Elaborazione numerica. Teoria dei segnali

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Elaborazione numerica. Teoria dei segnali"

Transcript

1 Elaborazione numerica e Teoria dei segnali Raccolta di Esercizi Fiandrino Claudio agosto 00

2 II

3 Indice I Teoria dei segnali 5 Esercizi di base 7. Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Energia e Potenza 3. Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Sistemi lineari 9 3. Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizi segnali a potenza media finita Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizi sul campionamento Esercizio Esercizio III

4 IV INDICE 5.3 Esercizio Esercizio Esercizio Esercizi sui processi casuali Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio II Elaborazione numerica dei segnali 63 7 Esercizi di base Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Sistemi lineari e DTFT Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Sistemi lineari e trasformate Z Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio III Temi d esame 89 0 Temi di Elaborazione numerica Tema Tema

5 INDICE V Temi accorpati 05. Tema Tema Tema Tema

6 VI INDICE

7 Dedicato a Valentina G. perchè guardando i suoi dolci occhi non si può non essere felici!!!

8 INDICE

9 Prefazione La raccolta di esercizi è suddivisa in tre parti: Teoria dei segnali (trattazione dei segnali a tempo continuo), Elaborazione numerica dei segnali (trattazione dei segnali a tempo discreto) e una terza parte dedicata alla risoluzione di temi d esame. Sono presenti:. 3 esercizi di Teoria dei segnali;. 5 esercizi di Elaborazione numerica dei segnali;. 6 tracce di temi d esame. Per la segnalazione di errori potete contattarmi all indirizzo claudio La raccolta è reperibile sul sito: Questa seconda pubblicazione corregge alcune sviste e uniforma lo stile simbologico. 3

10 4 INDICE

11 Parte I Teoria dei segnali 5

12

13 Capitolo Esercizi di base. Esercizio Testo Dato il segnale x(t) = a(t)cos (πf 0 t) con:. a(t) segnale a energia finita;. A(f) = 0 per f > f 0. Il segnale y(t) ha lo spettro legato a x(t) dalla seguente relazione: Y (f) = X(f) U(f) dove U(f) è un gradino nel dominio delle frequenze. Si determini y(t). Risoluzione Graficamente il segnale a(t) può avere lo spettro: A(f) f 0 / f 0 / f Con questa supposizione il segnale X(f) sarà: 7

14 8 CAPITOLO. Esercizi di base X(f) f 0 f 0 f In quanto analiticamente: X(f) = F{x(t)} = F{a(t)cos (πf 0 t)} = A(f) [δ (f f 0) + δ (f + f 0 )] = [A(f f 0) + A(f + f 0 )] A questo punto è possibile esprimere Y (f): Y (f) = X(f) U(f) = [A(f f 0)] L operatore gradino elimina le frequenze negative; graficamente: Y (f) f 0 f 0 f Y (f) f 0 f Per ottenere y(t) è necessario antitrasformare: { } y(t) = F {Y (f)} = F [A(f f 0)] = a(t)e+jπf 0t Con la formula di Eulero si può esprimere l esponenziale complesso come: e +jπf0t = cos (πf 0 t) + j sin(πf 0 t) Quindi: y(t) = a(t)[cos (πf 0t) + j sin (πf 0 t)]

15 .. Esercizio 9. Esercizio Testo Dato il segnale x(t) a energia finita, con spettro nullo per f > B e il segnale y(t) = x(t/) si determini la banda di quest ultimo. Risoluzione Graficamente si può rappresentare lo spettro di x(t) come: X(f) B B f Per rappresentare invece lo spettro di y(t) è necessario prima calcolarne Y (f): Graficamente: Y (f) = F{y(t)} = X f = X(f) X(f) B/ B/ f La banda di Y (f) è minore della banda di X(f). Una dilatazione nella scala dei tempi infatti, causa un rallentamento del segnale nel dominio delle frequenze..3 Esercizio 3 Testo Calcolare la trasformata di Fourier del segnale: x(t) = a + jπ(t t 0 )

16 0 CAPITOLO. Esercizi di base Risoluzione Inanzi tutto occorre esprimere il segnale esplicitando un π invece di π; per cui: x(t) = ( ) t t0 a + jπ Utilizzando la trasformata notevole: F { e at u(t) } = a + jπf e applicando i teoremi di dualità (tempo-frequenza), cambiamento di scala e ritardo, si ottiene: ( ) X(f) = e +af u( f) e jπft 0.4 Esercizio 4 Testo Si consideri il segnale x(t) il cui spettro risulta essere: X(f) = cos(πf) p (f) dove p (f) è la funzione porta di durata Se, partendo da x(t) si costruiscono: y(t) = x(t) [ e jπt] z(t) = y(t) + n= e ampiezza unitaria. δ (t n) Si chiede di determinare l espressione analitica di z(t). Risoluzione E necessario ricavare l espressione di Y (f): y(t) = x(t) x(t)e jπt Y (f) = F{y(t)} = F { x(t) x(t)e jπt} = X(f) X ( f ) Teorema del cambiamento di scala Teorema di dualità Teorema del ritardo

17 .4. Esercizio 4 Si può quindi ricavare Z(f) perchè: z(t) = y(t) + n= Z(f) = Y (f) F = + n= δ (t n) { + } δ (t n) = Y (f) + n= n= Y (f n) δ (t n) Poichè X(f) è un coseno anche Z(f) analiticamente è: Z(f) = cos(πf) Quindi si esprime z(t) antitrasformando Z(f): z(t) = F {Z(f)} = F {cos(πf)} = [δ (t ) + δ (t + )]

18 CAPITOLO. Esercizi di base

19 Capitolo Energia e Potenza. Esercizio Testo Dato x(t) = Ae t/τ per (0 t + ) calcolarne l energia E x. Risoluzione Il segnale ha la seguente rappresentazione: x(t) A t Per definizione: Quindi: + E = b a x(t) dt E x = Ae t/τ + dt = A e t/τ dt = A 0 0 = A e t/τ + = 0 A t/τ t/τ e t/τ dt = 3

20 4 CAPITOLO. Energia e Potenza. Esercizio Testo Dato x(t) = e kt cos (πf 0 t) per (0 t + ) con k > 0, calcolarne l energia E x. Risoluzione Questo segnale ha la seguente rappresentazione: x(t) t Si opera come nel caso precedente: + E x = e kt cos (πf 0 t) dt = e kt cos (πf 0 t)dt = Poichè: cos (πf 0 t) = + cos(4πf 0t) Si ha sostituendo: = + 0 e kt [ + cos(4πf 0 t)]dt = Si può spezzare l integrale in due parti: = + Risolviamo il primo termine: e kt dt e kt dt = e kt k 0 e kt + e kt cos(4πf 0 t)dt = e kt cos(4πf 0 t)dt + 0 = 0 4k La seconda parte è più complessa; si sviluppa il coseno con la formula di Eulero: + ( e e kt +j4πf 0 t + e j4πf ) 0t dt = (.) = e (k j4πf 0t) dt e (k+j4πf 0t) dt (.)

21 .3. Esercizio 3 5 Per chiarezza definiamo: Risolviamo: = 4 = = 4 = e (k j4πf 0t) dt e (k+j4πf 0t) dt e (k j4πf0t) dt = e (k j4πf 0t) (k j4πf 0 ) e (k+j4πf0t) dt = e (k+j4πf 0t) (k + j4πf 0 ) Quindi la (.) risulta essere: = [( 4 (k j4πf 0 t) [ ] k 4(k + 4π f0 ) ) ( + (k + j4πf 0 t) A questo punto si può esprimere l energia: )] E x = [ ] 4k + k 4(k + 4π f0 ) ( = 0 ( = 0 ) (k j4πf 0 t) ) (k + j4πf 0 t) = [ ] 4 k (k + 4π f0 ) =.3 Esercizio 3 Testo Dato: x(t) T T t Calcolare l energia E x.

22 6 CAPITOLO. Energia e Potenza Risoluzione Per risolvere l esercizio occorre definire questa funzione per parti: ( 0 t < ( T) t ) + T < t < 0 T x(t) = ( t ) 0 < t < T T 0 t > T Quindi per determinare l energia occorre calcolare l integrale: E x = T T x(t) dt Ma, il segnale fra T/T è pari per cui è sufficiente: T E x = = = 0 T 0 T 0 = T + T x(t) dt = ( + t T t T dt + T ( T T 3 3 ) T 0 ( 0 ) dt = t T ) + t dt 4 T T 0 ) ( 4 T T = 3 T dt t dt =.4 Esercizio 4 Testo Dato: x(t) = + A p (t nt) Calcolare la potenza P x. Risoluzione Il segnale x(t) è un onda quadra di ampiezza A:

23 .5. Esercizio 5 7 x(t) A t A T/ T Per definizione: Quindi applicando la definizione: T/ P = lim x(t) dt t + T T/ T/ P x = lim A T A dt = lim t + T T/ t + T = A.5 Esercizio 5 Testo Calcolare la potenza media del segnale x(t) = Acos (πf 0 t) definito su ( < t < + ). Risoluzione Il segnale è un coseno di ampiezza A con periodo T = f 0. Applicando la definizione: T P x = lim t + T = lim t + A T A = lim t + T A = lim t + T = lim t + 0 T Acos (πf 0 t) dt = lim t cos(4πf 0t)dt = ( T T ) 0 dt + cos(4πf 0 t)dt = 0 ( T ) dt A ( T + lim t + T A t T 0 T 0 = A 0 T A cos (πf 0 t)dt = T 0 ) cos(4πf 0 t)dt =

24 8 CAPITOLO. Energia e Potenza Il contributo dell integrale del coseno è nullo perchè un coseno integrato nel suo periodo ha area nulla..6 Esercizio 6 Testo Dato x(t) segnale reale a potenza media finita e z(t) = A e jπ[t+kx(t)] definito su ( < t < + ) con k 0, calcolare:. l energia del segnale z(t);. la potenza media del segnale z(t). Risoluzione Primo quesito Applicando la definizione: E z = + z(t) dt = Secondo quesito + A e jπ[t+kx(t)] + dt = A dt = diverge Sempre applicando la definizione di potenza media su un periodo arbitrario a: P z = lim a + a = lim a + a +a a +a a z(t) dt = lim a + a +a a A dt = lim a + A = A A e jπ[t+kx(t)] dt = Il modulo di un esponenziale complesso è pari a quindi sparisce nei due integrali.

