Cinematica 1-dimensionale

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1 Alfonso Monaco Cinematica 1-dimensionale Fisica Medica - CINEMATICA 1D 1

2 MOTO UNIFORME a = 0, v = cost, x = x0 +vt Posizione iniziale Istante iniziale t 0 = 0 v Istante successivo t v x 0 x Fisica con elementi di matematica - CINEMATICA 1D 2

3 Moto Uniformemente Accelerato Moto Uniformemente Accelerato Istante iniziale t 0 = 0 Istante successivo t a = cost. v = v 0 +at x = x 0 +v 0 t+at 2 /2 x 0 v 0 Velocità iniziale Posizione iniziale x v v 2 - v0 2 = 2a(x-x0) 3

4 Qualche consiglio per evitare problemi Capire che tipo di problema avete davanti: moto rettilineo, circolare, se ci sono forze di attrito, se il moto è accelerato o no questo vi permette di capire quali formule dovete usare ;-) Rispondete alle domande UNA ALLA VOLTA Le risposte vanno date in un ordine preciso Dividete quindi il problema in pezzi in base all ordine delle domande 4

5 Una lista con i dati iniziali Portare le unità di misura nel sistema MKS (se non è espressamente chiesto il contrario) Fare un bel disegno esplicativo (non artistico); indicare punti iniziali e finali (se ci sono), le direzioni e i versi delle velocità, accelerazioni e forze se necessario, fate un nuovo disegno per ogni nuovo pezzo del problema Nel disegno fate attenzione ai versi di velocità, accelerazioni e forze 5

6 Poniamo di dover studiare il moto di un automobile che si muove di moto rettilineo. Cominceremo col definire un verso per il moto (ad esempio da sinistra verso destra). Indicheremo ad esempio il punto iniziale (X 0 ), o magari la velocità iniziale (V 0 ), la velocità finale eccetera eccetera In definitiva, cercheremo di indicare ciò che sappiamo, ciò che accade nel moto e ciò che vogliamo scoprire V 0 X 0 6

7 Se vogliamo aggiungere un accelerazione dovremo capire se è diretta in verso positivo (da sinistra a destra) o negativo (da destra a sinistra) Ciò determina se il segno dell accelerazione nelle equazioni è + o (vedremo degli esempi con l accelerazione di gravità) Lo stesso vale per forze, altre velocità ecc Accelerazione < 0 Accelerazione > 0 V 0 X 0 Fisica con elementi di matematica - CINEMATICA 1D 7

8 n Esercizio (traccia) Un automobile viaggia su una strada piana e rettilinea alla velocità costante di 72 km/h. n Ad un certo istante una seconda auto parte da ferma da un punto a 125 metri dietro la prima auto con un accelerazione costante di 2 m/s L istante e la posizione il cui la seconda auto raggiunge la prima 2. L istante e la posizione il cui le velocità sono le stesse 3. Qual è la velocità della seconda macchina quando raggiunge la prima? 8

9 Esercizio (soluzione) n Facciamo un disegno per chiarirci le idee. Auto 2 Auto 1 v 02 v 01 = cost x 02 = 0 m x 01 = 125 m n Strada piana e rettilinea à moto rettilineo n Dati iniziali: Auto 1: vel. iniz. v 01 =72 km/h costante, pos. iniz. x 01 =125 m Auto 2: vel. iniz. v 02 = 0, pos. iniz. x 02 = 0 acc. a 0 =2 m/s 2 costante 9

10 Esercizio (soluzione) n Facciamo un disegno per chiarirci le idee. Auto 2 Auto 1 v 02 v 01 = cost x 02 = 0 m x 01 = 125 m n Strada piana e rettilinea à moto rettilineo n Dati iniziali: Auto 1: vel. iniz. v 01 =72 km/h = 72/3.6 m/s = 20 m/s, pos. iniz. x 01 =125 m Auto 2: vel. iniz. v 02 =0, pos. iniz. x 02 =0 acc. a 0 =2 m/s 2 costante 10

11 Auto 2 Auto 1 v 02 v 01 = cost x 02 = 0 m x 01 = 125 m n Le velocità e l accelerazione sono nel verso positivo dell asse n Leggi orarie: 1. v 1 =costante, x 1 (t)= x 01 +v 1 *t 2. v 2 (t)= v 02 +a 0 *t = a 0 *t 3. x 2 (t)= x 02 +v 02 *t + a 0 *(t) 2 /2 = a 0 *(t) 2 /2 Fisica con elementi di matematica - CINEMATICA 1D 11

