formula generale per il calcolo della matrice inversa Calcolo della matrice inversa mediante operazioni elementari sulle righe Regola di Cramer Sistemi omogenei di equazioni lineari Modello di Leontief Generalizzazione del modello di Leontief 456

12 XIV Sommario Capitolo 7 Elementi di matematica finanziaria Periodi di capitalizzazione e tassi di interesse Tasso annuo effettivo di interesse Interesse composto Confrontare diversi periodi di capitalizzazione Valore attuale Serie geometriche finite ed infinite Serie geometriche finite, o progressioni geometriche Seri e geometriche infinite, o serie geometriche Serie Valore attuale e montante di una rendita Valore attuale di un flusso continuo di pagamenti Mutui Depositi durante il periodo di capitalizzazione Tasso interno di rendimento Un occhiata alle equazioni alle differenze Equazioni alle differenze lineari del primo ordine con coefficienti costanti Equilibrio e stabilità 265

13 MyMathLab

14 Bianca esercitati autonomamente accedendo al tuo piano di studi tieni sotto controllo le attività programmate dal tuo docente utilizza i materiali multimediali caricati dal docente a integrazione della didattica visualizza l andamento delle tue attività o consulta il dettaglio analitico dei tuoi risultati controlla gli avvisi del tuo docente