25 Capitolo 3 Sistemi lineari 3. Esercizio Testo Dato il seguente sistema lineare tempo invariante: x(t) h(t) y(t) determinare l uscita y(t) quando l ingresso vale x(t) = A h(t) dove il segnale h(t) ha forma: h(t) T t Risoluzione Inanzi tutto è facile osservare che x(t) risulta essere il seguente segnale nel dominio temporale: 9

26 0 CAPITOLO 3. Sistemi lineari x(t) A T t L uscita del sistema nel dominio temporale è: y(t) = x(t) h(t) Anzichè calcolare l integrale di convoluzione è più semplice passare nel dominio delle frequenze: Y (f) = X(f) H(f) Poichè X(f) = A H(f), il segnale Y (f) sarà semplicemente: Y (f) = A H(f) H(f) La F { p ( t T )} sin(πft) = e jπf T quindi: πf [ ] sin(πft) Y (f) = A e jπf T = A sin (πft) πf (πf) e jπft Si può ricavare y(t) con l antitrasformata di Fourier di Y (f): ( ) t T y(t) = F {Y (f)} = A tri T Infatti:. la costante A non crea problemi;. sin (πft) (πf) è la funzione triangolo: tri ( t T ) ;. e jπft è un ritardo di T sul triangolo. 3. Esercizio Testo Dato in ingresso ad un sistema LTI x(t) = sin (πf 0 t) e sapendo che la risposta all impulso è rettangolare, causale, di ampiezza unitaria e durata T si calcoli per quali valori di f 0 l uscita è nulla.

27 3.. Esercizio Risoluzione La rappresentazione grafica del sistema è la seguente: x(t) h(t) y(t) La forma del segnale della risposta all impulso h(t) è: h(t) T t Come nell esercizio precedente la soluzione nel dominio del tempo è: Nel dominio delle frequenze: dove: y(t) = x(t) h(t) Y (f) = X(f) H(f). F{x(t)} = F{sin(πf 0 t)} = j [δ (f f 0) δ (f + f 0 )]; { (. F{h(t)} = F p t T )} = sin(πft) e jπf T. πf Quindi: ( sin(πft) Y (f) = πf e jπf T ) j [δ (f f 0) δ (f + f 0 )] Il segnale Y (f) si annulla quando le δ sono centrate negli zeri della funzione sinc: f 0 = k T, k N

28 CAPITOLO 3. Sistemi lineari 3.3 Esercizio 3 Testo Dato il seguente sistema: x(t)cos (πf 0 t) z(t) h(t) y(t) cos (πf 0 t + φ) in cui. f 0 e φ sono costanti;. x(t) è strettamente limitato in banda: X(f) = 0 f > B. la risposta all impulso del filtro ha la seguente forma: H(f) B B f Supponendo f 0 = 0B si richiede di:. ricavare un espressione analitica per y(t);. trovare un valore di φ affinchè y(t) = 0 t. Risoluzione Primo quesito Per prima cosa è necessario ricavare l espressione di z(t): z(t) = x(t)cos (πf 0 t) cos (πf 0 t + φ) Secondo la regola: cos(α)cos(β) = [cos(α β) + cos(α + β)]

29 3.3. Esercizio 3 3 Quindi: z(t) = x(t) [cos(φ) + cos(4πf 0t + φ)] = x(t) [ ( cos(φ) + cos [4πf 0 t + φ )]] (3.) 4πf 0 Si determina Z(f) con F{z(t)}: Z(f) = cos(φ) X(f) + X(f) [δ (f f 0) + δ (f + f 0 )] e +jπf φ 0 4πf 0 = cos(φ) [ X(f f0 ) X(f) + + X(f + f ] 0) 4 4 (3.) Spiegazioni sulla trasformata di Fourier:. le delta sono centrate in (f f 0 ) e (f + f 0 ) perchè il coseno nella (3.) ha 4π anzichè π;. il termine (3.). ( t + φ 4πf 0 ) della (3.) origina il ritardo e +jπf 0 4πf 0 della φ Il segnale Z(f) ha forma: Z(f) 0B B B 0B f L uscita del sistema si calcola, come sempre: Y (f) = Z(f) H(f) Moltiplicare Z(f) con H(f) vuol dire filtrare Z(f) tagliando le immagini alle frequenze 0B e 0B. Graficamente si ottiene:

30 4 CAPITOLO 3. Sistemi lineari Z(f) H(f) 0B B B 0B f Y (f) B B f Analiticamente invece: Y (f) = cos(φ) X(f) Secondo quesito Occorre determinare l uscita nel dominio temporale: y(t) = F {Y (f)} = cos(φ) La fase φ affinchè y(t) = 0 deve essere: x(t) cos(φ) = 0 = φ = (k + ) π 3.4 Esercizio 4 Testo ( ) πt Il segnale x(t) = sin è posto all ingresso di un sistema lineare, T casuale e con risposta all impulso rettangolare di ampiezza e durata T/. Calcolare il segnale di uscita y(t). Risoluzione Il sistema è: x(t) h(t) y(t)

31 3.4. Esercizio 4 5 dove la forma della risposta all impulso h(t), per soddisfare i requisiti del testo, deve essere: h(t) T/ t In quanto analiticamente: h(t) = p ( t T ) 4 Mediante la formula notevole: si può esprimere l ingresso: x(t) = sin (α) = cos(α) [ cos ( )] ( ) πt πt = cos T T Lo spettro di x(t) é: { ( )} πt X(f) = F{x(t)} = F cos T = δ(f) [ ( δ f ) ( + δ f + )] T T Mentre lo spettro di h(t) é: H(f) = sin ( πf T πf Quindi l uscita del sistema si esprime: ) e jπf T 4 Y (f) = X(f) H(f) = H(0)δ (f) ( H T ( H ) ( δ f + ) T T Occorre ricavare analiticamente i termini H(0), H ) ( δ f ) T ( ) (, H ) : T T

32 6 CAPITOLO 3. Sistemi lineari. H(0) = T ;. H. H ( ) T ( ) T = sin ( π T π T ) T = sin ( π T π T e jπ T ) T e jπ T T 4 = j T π ; T 4 = j T. Quindi: Y (f) = T δ(f) + j T π [ ( δ f ) ( δ f + )] T T Si ottiene il segnale nel dominio del tempo antitrasformando: { T y(t) = F {Y (f)} = F δ(f) + j T π = T T ( ) πt π sin T [ ( δ f ) ( δ f + )]} = T T 3.5 Esercizio 5 Testo Dato il sistema: x(t) h (t) z (t) y(t) + y(t)dt ς z (t) h (t) In cui:. x(t) è una porta casuale di durata T e ampiezza unitaria;. H (f) = e jπft ;. H (f) = e jπfα. Si chiede di determinare α per cui ς sia massima.

33 3.5. Esercizio 5 7 Risoluzione Graficamente il segnale x(t) ha forma: x(t) T t Determiniamo analiticamente i due segnali z (t) e z (t): z (t) = x(t) h (t) = x(t T) z (t) = x(t) h (t) = x(t α) Quindi il segnale y(t) risulta essere: y(t) = z (t) z (t) = x(t T) x(t α) Questo è il segnale posto in ingresso all integratore; l uscita ς viene dunque così determinata: ς = Graficamente: x(t T) + y(t)dt = + x(t T) x(t α)dt x(t α) T T t α t Dove α è un parametro variabile. Si osserva immediatamente che per avere ς massima è necessario che: In questo modo si ha: x(t T) α = T T T t

34 8 CAPITOLO 3. Sistemi lineari 3.6 Esercizio 6 Testo Dato il sistema: x(t) a(t) T y(t) s(t) h(t) z(t) A Sapendo che:. T è un ritardatore;. A è una costante positiva;. h(t) = t z(θ)dθ; Si richiede di:. determinare un espressione analitica per y(t);. studiare le proprietà di linearità e invarianza del sistema. Risoluzione Primo quesito Determiniamo per punti le varie espressioni dei segnali indicati in figura:. a(t) = x(t) s(t);. y(t) = a(t T);. z(t) = Ay(t);. s(t) = t z(θ)dθ. Quindi componendo i vari punti si ottiene: Secondo quesito t T y(t) = x(t T) A y(θ) dθ Linearità La proprietà di linearità è verificata in quanto i moduli introdotti (sommatore, ritardatore,moltiplicatore e integratore) sono lineari.

35 3.7. Esercizio 7 9 Invarianza La proprietà di invarianza è verificata per i moduli di sommatore, ritardatore e moltiplicatore: essi sono per definizione tempoinvarianti. Occorre però verificare che venga mantenuta anche per il modulo integratore. x(t) x(t θ) y(t) y θ (t) Inizialmente si ritarda l ingresso: s T (t) = Effettuando un cambio di variabili: Se: Si ottiene quindi: t z(θ T)dθ u = θ T = dθ = du θ = t = u = t T θ ( ) = u ( ) s T (t) = t T z(u) du Se questo risultato è uguale a quello che si ottiene ritardando l uscita il sistema è tempo-invariante: s T (t T) = t T z(θ) dθ Le due espressioni sono simili, a parte un cambiamento di variabili, quindi il sistema è tempo-invariante. 3.7 Esercizio 7 Testo Determinare le proprietà di linearità e tempo-invarianza per il sistema: y(t) = x(t) cos(t)

36 30 CAPITOLO 3. Sistemi lineari Risoluzione Linearità Il sistema è lineare se:. è possibile l ingresso come somma di effetti x(t) = a[x (t)] + b[x (t)];. l uscita è vista come trasformazione compiuta sull ingresso y(t) = T r {x(t)} allora: y(t) = T r {x(t)} = T r {a[x (t)] + b[x (t)]} = T r {a[x (t)]} + T r {b[x (t)]} è equivalente a: y(t) = a[y (t)] + b[y (t)] Per il nostro sistema: y(t) = x(t)cos(t) = T r {a[x (t)cos(t)] + b[x (t)cos(t)]} = T r {a[x (t)cos(t)]} + T r {b[x (t)cos(t)]} = a[y (t)cos(t)] + b[y (t)cos(t)] Quindi il sistema è lineare. Invarianza Il sistema è tempo invariante se: T r {x(t t 0 )} = y(t t 0 ) Applicando al nostro problema, ritardando l ingresso si ottiene: T r {x(t t 0 )} = x(t t 0 )cos(t) Quando invece si ritarda l uscita: y(t t 0 ) = x(t t 0 )cos(t t 0 ) Le due espressioni sono diverse; segue che il sistema non è tempo-invariante.