12 Qual è la condizione per cui le macchine si incontrano? Devono stare ad un determinato istante di tempo nella medesima posizione rispetto all origine degli assi: x 1 (t)= x 2 (t) x 01 +v 1 *t = a 0 *(t)2 /2 a 0 *(t) 2 /2 - v 1 *t - x 01 = 0 Risolviamo un equazione di secondo grado in t Avremo 2 soluzioni: t 1 = -5 s t 2 = 25 s La posizione in cui si incontrano sarà: x = x 01 + v 1 *t 2 = *20 = 625 m Fisica con elementi di matematica - CINEMATICA 1D 12

13 xhml Esercizio 800 Ê 600 Ê Ê 400 Auto Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Auto 2 HsL t 13

14 Esercizio L istante e la posizione il cui le velocità sono le stesse v 1 = v 2 v 01 = a 0 *t t v = 20/2 s = 10 s x 1 (t v ) = x 01 + v 01 * t v = *10 = 325 m x 2 (t v ) = a 0 *(t v )2 /2 = 100 m 14

15 Esercizio HmêsL v Auto Auto 1 Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê HsL t 15

16 Esercizio (soluzione) Qual è la velocità della seconda macchina quando raggiunge la prima? La seconda auto raggiunge la prima dopo t = 25 s. Quindi: v 2 (25) = a 0 *t = 50 m/s Fisica con elementi di matematica - CINEMATICA 1D 16

17 Esercizio (Traccia) Un uomo di 70.0 kg salta da una finestra nella rete dei vigili del fuoco tesa a 11.0 m più in basso. 1. Calcolare la velocità dell uomo quando tocca la rete. 17

18 Esercizio (soluzione) Moto in caduta libera dell uomo per 11.0 m, con velocità iniziale pari a zero; Importante: MOTO IN CADUTA LIBERA SIGNIFICA CHE C E ACCELERAZIONE DI GRAVITA g = 9.8 m/s 2, DIRETTA VERSO IL BASSO. 18

19 SOLUZIONE v 0 = 0 h 0 = 11 m g = 9.8 m/s Caduta libera: Moto rettilineo unif. accelerato h 0 g 0 19

20 SOLUZIONE Caduta libera: Moto rettilineo unif. accelerato y = y 0 + v 0 t + at 2 / 2= h 0 g*t 2 / 2à h 0 g 0 20

21 SOLUZIONE Caduta libera: Moto rettilineo unif. Accelerato Per conoscere la velocità a terra devo conoscere il tempo che il corpo impiega per arrivare nella posizione 0 Condizione: y(t) = 0 h 0 g*t 2 /2 = 0 t = (2*h 0 /g) 1/2 = 1.5 s 21

22 SOLUZIONE v = - gt = - 9,8* 1.5 = m/s g v = -gt = 9,8* 1.5 = m/s v 22

23 Esercizio (traccia) n Un treno transita alle 15,28 nella stazione A alla velocità v A = 60 km/h e deve raggiungere la stazione B distante s = 20 km da A alle 15,43 1. Quale accelerazione deve dare il macchinista per poter raggiungere B in perfetto orario? 2. Con quale velocità v 2 passerà il treno nella stazione B? 3. Se in B il macchinista trova il segnale rosso di arresto, in quanto tempo può far fermare il treno applicando una decelerazione di modulo 3 m/s 2? 23

24 Esercizio (soluzione) n Dati iniziali: Istante iniziale t 1 = 15 h 28 min, istante finale t 2 = 15 h 43 min Δt = 15 min = 900 s velocità. iniz. v A = 60 km/h = 16.7 m/s distanza fra A e B s = 20 km = m a A B v A v B 0 20 km x 24

25 Quale accelerazione deve dare il macchinista per poter raggiungere B in perfetto orario? Nel moto uniformemente accelerato abbiamo: x (t) = v A *t + a *(t) 2 /2 (la posizione iniziale è la stazione A ed è posta = 0) In questo caso considerando che il treno impiega Δt = 900 s per andare da A a B otteniamo x (Δt) = v A *Δt + a *(Δt) 2 /2 à s = v A *Δt + a *(Δt) 2 /2 a = 2 *(x v A *Δt)/Δt 2 = 2 *( *900)/(900) 2 m/s 2 = m/s 2 25

26 Esercizio (soluzione) Con quale velocità v 2 passerà il treno nella stazione B? Nel moto uniformemente accelerato abbiamo: v B = v A + a*(δt) = m/s A a B v A v B 0 20 km 26

27 n Se in B il macchinista trova il segnale rosso di arresto, in quanto tempo può far fermare il treno applicando una decelerazione in modulo di 3 m/s 2? d = 3 m/s 2 d A B v B C 0 27

28 Siccome sappiamo che alla fine la sua velocità sarà pari a 0 (il treno si ferma!!!) possiamo scrivere 0 = v 2 - d*t t = v 2 /d = 27.77/3 s = 9.26 s d A B v B C 0 28