37 3.8. Esercizio Esercizio 8 Testo Dato il seguente sistema: x(t) a(t) y(t) /4 c(t) T b(t) dove T è un modulo ritardatore. Si chiede di:. determinare un espressione analitica per y(t);. determinare un espressione analitica per la funzione di trasferimento complessiva del sistema. Risoluzione Primo quesito Deteminiamo i vari punti:. a(t) = 4 x(t);. c(t) = a(t) + y(t);. b(t) = c(t T);. y(t) = a(t) + b(t). Globalmente si ha: y(t) = 4 x(t) + x(t T) + y(t T) 4 Secondo quesito Per ottenere la funzione di trasferimento è necessario passare nel dominio delle frequenze: { Y (f) = F{y(t)} = F 4 x(t) + } x(t T) + y(t T) = 4 = 4 X(f) + 4 X(f)e jπft + Y (f)e jπft

38 3 CAPITOLO 3. Sistemi lineari A questo punto si mettono in evidenza i termini legati all uscita a primo membro e quelli legati all ingresso a secondo membro: [ Y (f) e jπft] [ = X(f) 4 + ] 4 e jπft La funzione di trasferimento è definita: Quindi, nel nostro caso: H(f) = H(f) = Y (f) X(f) 4 [ + e jπft] e jπft

39 Capitolo 4 Esercizi segnali a potenza media finita 4. Esercizio Testo Dato il sistema: x(t) H(f) z(t) e jπf 0t y (t) y (t) A e jπf 0t Sapendo che:. x(t) = δ (t);. H(f) = Si richiede di: + jπf.. calcolare l energia e la potenza media per i segnali y (t) e y (t);. calcolare (qualora esistano) gli spettri di energia di y (t) e y (t); 3. verificare le proprietà di linearità e tempo-invarianza nel ramo del sistema tratteggiato in rosso. 33

40 34 CAPITOLO 4. Esercizi segnali a potenza media finita Risoluzione Primo quesito Come primo passaggio calcoliamo il valore della risposta all impulso: { } h(t) = F {H(f)} = F = e t u(t) + jπf Il segnale z(t) quindi risulta essere: z(t) = x(t) h(t) = δ (t) e t u(t) = e t u(t) Determiniamo ora per i due rami le espressioni dei segnali y (t) e y (t): y (t) = e t u(t)e jπf 0t y (t) = [A + z(t)]e jπf 0t = [A + e t u(t)]e jπf 0t Calcoliamo per y (t) energia e potenza: E y = = y (t) dt = + e t dt = + e t = e t u(t)e jπf0t (t) dt = e t e jπf 0t dt Il segnale y (t) è dunque un segnale a energia finita; la sua potenza media, per questo motivo, sarà nulla. Infatti: T/ P y = lim y (t) T/ dt = lim e t u(t)e jπf0t (t) dt = 0 T + T T/ T + T T/ Calcoliamo ora per il segnale y (t) energia e potenza: E y = = y (t) dt = + [A + e t u(t)]e jπf 0t dt = [A + z(t)]e jπf 0t dt = + 0 [A + e t u(t)] dt Questo integrale diverge perchè la costante A integrata su tutto l asse causa divergenza.

41 4.. Esercizio 35 Per quanto riguarda la potenza: T/ P y = lim T + T = lim T + T = lim T + T = lim T + T = lim T + T T/ T/ T/ T/ T/ T T { T y (t) dt = lim T + T [A + e t u(t)]e jπf 0t T [A + e t u(t)] dt = T/ T/ dt = [A + Ae t u(t) + e t u(t)]dt = T A dt + T T T Ae t u(t)dt + { T } = lim T A + A e t dt + e t dt = T + T 0 0 { = lim T A A(e T ) } T + T (e T ) = = lim {T A Ae T + A e T + } = T + T { = lim A A ( e T + ) ( e T )} = A T + T 4T [A + z(t)]e jπf 0t dt = T } e t u(t)dt = Il secondo e terzo termine tendono a zero. Secondo quesito Lo spettro di energia del segnale y (t) si determina nel seguente modo: Calcoliamo quindi Y (f): S y (f) = Y (f) { } Y (f) = F{y (t)} = F e t u(t)e jπf 0t = Elevando a quadrato si ottiene: ( ) S y (f) = [Y (f)] = = + jπ(f f 0 ) + jπ(f f 0 ) Per quando riguarda lo spettro di energia del segnale y (t): E y + = S y (f) + 4π (f f 0 )

42 36 CAPITOLO 4. Esercizi segnali a potenza media finita Terzo quesito Graficamente il sistema da considerare è formato da: z(t) y(t) A e jπf 0t Analiticamente: y(t) = [A + z(t)]e jπf 0t Linearità Verfichiamo che sia soddisfatta come nell esericizio 7 del capitolo 3. T r {a[z (t)] + b[z (t)]} = [A + a[z (t)] + b[z (t)]] e jπf 0t at r {z (t)} = a[a + [z (t)]] e jπf 0t bt r {z (t)} = b[a + [z (t)]] e jπf 0t Il sistema non è lineare perchè: T r {a[z (t)] + b[z (t)]} at r {z (t)} + bt r {z (t)} Tempo-invarianza Anche in questo caso seguiamo lo stesso procedimento dell esercizio 7 capitolo 3. Ritardando l ingresso si ottiene: T r {x(t t 0 )} = [A + z(t t 0 )]e jπf 0t Effettuando la medesima operazione sull uscita: y(t t 0 ) = [A + z(t t 0 )]e jπf 0t t 0 Poichè le due espressioni sono diverse il sistema considerato non è tempoinvariante. Il sistema dunque è non lineare e tempo-variante.

43 4.. Esercizio Esercizio Testo Dato il segnale x(t) periodico di periodo T: x(t) T T/ 0 T/ T 3T/ t Il segnale viene posto all ingresso di un filtro con risposta all impulso h(t) rettangolare, causale, di ampiezza unitaria e durata T. Si chiede di calcolare:. lo spettro di potenza del segnale filtrato y(t);. la potenza media del segnale filtrato y(t); 3. un espressione analitica per y(t). Risoluzione Primo quesito La risposta all impulso del sistema ha forma: h(t) T t Inoltre il sistema può essere caratterizzato nel seguente modo: x(t) h(t) y(t) Lo spettro di potenza del segnale y(t), per definizione, è: G y (f) = G x (f) H(f)

44 38 CAPITOLO 4. Esercizi segnali a potenza media finita Determiniamo immediatamente l espressione della funzione di trasferimento: H(f) = sin(πft) e jπf T πf Per definizione, lo spettro di potenza di un segnale si caratterizza con: G x (f) = + n= µ n δ (f nf 0 ) dove i vari µ n sono tutte le copie del segnale fondamentale. Per quanto riguarda x(t) il segnale fondamentale è una porta, precisamente: p ( t T ) 4 E quindi possibile esprimere analiticamente x(t) come: x(t) = p T ( t T ) 4 + n= δ (f nf 0 ) Per definizione: µ n = T x T ( n T ) dove x T è il segnale troncato, che caratterizza solo la copia fondamentale del segnale. Per il segnale x(t): ) X(f) = sin ( πf T πf e jπf T 4 Sostituendo come frequenza f = n T si ottengono: dove:. il periodo T = = µ n = sin ( π n ) π n e jn π T = ;. al variare di n: n = 0 = µ 0 = (l esponenziale e il seno valgono ) n pari = µ n = 0 (il seno vale 0) n dispari = da calcolare.

45 4.. Esercizio 39 Calcoliamo il valore per n dispari: µ n+ = sin( π n+ ) π n+ = sin( π n+ π n+ = j ( sin π n+ ) π n+ in quanto: ( π ). cos (n + ) = 0; e j(n+) π = [ ( π ) ( π )] cos (n + ) j sin (n + ) = ) = j π(n + ) = jπ(n + ). il termine si semplifica con il a denominatore;. il termine sin ( π n+ ) vale. Per determinare lo spettro occorre il modulo quadro dei µ n : n = 0 4 µ n 0 n pari (πn) n dispari Graficamente: π G x (f) 4 π 9π 3/T -/T -/T 0 /T /T f Questo segnale viene ora filtrato con una funzione sinc che si annulla ogni n ; quindi graficamente lo spettro di potenza di y(t) è: T G y (f) 4 0 f

46 40 CAPITOLO 4. Esercizi segnali a potenza media finita Analiticamente: G y (f) = G x (f) H(f) = 4 δ (f) T sin(πft) πf = T 4 δ (f) Secondo quesito La potenza media, per definizione, è: e jπf T = Per il segnale y(t): P y = + n= P y = T 4 µ n Terzo quesito Si può ricavare un espressione analitica per y(t) determinando la risposta in frequenza: Y (f) = X(f) H(f) Sono conosciute entrambe: Quindi: Y (f) = X(f) = H(f) = + n= + n= ( n ) ( T x T δ f n ) T T sin(πft) e jπf T πf ( n ) ( T x T δ f n ) T T sin(πft) e jπf T πf Anche in questo caso l unico termine non filtrato è il valore in 0: X(f) f=0 = δ (f) Per cui: Y (f) = δ (f) Determiniamo l espressione nel dominio temporale antitraformando: y(t) = F {Y (f)} = F { δ (f) } = T

47 4.3. Esercizio Esercizio 3 Testo Dato il segnale: con: q(t) = A + k= r(t) = p T (t) p T r(t kt) ( t T ) r(t) - T 4 0 T 4 T 3T 4 f La potenza media del segnale q(t) vale. Il segnale viene posto all ingresso di un sistema con funzione di trasferimento: { f 3T/ H(f) = 0 f > 3T/ Si chiede di:. verificare che il segnale q(t) è periodico di periodo T;. determinare il segnale di uscita y(t); 3. calcolare la potenza media di y(t). Risoluzione Primo quesito Per verificare se q(t) è periodico occorre dimostrare che: q(t + T) = q(t) Quindi: ponendo: A + r(t kt + T) = A + k= k= h = k r(t T(k )

48 4 CAPITOLO 4. Esercizi segnali a potenza media finita si ottiene: A + h= r(t ht) Il segnale q(t) è periodico. Secondo quesito Il sistema può essere caratterizzato: x(t) h(t) y(t) E più facile esprimere l uscita nel dominio delle frequenze: Y (f) = Q(f) H(f) Il segnale Q(f) si ottiene trasformando con Fourier q(t): dove: perciò: R R(f) = sin ( πf T πf ( k T Q(f) = F{q(t)} = A ) = sin( π k) k T π ) sin( πf T πf ) + k= ( ) ( k T R δ f k ) T T e jπf T = sin ( πf T πf ) [ e jπft] [ e jπk] = T sin( π k) [ cos(πk) + j sin(πk)] kπ Poichè sin(kπ) = 0 kπ si ottiene: R ( k T ) = T sin ( π k) [ cos(πk)] kπ Quindi: Q(f) = A + k= { ( sin π k) } [ cos(πk)] kπ ( δ f k ) T Graficamente:

49 4.3. Esercizio 3 43 Q(f) -/T -/T 0 /T /T 3/T f Filtrando si ha: Q(f) H(f) -/T 3T -/T 0 /T 3T /T 3/T f Y (f) -/T 0 /T f Analiticamente: Y (f) = A = A = A π k= { ( sin π k) } [ cos(πk)] kπ ( δ f k ) = T [ ( π δ f + ) + π ( T δ f )] = T [ ( δ f + ) ( + δ f )] T T I contributi sono solo in quanto il termine con k = 0 annulla il coseno. Si ricava y(t) antitrasformando: { A y(t) = F {Y (f)} = F π = A ( ) πt π cos T [ ( δ f + ) ( + δ f )]} = T T

50 44 CAPITOLO 4. Esercizi segnali a potenza media finita Terzo quesito La potenza media del segnale y(t) è: P y = A π = 8A π Poichè nel testo si conosce il valore della potenza di q(t): P q = A = Allora: P y = 6 π 4.4 Esercizio 4 Testo Dato un sistema lineare con modulo della funzione di trasferimento indicata: H(f) f 0 f Se in ingresso di un sistema lineare: x(t) h(t) y(t) è applicato il segnale: x(t) = A [ + cos (πf 0 t)] si richiede di:. determinare l espressione del segnale y(t) in uscita;. tracciare l andamento qualitativo dei due segnali.

51 4.4. Esercizio 4 45 Risoluzione Primo quesito Come primo passaggio è necessario determinare la trasformata di Fourier del segnale di ingresso: X(f) = F{x(t)} = F{A [ + cos (πf 0 t)]} Lo spettro di y(t) si ricava mediante: = A δ (f) + A [δ (f f 0) + δ (f + f 0 )] Y (f) = X(f) H(f) In questo caso però è molto complicato determinare analiticamente H(f). Osserviamo graficamente X(f): X(f) A/ A 0 f e sovrapponiamo il modulo di H(f): A/ 0.5 A 0 f Ciò che accade è che:. le delta centrate in ±f 0 passano inalterate perchè H(f) = ;. la delta centrata in 0 riduce la sua ampiezza di metà perchè H(f) = 0.5. Perciò: Y (f) = A δ (f) + A [δ (f f 0) + δ (f + f 0 )]

52 46 CAPITOLO 4. Esercizi segnali a potenza media finita Antitrasformando si determina y(t): y(t) = F {Y (f)} = A + A cos (πf 0t) Secondo quesito Si riportano le espressioni dei due segnali da graficare: x(t) = A [ + cos (πf 0 t)] y(t) = A + A cos (πf 0t) Entrambi i segnali hanno una componente continua che sarà l offset di scostamento rispetto allo 0: x(t) DC = A y(t) DC = A e il loro andamento è quello tipico di una cosinusoide con frequenza f 0 ed ampiezza A. Il segnale x(t) ha forma: A x(t) A t Il segnale y(t) ha forma: y(t) 3A/ A/ A/ t

53 Capitolo 5 Esercizi sul campionamento 5. Esercizio Testo Dato il segnale x(t) = s(t) cos (πf 0 t) con s(t) a banda limitata B s e supponendo di introdurre il segnale x(t) come ingresso di un sistema non lineare con uscita y(t) = x (t) si calcoli:. la frequenza di campionamento minima per poter campionare il segnale x(t) senza perdere informazione;. la frequenza di campionamento minima per permettere una perfetta ricostruzione di y(t) a partire dai suoi campioni. Risoluzione Primo quesito Lo spettro di s(t) può essere rappresentato come: S(f) B s f Come primo passo si determina lo spettro del segnale x(t): X(f) = F{x(t)} = S(f) [δ (f f 0) + δ (f + f 0 )] = [S(f f 0) + S(f + f 0 )] Graficamente quindi X(f) è: 47

54 48 CAPITOLO 5. Esercizi sul campionamento X(f) f 0 B s f 0 B s f Per il teorema del campionamento la frequenza minima di campionamento deve essere almeno due volte la banda del segnale; indicando con B x la banda del segnale x(t): f cmin x = B x In questo caso: B x = f 0 + B s Secondo quesito Poichè y(t) = x (t) esiste una precisa relazione fra le bande dei due segnali: B y = B x Perciò: f cmin y = B y = B x = 4 (f 0 + B s ) 5. Esercizio Testo Il segnale: x(t) = [ ( ) ] πtb π t sin sin (πtb) viene campionato. Determinare quale deve essere la minima frequenza di campionamento per ricostruire il segnale perfettamente partendo dai suoi campioni. Risoluzione Come primo passaggio è necessario rielaborare l espressione di x(t): ( ) πtb sin x(t) = π t sin (πtb) π t

55 5.. Esercizio 49 Ricordando la trasformata notevole: ( ) πt T sin T F π t = tri(f T) e osservando che T = nella prima parte e T = B nella seconda si può B esplicitare l espressione necessaria per usare la trasformata notevole: ( ) πtb x(t) = B sin π t [ sin B B (πtb) π t ] B A questo punto: X(f) = F{x(t)} = B ( tri f ) ( B tri f ) B B Si indica con:. X (f) = B ( tri f ) ; B (. X (f) = B tri f ) ; B Graficamente il segnale X (f) è: X (f) B/ B/ B/ f Mentre il segnale X (f) è: X (f) B B/ B f B

56 50 CAPITOLO 5. Esercizi sul campionamento Il risultato dell addizione dei due segnali è il segnale X(f): X(f) B B f B/ Poichè la banda del segnale è B allora: f cmin = B 5.3 Esercizio 3 Testo Si considerino due segnali:. x (t) con banda limitata B ;. x (t) con banda limitata B. Si costruisca il segnale y(t) come: y(t) = x (t) x (t) Volendo campionare tale segnale, si determini quale deve essere la sua frequenza di campionamento minima. Risoluzione La relazione che caratterizza y(t) scritta nel dominio delle frequenze è: Y (f) = X (f) X (f) Per le proprietà della convoluzione nel dominio temporale la banda di y(t) risulta essere: B y = B + B quindi anche nel dominio spettrale: Y (f) = 0 per f > (B + B ) La minima frequenza di campionamento è pertanto: f cmin = (B + B )

57 5.4. Esercizio Esercizio 4 Testo Il segnale: ( x(t) = 0 + 0sin 500t + π ) 6 deve essere campionato e ricostruito esattamente dai suoi campioni. Si determini:. quale deve essere il massimo intervallo ammissibile fra due campioni;. quale deve essere il minimo numero N di campioni necessari per ricostruire il segnale. Risoluzione Lo spettro del segnale x(t) è: X(f) = 0 δ (f) + 0 j [δ (f f 0) δ (f + f 0 )] e j π 6 Siccome: 500 = ω 0 = πf 0 = f 0 = 500 π = 79.6Hz Primo quesito La frequenza minima di campionamento è: f cmin = f 0 = 59.Hz Pertanto il tempo massimo di intervallo fra due campioni non può essere superiore a: Secondo quesito T cmax = f cmin = 59.Hz = s = 6.8ms Poichè il periodo massimo è pari a 6.8 ms il segnale si può ricostruire con almeno: N = s s = T cmax s = 59.4 Il numero di campioni non può essere un numero decimale perciò si prende l intero inferiore: N = 59

58 5 CAPITOLO 5. Esercizi sul campionamento 5.5 Esercizio 5 Testo Si consideri il segnale: dove:. x (t) = x(t) cos (πf 0 t);. x (t) = x(t) cos (πnf 0 t). y(t) = x(t) + x (t) + x (t) Supponendo x(t) strettamente limitato in banda, con B = khz e che y(t) deve essere campionato in modo tale da essere ricostruito perfettamente con una frequenza f c = 0kHz, si determinino f 0 e N in modo tale che:. i segnali di ingresso siano perfettamente separati;. si abbia una perfetta ricostruzione di y(t);. N sia massimo. Risoluzione Analiticamente: y(t) = x(t) [ + cos (πf 0 t) + cos (πnf 0 t)] Il suo spettro è quindi: [ Y (f) = X(f) δ (f) + δ (f f 0) + δ (f + f 0) + δ (f Nf 0) + + ] δ (f Nf 0) = X(f) + X(f f 0) + X(f + f 0) + Graficamente: + X(f Nf 0) + X(f + Nf 0) Z(f) B B f 0 N f 0 f

59 5.5. Esercizio 5 53 Come si può vedere dal grafico i segnali sono spettralmente separati solo se: f 0 B Inoltre per ricostruire perfettamente il segnale occorre che: f c B y = (N f 0 + B) Con queste due equazioni a sistema si possono ricavare f 0 ed N: { f 0 B f 0 khz f 0 khz = f c (N f 0 + B) Nf 0 + B f c = N f c B f 0 f 0 I parametri f c e B sono noti; imponendo f 0 = khz: N 0kHz khz khz khz = 0 4 =