29 Esercizio (traccia) n Un prestigiatore si esibisce in una stanza il cui soffitto si trova a 2.70 m al di sopra delle sue mani. Egli lancia una palla verticalmente verso l alto in modo che essa raggiunga esattamente il soffitto prima di fermarsi. Calcolare: 1. La velocità iniziale con cui viene lanciata la palla. 2. Il tempo necessario affinché essa raggiunga il soffitto. 29

30 n Dati iniziali: Esercizio (soluzione) Altezza soffitto h = 2.7 m Pongo l origine degli assi (e quindi la quota 0 di y) all altezza delle mani del prestigiatore y h g v0 0 30

31 Esercizio (soluzione) Velocità iniziale con cui viene lanciata la palla? Consideriamo le equazioni del moto rettilineo unif. accelerato applicate al nostro caso: h = v 0 *t g*t 2 /2 0 = v 0 g*t h v0 g 0 Abbiamo 2 equazioni in 2 incognite, risolviamo il sistema: 31

32 Esercizio (soluzione) n Dalla seconda otteniamo t = v 0 /g ; sostituita nella prima otteniamo: h = v 0* (v 0 /g ) - g*(v 0 /g ) 2 /2 = v 02 /g - v 02 /(2g) = v 02 /(2g) e quindi: v 0 2 = 2 g*h = 2 x (9.8) x 2.7 = (m/s) 2 da cui v 0 = 7.27 m/s 32

33 Esercizio (soluzione) Il tempo necessario affinché essa raggiunga il soffitto? Ora possiamo rispondere anche alla seconda domanda riutilizzando la formula trovata prima: n t = v 0 /g = 7.27/9.8 = 0.74 s 33

34 Esercizio (traccia) In una gara di corsa sui 100 m, un atleta taglia il traguardo con un tempo di 10.2 sec. Il corridore raggiunge la sua velocità massima dopo 2 sec, con una accelerazione costante. Una volta raggiunta la velocità massima, la mantiene sino all arrivo. Calcolare: l accelerazione; la velocità massima raggiunta. 34

35 Esercizio (soluzione) n Dati iniziali: Tempo totale T = 10.2 s, L atleta raggiunge v max dopo t 1 = 2 s Spazio totale percorso s = 100 m a 0 m 100 m 35

36 Esercizio (soluzione) a 0 m 100 m Possiamo dividere il problema in due fasi: L atleta raggiunge la velocità massima da fermo (moto uniformemente accelerato per t 1 = 2 s) L atleta continua la corsa con velocità costante (moto rettilineo uniforme per t 2 = = 8.2 s) 36

37 Accelerazione primo tratto? Esercizio (soluzione) Nella prima fase abbiamo x = a*t 2 /2, v = a*t (parte dall origine e da fermo) Dopo t 1 = 2 s (alla fine del tratto rettilineo unif. accelerato) avrà compiuto uno spazio x 1 = 2*a e avrà raggiunto la velocità di v 1 = 2*a Nella seconda fase l atleta si muoverà di moto rettilineo unif. per t 3 = 8.2 s partendo da x 1 e mantenendo costante la velocità v 1 : x = x 1 + v 1 * t 3 Considerando x = 100 m otteniamo: 2*a+ 2*a *(8.2) = 100 m a = 5.44 m/s 2 37

38 Esercizio (soluzione) Velocità massima =? v 1 = a*t 1 = 5.44 * 2 m/s = m/s 38

39 Esercizio (traccia) Un aereo atterra ad una velocità v 0 = 100 m/s e per per fermarsi può decelerare al massimo di 5 m/s 2 in modulo. 1. Dall istante in cui l aereo tocca terra qual è l intervallo minimo necessario per fermarsi? 2. L aereo può atterrare su una pista di 800 m? 39

40 Soluzione Dati: v 0 = 100 m/s a = 5 m/s 2 Considero come origine il punto in cui l aero atterra v 0 a 0 40

41 Soluzione Tempo necessario affinché l aero si fermi? Moto rettilineo unif. accelerato Condizione affinché l aero si fermi è che la velocità finale sia zero v = v 0 a*t = 0 t = 100/5 = 20 s v 0 a 0 41

42 Soluzione L aereo può atterrare su una pista di 800 m? Per sapere se l aero atterra in 800 m calcoliamo lo spazio necessario all aero per fermarsi e lo confrontiamo con 800 m Il moto come sappiamo e rettilineo unif. accelerato uso la formula: v f 2 v 0 2 = 2*a*(x f x 0 ) Chiamando (x f x 0 ) = Δx Otteniamo: Δx = 1000 m > 800 m Quindi l aero non riuscirà ad atterrare su una pista di 800 m 42