60 54 CAPITOLO 5. Esercizi sul campionamento

61 Capitolo 6 Esercizi sui processi casuali 6. Esercizio Testo Si consideri un processo casuale x(t) = ζ + cos(πf 0 t + θ), dove ζ è una variabile casuale discreta che assume i due valori ± con uguale probabilità e θ è una variabile casuale indipendente da ζ uniformemente distribuita nell intervallo [ π π]. Si determini E [ x (t) ]. Risoluzione E [ x (t) ] = E [ (ζ + cos(πf 0 t + θ)) ] = = E [ ζ ] + E[ζ cos(πf 0 t + θ)] + E [ (cos(πf 0 t + θ)) ] Analizziamo singolarmente i vari termini:. E [ ζ ] = in quanto E [ ζ ] = ( ) + () = ;. E[ζ cos(πf 0 t + θ)] = 0 per due motivi: il primo è che le variabili ζ e θ sono indipendenti, inoltre E[ζ] = 0 perchè E[ζ] = ( ) + = 0;. E [ (cos(πf 0 t + θ)) ] deve essere calcolato con la definizione: π π (cos(πf 0 t + θ)) π dθ = π π = L integrale di un seno o coseno quadro valgono metà del periodo di integrazione. 55

62 56 CAPITOLO 6. Esercizi sui processi casuali Perciò: E [ x (t) ] = + = 3 6. Esercizio Testo Il processo casuale n(t) WSS ha una densità di probabilità del primo ordine uniforme nell intervallo [ A A] e uno spettro di potenza: G N (f) N 0 B B f Verificare che A = 3N 0 B. Risoluzione La funzione R n (0) può essere caratterizzata da: R n (0) = { E [ n (t) ] = σ n + m x F {S N (f)} τ=0 Per quanto riguarda la prima equazione: E [ n (t) ] = σ n in quanto E[n(t)] = m x = 0 perchè la funzione di densità è simmetrica: f(n) A A A n

63 6.3. Esercizio 3 57 Perciò: E [ n (t) ] = + n f(n)dn = = 6A (A3 + A 3 ) = A 3 A A Per quanto riguarda la seconda equazione: R n (0) = F {G N (f)} τ=0 = = B B N 0 df = N 0 B Uguagliando i due risultati ottenuti: + n A dn = A n3 3 A A G N (f) e j π f τ df = τ=0 = A 3 = N 0 B = A = 3N 0 B 6.3 Esercizio 3 Testo Un processo casuale x(t) WSS ha una densità di probabilità del primo ordine uniforme nell intervallo [ A A] e varianza σ x =. Il processo è posto all ingresso di un sistema non lineare: y x Calcolare la probabilità P (y(t) > ) del segnale di uscita y(t). Risoluzione Questo sistema lineare per x positivi fornisce in uscita lo stesso valore per y (la retta è a 45 ) mentre i valori di x negativi diventano automaticamente nulli. Il processo casuale x(t) ha densità di probabilità:

64 58 CAPITOLO 6. Esercizi sui processi casuali f(n) A A A n Dal testo è noto che σx = mentre m x = 0 in quanto la densità è simmetrica. σx = E [ n (t) ] + A = n f(n)dn = n A dn = A n3 A 3 = = 6A (A3 + A 3 ) = A 3 Si determina A ponendo il risultato pari a : A A 3 = = A = 3 = A = 3 La densità di probabilità che può assumere y(t) è perciò: f(y) A 3 y Poichè l area deve essere pari a l altezza deve essere 3. La probabilità cercata: P (y(t) > ) = + f(y)dy Questo integrale è nullo in quanto il valore massimo che può assumere il processo è Esercizio 4 Testo Si consideri il seguente sistema:

65 6.4. Esercizio 4 59 x(t) h(t) y(t) dove h(t) presenta la seguente caratteristica: y x Il segnale di ingresso x(t) = A cos(ω 0 t + θ) con θ costante. Il parametro A è una variabile casuale uniformemente distribuita fra [0 ]. Si calcoli la media di insieme di y(t) e si valuti in quali istanti di tempo tale media è massima. Risoluzione La densità di probabilità che può assumere la variabile casuale A è: f(a) A Poichè l area deve essere pari a l altezza deve essere. Il valore atteso di A è: E[A] = + Il segnale x(t) graficamente è: A f(a)da = x(t) 0 A da = t

66 60 CAPITOLO 6. Esercizi sui processi casuali Il segnale di uscita è invece composto da: y(t) = { x(t) x(t) > 0 0 x(t) < 0 Il segnale y(t) graficamente è il coseno a cui vengono tagliate le parti negative. E[y(t)] = E[x(t) h(t)] = E[x(t)] h(t) in quanto: h(t) = { x(t) > 0 0 x(t) < 0 Perciò: E[y(t)] = E[A cos(ω 0 t + θ)] h(t) = E[A] cos(ω 0 t+θ) h(t) = cos(ω 0 t+θ) h(t) E[y(t)] è massima quando: Ciò accade se: cos(ω 0 t + θ) = πf 0 t + θ = κπ = t = κπ θ πf 0 = κ f 0 θ πf Esercizio 5 Testo Un processo casuale x(t) gaussiano stazionario a media nulla viene moltiplicato per un onda quadra r(t) che assume alternativamente valori ± ogni T secondi. Calcolare:. la densità di probabilità del segnale y(t) così ottenuto;. la probabilità P (y(t) > y(t + a)) nei due casi:. a = T;. a = T/.

67 6.5. Esercizio 5 6 Risoluzione Primo quesito Il segnale r(t) ha la seguente forma: r(t) + Il segnale di uscita: T T 3T y(t) = x(t) r(t) è ancora gaussiano. Il suo valor medio e la sua varianza valgono: Secondo quesito Si ha: Indicando con: si ottiene: E[y(t)] = E[x(t) r(t)] = E[x(t)] r(t) = 0 Var [y(t)] = E [ y (t) ] E[y(t)] = E [ x (t) ] r (t) 0 = σ x P (y(t) > y(t + a)) = P (y(t) y(t + a) > 0) w(t) = y(t) y(t + a) P (y(t) > y(t + a)) = P (w(t) > 0) Il segnale w(t) è ancora un processo gaussiano a valor medio nullo perciò avrà una densità di probabilità di questo tipo: f(w) A t A A w Quindi: P (w(t) > 0) =

68 6 CAPITOLO 6. Esercizi sui processi casuali

69 Parte II Elaborazione numerica dei segnali 63

70

71 Capitolo 7 Esercizi di base 7. Esercizio Testo Date le sequenze numeriche:. x(n) = cos(0.5π n). x(n) = sin(π + 0. n) si determini il periodo. Risoluzione La prima sequenza si può esprimere come: ( π ) cos(0.5π n) = cos 8 n Per avere un periodo è necessario che sia presente il termine π; quindi: ( π ) ( ) π cos 8 n = cos 6 n La frequenza è data da: f 0 = 6 = T = f 0 = 6 Nella seconda sequenza il termine π rappresenta solo uno sfasamento perciò non va in alcun modo considerato per il calcolo del periodo; elaborando la sequenza si ottiene: sin(π + 0. n) = sin(π + 0 n) 65

72 66 CAPITOLO 7. Esercizi di base Per avere il termine π è sufficiente moltiplicare e dividere per π: sin(π + π n) = sin(π + 0 0π n) Isolando tale termine è facile riconoscere qual è la f 0 : sin(π + π 0π n) = sin(π + π 0π n) Pertanto: f 0 = 0π = T = f 0 = 0π 7. Esercizio Testo Data la sequenza numerica: x(n) = (6 n) [u(n) u(n 6)] Si richiede di calcolare:. x(4 n). x(n 3) 3. x(n n + ) Risoluzione La sequenza di partenza x(n), graficamente, è la seguente: x(n) n

73 7.. Esercizio 67 Primo quesito La sequenza x(4 n) è ottenibile operando sulla sequenza di partenza la seguente trasformazione: n = 4 n Perciò: x(4 n) = [6 (4 n)] [u(4 n) u(4 n 6)] = (+n) [u(4 n) u( n)] Graficamente: u(4 n) u( n) 0 4 n 0 n Perciò la sequenza totale è: x(4 n) n Secondo quesito Eseguendo gli stessi passi visti nel primo quesito si ottiene: x(n 3) n

74 68 CAPITOLO 7. Esercizi di base Terzo quesito La terza sequenza graficamente è: x(n n + ) n 7.3 Esercizio 3 Testo Data la sequenza: Determinare le sequenze: x(n) = u(n). x p (n). x d (n) in cui può essere scomposta la sequenza di partenza. Risoluzione La sequenza x p (n) è la sequenza pari mentre x d (n) quella dispari: sommando questi contributi si deve ottenere u(n). Graficamente x p (n) sarà: x p (n) n

75 7.4. Esercizio 4 69 Scritta in forma analitica non è altro che: x p (n) = u(n) + u( n) Per quanto riguarda la sequenza x d (n), graficamente sarà: x d (n) n Analiticamente x p (n) = u(n) u( n) In questo modo, sommando queste due sequenze, la parte per n negativi si elide, mentre per n positivi viene ad assumere ampiezza pari a : sono le proprietà di u(n). In forma grafica: u(n) n 7.4 Esercizio 4 Testo Data la sequenza: Calcolare:. la somma; x(n) = ( ) 3 n u( n). l energia del segnale.

76 70 CAPITOLO 7. Esercizi di base Risoluzione Si può anche esprimere la sequenza come: x(n) = ( ) 3 n u( n) = ( ) ( n) u( n) 3 Primo quesito La somma vale: A = 0 n= dove m = n. x(n) = 0 ( ) 3 n u( n) = + m=0 ( ) m = 3 3 = 3 Secondo quesito L energia vale: E x = = + n= + m=0 ( 4 9 x(n) = ) m = + n= 4 9 ( ) ( n) u( n) 3 = 9 5 = + m=0 ( ) m = 3 dove m = n. 7.5 Esercizio 5 Testo Data la sequenza: x(n) = δ (n) + δ (n ) + 3 δ (n ) Scrivere tale sequenza come somma di gradini. Risoluzione Graficamente la sequenza è:

77 7.5. Esercizio 5 7 x(n) 3 3 n Poichè: δ (n) = u(n) u(n ) applicando questo ragionamento si ottiene: x(n) = u(n) u(n ) + [u(n ) u(n )] + 3 [u(n ) u(n 3)] Elaborando questa equazione si ha: x(n) = u(n) + u(n ) + u(n ) 3 u(n 3)

78 7 CAPITOLO 7. Esercizi di base

79 Capitolo 8 Sistemi lineari e DTFT 8. Esercizio Testo Data la funzione di trasferimento: H(e jω ) = 0.5 e jω + e 3jω e jω e jω Scrivere l equazione alle differenze finite del sistema LTI. Risoluzione La funzione di trasferimento è data da: per un sistema lineare solito: H(e jω ) = Y (e jω ) X(e jω ) x(n) h(n) y(n) Perciò: Y (e jω ) X(e jω ) = Elaborando l espressione si ottiene: 0.5 e jω + e 3jω e jω e jω Y (e jω ) [ e jω e jω ] = X(e jω ) [ 0.5 e jω + e 3jω ] Antitrasformando si ha: y(n) y(n ) y(n ) = x(n) 0.5 x(n ) + x(n 3) 73

80 74 CAPITOLO 8. Sistemi lineari e DTFT 8. Esercizio Testo Data la funzione di trasferimento: H(e jω ) = e jω. + cos(ω) Scrivere l equazione alle differenze finite del sistema LTI. Risoluzione Il procedimento è molto simile all esercizio precedente; come primo passo esprimiamo con la formula di Eulero cos(ω): Pertanto: cos(ω) = 0.5 e jω e +jω H(e jω ) = e jω e jω e +jω Elaborando l espressione per renderla simile a quella dell esercizio precedente: e jω e jω e +jω =. e jω e jω Quindi: Perciò: Y (e jω ) X(e jω ) =. e jω e jω Y (e jω ) [. e jω e jω + 0.5] = X(e jω ) Antitrasformando si ottiene: 0.5 y(n) +. y(n ) y(n ) = x(n) 8.3 Esercizio 3 Testo Si consideri la seguente equazione alle differenze finite: y(n) y(n ) y(n ) = x(n) 0.5 x(n ) Determinare la risposta al sistema lineare:

81 8.3. Esercizio 3 75 x(n) h(n) y(n) quando in ingresso è presente la sequenza: Risoluzione Trasformando l equazione si ottiene: x(n) = u(n) Y (e jω ) [ e jω e jω ] = X(e jω ) [ 0.5 e jω ] Si determina la funzione di trasferimento in questo modo: H(e jω ) = Y (e jω ) X(e jω ) = 0.5 e jω e jω e jω A questo punto applicando come ingresso x(n) = u(n) si ha: Nel dominio trasformato: Sostituendo: y(n) = x(n) h(n) Y (e jω ) = X(e jω ) H(e jω ) Y (e jω ) = X(e jω ) 0.5 e jω e jω e jω Analizziamo in dettaglio H(e jω ); è possibile riscriverla in questo modo: H(e jω ) = e jω ( e jω ) 4 ( e jω ) Indicando con: H (e jω ) = ( e jω ) Nel dominio temporale questa espressione vale: ( ) h (n) = (n + ) u(n) Si può quindi riscrivere l espressione precedente, nel dominio temporale, come: h(n) = h (n) 4 h (n )

82 76 CAPITOLO 8. Sistemi lineari e DTFT Perciò: [ y(n) = x(n) h(n) = u(n) h (n) ] 4 h (n ) La risoluzione della convoluzione è lasciata al lettore. 8.4 Esercizio 4 Testo Calcolare la DTFT di: x(n) = ( ) n 4 Risoluzione Questa sequenza appartiene alla famiglia delle sequenze di tipo: In generale: a n a n = a n u(n) + a n u( n ) Attenzione: a n è valido solo per n oppure n < 0. Poichè la DTFT è un operazione lineare: DTFT {a n } = DTFT {a n u(n)} + DTFT {a n u( n )} Per quando riguarda la prima parte è sufficiente consultare le tavole: DTFT {a n u(n)} = a e jω a < Il secondo termine è più complesso ed è necessario ricorrere alla definizione: DTFT {a n u( n )} = Con un cambiamento di indici: = + n= n= a n u( n ) e jωn = a n e jωn n = i Si ottiene: DTFT {a n u( n )} = + i= a i e jωi

83 8.4. Esercizio 4 77 Indicando con: Sono equivalenti: + i=0 β(i) = a i e jωi β(i) = + i= β(i) + β(0) dove β(0) rappresenta il primo valore della sommatoria, quello con indice i = 0 che in questo caso vale. Perciò: Elaborando l espressione: + i=0 Trasformando: Pertanto: DTFT {a n u( n )} = a i e jωi = + i= + i=0 DTFT {a n } = (a e jω ) i = (a e jω ) i u(n) = + i=0 + i= a i e jωi (a e jω ) i u(n) a e jω a e jω + a e jω

84 78 CAPITOLO 8. Sistemi lineari e DTFT

85 Capitolo 9 Sistemi lineari e trasformate Z 9. Esercizio Testo Dati:. x(n) =. h(n) = ( ) n 6 u(n) 6 ( ) n u(n 3) 3 Calcolare: y(n) = x(n) h(n) Risoluzione L esercizio è risolvibile in due modi:. calcolando la convoluzione nel dominio temporale;. usando le trasformate Z. Primo metodo La convoluzione si può calcolare in questo modo: y(n) = + k= h(k) x(n k) 79

86 80 CAPITOLO 9. Sistemi lineari e trasformate Z Perciò: Poichè: Allora: y(n) = = = = = [ + ( ) [ k ( ) n k 6 u(k 3)] u(n k)] = 3 6 k= [ n ( ) k ( ) ] n k 6 u(n 3) = 3 6 k=3 ( ) [ n 6 n ( ) k ( ) ] k u(n 3) = k=3 ( ) [ n 6 n ( ) ] k (6) k u(n 3) = 6 3 k=3 ( ) [ n 6 n ( ) ] 6 k u(n 3) 6 3 n k=3 k=3 n k=0 (a) k = an+ a (a) k = an+ a a 0 a a Applicato al nostro caso: ( ) n 6 [ ] n+ y(n) = 0 u(n 3) = 6 ( ) n 6 = [ ( n+ ) 7 ] u(n 3) = 6 ( ) n 6 = [ n+ 8 ] u(n 3) = 6 [( ) = (6) 6 n ( ) n n+ 8] u(n 3) = 6 6 [( ) n ( ) n = 6 6 8] u(n 3) 3 6 Secondo metodo Come primo passo portiamo nel dominio Z le sequenze x(n) e h(n). La sequenza di ingresso prima della trasformazione viene elaborata in questo modo: ( ) n 6 ( ) n x(n) = u(n) = 6 6 u(n) 6 6

87 9.. Esercizio 8 Trasformando si ottiene: X(z) = z Per quanto riguarda h(n) occorre rielaborare la sequenza in modo simile al precedente: h(n) = ( ) n u(n 3) = 3 Con la trasformazione si ha: Quindi: Sostituendo: Y (z) = Indicando con: = = H(z) = ( ) 3 3 ( ) 3 3 z 3 3 z Y (z) = X(z) H(z) ( ) n 3 u(n 3) 3 [ ] [ ( ) ] z 3 z 3 = 3 z ( ) z 3 3 ( 6 z ) ( 3 z ) = [ ( ) ] z 3 ( 3 6 z ) ( 3 z ) Y (z) = ( 6 z ) ( 3 z ) calcoliamo i fratti semplici proprio su Y (z). Y (z) = I valori di R ed R sono: R = Y (z) ( 6 z ) z= 6 R = Y (z) ( 3 z ) z= 3 Perciò: Y (z) = R ( 6 z ) + R ( 3 z ) = ( 3 z ) z =6 = = = ( 6 z ) z =3 = ( 6 z ) + ( 3 z ) =

88 8 CAPITOLO 9. Sistemi lineari e trasformate Z A questo punto si può antitrasformare tenendo bene a mente che, poichè in ingresso le sequenze erano causali anche in uscita i poli del sistema saranno causali. Questo porta a concludere che la regione di convergenza, ROC, sarà: Antitrasformazione: Quindi: y (n) = Siccome: z > 3 { } y (n) = Z Y (z) { Z ( Z { ( ) n u(n) + 6 Nel dominio temporale: Y (z) = y(n) = 6 z ) ( 3 z ) } ( ) n = u(n) 6 } ( ) n = u(n) 3 ( ) n [ u(n) = 3 [ [ ( ) n + 6 ( ) ] 3 z 3 Y (z) 3 ( ) ] 3 y (n 3) 3 ( ) n ] u(n) 3 in quanto z 3 è un ritardo. Sostituendo si ha: [ ( ) ] [ 3 ( ) n 3 ( ) ] n 3 y(n) = u(n 3) Elaborando l espressione si ottiene: [ ( ) n 3 ( ) 3 ( ) n 3 ( ) ] 3 y(n) = u(n 3) = [ ( ) n ( ) 3 ( ) ] n = u(n 3) = [ ( ) n ( ) n ] = u(n 3) 6 3 I risultati ottenuti con i due metodi sono perfettamente identici.

89 9.. Esercizio Esercizio Testo Data: h(n) = Calcolare H(z) e, se possibile, H(e jω ). Risoluzione ( ) n+ u(n ) 3 La risposta all impulso di questo sistema è di tipo IIR causale e presenta una fase non lineare perchè la sequenza non è simmetrica rispetto all origine. Calcoliamo inanzitutto H(z); come primo passo si rielabora l espressione: h(n) = ( ) n+ u(n ) = 3 ( ) 4 3 ( ) n u(n ) 3 Con la trasformata Z: { ( ) 4 ( ) n H(z) = Z {h(n)} = Z u(n )} = 3 3 ( ) 4 = 3 z 3 z La regione di convergenza, ROC, è individuata da: 3 z < = z > 3 É possibile calcolare H(e jω ) solo se: Tale condizione è verificata perchè: z = ROC z = z > 3 Si determina quindi H(e jω ) in modo molto facile perchè: H(e jω ) = H(z) z=e jω Pertanto: H(e jω ) = ( ) e e jω jω

90 84 CAPITOLO 9. Sistemi lineari e trasformate Z 9.3 Esercizio 3 Testo Data: h(n) = δ (n) + 6 δ (n ) + 3 δ (n ) Calcolare H(z), se possibile, H(e jω ) ed esprimere in modo generale: Risoluzione y(n) = x(n) h(n) Questa risposta all impulso è caratteristica di un filtro FIR causale con fase non simmetrica e il filtro non è recursivo. Per calcolare H(z) è sufficiente trasformare direttamente ogni campione: H(z) = Z {h(n)} = Z {δ (n) + 6 δ (n ) + 3 δ (n )} = = z z + 3 z Poichè i poli sono nell origine la regione di convergenza sarà: ROC = C-{0} Come visto nell esercizio precedente è possibile calcolare H(e jω ) solo se: La condizione è soddisfatta quindi: z = ROC H(e jω ) = H(z) z=e jω = + 6 e jω + 3 e jω Il calcolo in forma generica di una possibile y(n) è molto facile sfruttando le proprietà della δ: y(n) = x(n) h(n) = + k= h(k) x(n k) = x(0)+6 [x(n )]+3 [x(n )] In via grafica il sistema può essere rappresentato nel seguente modo: x(n) z z 6 3 y(n)

91 9.4. Esercizio Esercizio 4 Testo Data la seguente equazione alle differenze finite: Si chiede di: y(n) = 0.5 y(n ) + x(n). determinare la risposta all impulso h(n);. determinare se il sistema è stabile secondo il criterio BIBO. Risoluzione Il sistema considerato è recursivo e causale quindi la regione di convergenza sarà esterna ad un cerchio. Scrivendo la relazione nel dominio Z si ha: Z {y(n) = 0.5 y(n ) + x(n)} = Y (z) = Y (z ) + X(z) Elaborando l equazione si ottiene: Y (z) [ + z ] = X(z) Poichè: Si ha: Sono presenti: H(z) = H(z) = Y (z) X(z) + z = z z +. uno zero nell origine;. un polo in z =. La regione di convergenza, dunque, poichè il sistema è causale è: ROC = z > Antitrasformando si ottiene la risposta all impulso: { } h(n) = Z {H(z)} = Z + = z ( ) n u(n)

92 86 CAPITOLO 9. Sistemi lineari e trasformate Z Un sistema, in generale, è stabile secondo il criterio BIBO se: Nel nostro caso: + n= Il sistema è dunque stabile. + n= h(n) < ( n u(n) ) + = n=0 ( ) n = = 9.5 Esercizio 5 Testo Data la seguente equazione alle differenze finite: y(n) y(n ) + 4 y(n ) = x(n) x(n ) 4 Si chiede di determinare un espressione analitica per la risposta all impulso h(n). Risoluzione Nel dominio Z: Z {y(n) y(n ) + 4 y(n ) = x(n) 4 } x(n ) = Y (z) [ z + 4 ] z = X(z) [ 4 ] z Perciò: H(z) = = Y (z) X(z) = 4 z z + 4 = 4 ( z z z ) = 4 ( z z ) ( z ) Antitrasformando separatamente i due termini si ha: { } ( ) Z n ( z ) = (n + ) u(n) Z { 4 } [ ( z z ) = ( ) n 4 n u(n)]

La trasformata Zeta. Marco Marcon

La trasformata Zeta. Marco Marcon La trasformata Zeta Marco Marcon ENS Trasformata zeta E l estensione nel caso discreto della trasformata di Laplace. Applicata all analisi dei sistemi LTI permette di scrivere in modo diretto la relazione

Dettagli

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08 Alberto Perotti, Roberto Garello DELEN-DAUIN Processi casuali Sono modelli probabilistici

Dettagli

Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria

Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria Corso di rasmissione Numerica docente: Prof. Vito Pascazio 18 a Lezione: 13/1/4 19 a Lezione: 14/1/4 Sommario rasmissione di segnali PM numerici su

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)

Dettagli

Corso di Fondamenti di Segnali e Trasmissione - Appello del 07 Settembre 2005

Corso di Fondamenti di Segnali e Trasmissione - Appello del 07 Settembre 2005 Corso di Fondamenti di Segnali e Trasmissione - Appello del 07 Settembre 2005 Gli esercizi devono essere risolti solo sui fogli dei colori indicati Per esiti e soluzioni si veda il sito web del corso:

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

Segnali passa-banda ed equivalenti passa-basso

Segnali passa-banda ed equivalenti passa-basso Appendice C Segnali passa-banda ed equivalenti passa-basso C.1 Segnali deterministici Un segnale deterministico u(t) con trasformata di Fourier U(f) è un segnale passa-banda se f 0, W, con 0 < W < f 0,

Dettagli

COMPITO DI SEGNALI E SISTEMI 18 Dicembre 2004

COMPITO DI SEGNALI E SISTEMI 18 Dicembre 2004 COMPIO DI SEGNALI E SISEMI 8 Dicembre 4 Esercizio Si consideri il modello di stato a tempo discreto descritto dalle seguenti equazioni: x(k + = Ax(k + Bu(k = x(k + u(k, v(k = Cx(k = [ ] x(k, k Z + i Si

Dettagli

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche. Analisi dei segnali A.A. 2008-09.

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche. Analisi dei segnali A.A. 2008-09. Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Analisi dei segnali A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Segnali continui e discreti Un segnale tempo-continuo è

Dettagli

Studio dei segnali nel dominio della frequenza. G. Traversi

Studio dei segnali nel dominio della frequenza. G. Traversi Studio dei segnali nel dominio della frequenza G. Traversi Segnali periodici e serie di Fourier Una funzione periodica f(t) di periodo T (purché integrabile) è esprimibile con una serie del tipo: f (t)

Dettagli

IL FILTRAGGIO DEL SEGNALE

IL FILTRAGGIO DEL SEGNALE CAPITOLO 4 IL FILTRAGGIO DEL SEGNALE 4.1 - SISTEMA LINEARE NON DISTORCENTE E un sistema lineare che restituisce in uscita una replica indistorta del segnale di entrata, intendendo x(t) y(t) = Ax(t-t 0

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

Il Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione. 1 e prende il nome frequenza di

Il Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione. 1 e prende il nome frequenza di Il Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione Il campionamento consente, partendo da un segnale a tempo continuo ovvero che fluisce con continuità nel tempo, di ottenere un segnale a tempo discreto,

Dettagli

risulta (x) = 1 se x < 0.

risulta (x) = 1 se x < 0. Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica STRUMENTI MATEMATICI PER L ANALISI DEI SISTEMI DISCRETI Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it

Dettagli

Catene di Misura. Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/

Catene di Misura. Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/ Catene di Misura Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/ Piero Malcovati Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell Informazione Università di Pavia piero.malcovati@unipv.it Piero Malcovati

Dettagli

Elettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza p. 2

Elettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza p. 2 Elettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, 26013

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza

Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza Capitolo 5 Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza 5. Introduzione In questo capitolo affrontiamo lo studio dei segnali aleatori nel dominio della frequenza. Prendiamo come esempio

Dettagli

LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ED ESEMPI

LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ED ESEMPI LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ED ESEMPI Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC Proprieta della () LINEARITA : la della combinazione lineare (somma pesata) di due segnali e uguale alla

Dettagli

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche,

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e

Dettagli

Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino

Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino 1 Funzione di trasferimento La funzione di trasferimento di un sistema lineare è il rapporto di due polinomi della variabile complessa s. Essa

Dettagli

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza

Dettagli

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1)

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1) Transitori Analisi nel dominio del tempo Ricordiamo che si definisce transitorio il periodo di tempo che intercorre nel passaggio, di un sistema, da uno stato energetico ad un altro, non è comunque sempre

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Transitori del primo ordine

Transitori del primo ordine Università di Ferrara Corso di Elettrotecnica Transitori del primo ordine Si consideri il circuito in figura, composto da un generatore ideale di tensione, una resistenza ed una capacità. I tre bipoli

Dettagli

Forma d onda rettangolare non alternativa.

Forma d onda rettangolare non alternativa. Forma d onda rettangolare non alternativa. Lo studio della forma d onda rettangolare è utile, perché consente di conoscere il contenuto armonico di un segnale digitale. FIGURA 33 Forma d onda rettangolare.

Dettagli

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

Analisi dei segnali nel dominio della frequenza

Analisi dei segnali nel dominio della frequenza Laboratorio di Telecomunicazioni - a.a. 2010/2011 Lezione n. 7 Analisi dei segnali nel dominio della frequenza docente L.Verdoliva In questa lezione affrontiamo il problema dell analisi dei segnali tempo

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

la funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali.

la funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali. 1 y 4 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è una irrazionale con indice di radice pari, il cui radicando è un polinomio, essa risulta definita solo per i valori della per i quali il radicando è positivo, ovvero

Dettagli

La funzione di risposta armonica

La funzione di risposta armonica 0.0. 3.1 1 La funzione di risposta armonica Se ad un sistema lineare stazionario asintoticamente stabile si applica in ingresso un segnale sinusoidale x(t) = sen ωt di pulsazione ω: x(t) = sin ωt (s) =

Dettagli

Nome: Nr. Mat. Firma:

Nome: Nr. Mat. Firma: Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 7/8 4 Dicembre 7 - Esercizi Compito A Nr. Nome: Nr. Mat. Firma: a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x (t)

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizi svolti sui numeri complessi Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =

Dettagli

Segnali e Sistemi. Dispensa integrativa per l insegnamento di Elementi di Controlli Automatici. Gianni Borghesan e Giovanni Marro

Segnali e Sistemi. Dispensa integrativa per l insegnamento di Elementi di Controlli Automatici. Gianni Borghesan e Giovanni Marro Segnali e Sistemi Dispensa integrativa per l insegnamento di Elementi di Controlli Automatici Gianni Borghesan e Giovanni Marro Indice Introduzione 2. Notazione............................. 2 2 Classificazione

Dettagli

v in v out x c1 (t) Molt. di N.L. H(f) n

v in v out x c1 (t) Molt. di N.L. H(f) n Comunicazioni elettriche A - Prof. Giulio Colavolpe Compito n. 3 3.1 Lo schema di Fig. 1 è un modulatore FM (a banda larga). L oscillatore che genera la portante per il modulatore FM e per la conversione

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Equazioni differenziali 9 dicembre 2015 Si chiamano equazioni differenziali quelle equazioni le cui incognite non sono variabili reali ma funzioni di una o più variabili. Le equazioni differenziali possono

Dettagli

Fondamenti di Automatica. Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI

Fondamenti di Automatica. Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Fondamenti di Automatica Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Soluzione delle equazioni di stato per sistemi dinamici LTI a tempo continuo

Dettagli

Trasformate di Laplace

Trasformate di Laplace TdL 1 TdL 2 Trasformate di Laplace La trasformata di Laplace e un OPERATORE funzionale Importanza dei modelli dinamici Risolvere equazioni differenziali (lineari a coefficienti costanti) Tempo t Dominio

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

Introduzione al Campionamento e

Introduzione al Campionamento e Introduzione al Campionamento e all analisi analisi in frequenza Presentazione basata sul Cap.V di Introduction of Engineering Experimentation, A.J.Wheeler, A.R.Ganj, Prentice Hall Campionamento L'utilizzo

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

I appello - 24 Marzo 2006

I appello - 24 Marzo 2006 Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Energetica e Gestionale A.A.2005/2006 I appello - 24 Marzo 2006 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. I.) Studiare la convergenza puntuale,

Dettagli

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA Simulazione 01/15 ANNO SCOLASTICO 01/15 PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO PER IL LICEO SCIENTIFICO Il candidato risolva uno dei due problemi Problema 1 Nella

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria

Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria Silvana Stefani Piazza dell Ateneo Nuovo 1-20126 MILANO U6-368 silvana.stefani@unimib.it 1 Unità 9 Contenuti della lezione Operazioni finanziarie, criterio

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ANALISI MATEMATICA I - A.A. 0/0 FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ESERCIZIO. Data la funzione f () = determinare l insieme f (( +)). Svolgimento. Poiché f (( +)) = { dom f : f () ( +)} = { dom f : f () > } si

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Risposte canoniche e sistemi elementari Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1

Dettagli

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:

Dettagli

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1

Dettagli

Slide Cerbara parte1 5. Le distribuzioni teoriche

Slide Cerbara parte1 5. Le distribuzioni teoriche Slide Cerbara parte1 5 Le distribuzioni teoriche I fenomeni biologici, demografici, sociali ed economici, che sono il principale oggetto della statistica, non sono retti da leggi matematiche. Però dalle

Dettagli

GRANDEZZE SINUSOIDALI

GRANDEZZE SINUSOIDALI GRANDEE SINUSOIDALI INDICE -Grandezze variabili. -Grandezze periodiche. 3-Parametri delle grandezze periodiche. 4-Grandezze alternate. 5-Grandezze sinusoidali. 6-Parametri delle grandezze sinusoidali.

Dettagli

Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA

Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA 1 1.4 Serie in campo complesso 1.4.1 Serie di potenze Una serie di potenze è una serie del tipo a k (z z 0 ) k. Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi analoghi

Dettagli

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1 LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza

Dettagli

Complementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013

Complementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013 Complementi di Analisi per nformatica *** Capitolo 2 Numeri Complessi e Circuiti Elettrici a Corrente Alternata Sergio Benenti 7 settembre 2013? ndice 2 Circuiti elettrici a corrente alternata 1 21 Circuito

Dettagli

Funzioni di trasferimento. Lezione 14 2

Funzioni di trasferimento. Lezione 14 2 Lezione 14 1 Funzioni di trasferimento Lezione 14 2 Introduzione Lezione 14 3 Cosa c è nell Unità 4 In questa sezione si affronteranno: Introduzione Uso dei decibel e delle scale logaritmiche Diagrammi

Dettagli

RETI DI TELECOMUNICAZIONE

RETI DI TELECOMUNICAZIONE RETI DI TELECOMUNICAZIONE SISTEMI M/G/1 e M/D/1 Sistemi M/G/1 Nei sistemi M/G/1: i clienti arrivano secondo un processo di Poisson con parametro λ i tempi di servizio hanno una distribuzione generale della

Dettagli

4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI

4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI 119 4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI Indice degli Argomenti: TEMA N. 1 : INSIEMI NUMERICI E CALCOLO

Dettagli

Dispensa sulle funzioni trigonometriche

Dispensa sulle funzioni trigonometriche Sapienza Universita di Roma Dipartimento di Scienze di Base e Applicate per l Ingegneria Sezione di Matematica Dispensa sulle funzioni trigonometriche Paola Loreti e Cristina Pocci A. A. 00-0 Dispensa

Dettagli

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Esercizi svolti di Elettrotecnica

Esercizi svolti di Elettrotecnica Marco Gilli Dipartimento di Elettronica Politecnico di Torino Esercizi svolti di Elettrotecnica Politecnico di Torino TOINO Maggio 2003 Indice Leggi di Kirchhoff 5 2 Legge di Ohm e partitori 5 3 esistenze

Dettagli

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Può essere espressa sia nel dominio della s che nel dominio della j Definizione nel dominio della s. è riferita ai soli sistemi con un ingresso ed un uscita 2. ha per oggetto

Dettagli

METODI MATEMATICI PER LA FISICA

METODI MATEMATICI PER LA FISICA Si svolgano cortesemente i seguenti esercizi ESERCIZIO (6 PUNTI) METODI MATEMATICI PER LA FISICA PROVA SCRITTA - 2 GENNAIO 25 Una volta identificato, nel piano complesso α, il dominio di convergenza della

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai

Dettagli

C(f) : funzione di trasferimento del canale. Essa limita la banda del segnale trasmesso e quindi rappresenta un modello più realistico

C(f) : funzione di trasferimento del canale. Essa limita la banda del segnale trasmesso e quindi rappresenta un modello più realistico MODELLO DEL CANALE Modello gaussiano additivo a banda illimitata (considerato finora): s(t) + n(t) r(t) = s(t) + n(t) s(t) Canale C(f) + r(t) n(t) C(f) : funzione di trasferimento del canale. Essa limita

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione

Dettagli

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0 LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi

Dettagli

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha:

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha: ESERCIZIO - Data la funzione f (x) = (log x) 6 7(log x) 5 + 2(log x) 4, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; ( punto) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire

Dettagli

INTEGRATORE E DERIVATORE REALI

INTEGRATORE E DERIVATORE REALI INTEGRATORE E DERIVATORE REALI -Schemi elettrici: Integratore reale : C1 R2 vi (t) R1 vu (t) Derivatore reale : R2 vi (t) R1 C1 vu (t) Elenco componenti utilizzati : - 1 resistenza da 3,3kΩ - 1 resistenza

Dettagli

Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A

Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A 21 Marzo 27 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare quali sono le affermazioni vere. 1. Si consideri

Dettagli

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:

Dettagli

ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI

ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI PAOLO FACCIN 1. Esercizi sulle applicazioni lineari 1.1. Definizioni sulle applicazioni lineari. Siano V, e W spazi vettoriali, con rispettive basi B V := (v 1 v n) e B W

Dettagli

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : ' = y y' = Consideriamo il punto P(,5) se eseguiamo tra trasformazione

Dettagli

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede

Dettagli

La variabile casuale Binomiale

La variabile casuale Binomiale La variabile casuale Binomiale Si costruisce a partire dalla nozione di esperimento casuale Bernoulliano che consiste in un insieme di prove ripetute con le seguenti caratteristiche: i) ad ogni singola

Dettagli

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza

Dettagli

Insiemi di livello e limiti in più variabili

Insiemi di livello e limiti in più variabili Insiemi di livello e iti in più variabili Insiemi di livello Si consideri una funzione f : A R, con A R n. Un modo per poter studiare il comportamento di una funzione in più variabili potrebbe essere quello

Dettagli

Rappresentazione nello spazio degli stati

Rappresentazione nello spazio degli stati Chapter 1 Rappresentazione nello spazio degli stati La modellazione di un sistema lineare di ordine n, fornisce un insieme di equazioni differenziali che una volta trasformate nel dominio discreto, possono

Dettagli

COMUNICAZIONI ELETTRICHE + TRASMISSIONE NUMERICA COMPITO 13/7/2005

COMUNICAZIONI ELETTRICHE + TRASMISSIONE NUMERICA COMPITO 13/7/2005 COMUNICAZIONI ELETTRICHE + TRASMISSIONE NUMERICA COMPITO 13/7/005 1. Gli esercizi devono essere risolti su fogli separati: uno per la prima parte del compito (esercizi 1/4), uno per la seconda parte (esercizi

Dettagli

ENS - Prima prova in itinere del 07 Maggio 2010

ENS - Prima prova in itinere del 07 Maggio 2010 ENS - Prima prova in itinere del 07 Maggio 0 L allievo é invitato a dare una ragionata e succinta risposta a tutti gli argomenti proposti, per dimostrare il livello di preparazione globale. I calcoli devono

Dettagli

Basi di matematica per il corso di micro

Basi di matematica per il corso di micro Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione

Dettagli

Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a)

Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a) Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B Eventi indipendenti: un evento non influenza l altro Eventi disgiunti: il verificarsi di un evento esclude l altro Evento prodotto:

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 CONTROLLI DIGITALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica SISTEMI A TEMPO DISCRETO Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/members/csecchi Richiami di Controlli

Dettagli

2. Leggi finanziarie di capitalizzazione

2. Leggi finanziarie di capitalizzazione 2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M

Dettagli

Anno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza

Anno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza Anno 3 Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza 1 Introduzione In questa lezione parleremo delle funzioni. Ne daremo una definizione e impareremo a studiarne il dominio in relazione alle diverse

Dettagli

ESTRAZIONE DI RADICE

ESTRAZIONE DI RADICE ESTRAZIONE DI RADICE La radice è l operazione inversa dell elevamento a potenza. L esponente della potenza è l indice della radice che può essere: quadrata (); cubica (); quarta (4); ecc. La base della

Dettagli

1. Distribuzioni campionarie

1. Distribuzioni campionarie Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie

Dettagli

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI

CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni

Dettagli