Numeri complessi. Hynek Kovarik. Analisi A. Università di Brescia. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 1 / 37

Transcript

1 Numeri complessi Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi A Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 1 / 37

2 Introduzione I numeri complessi vengono introdotti perché tutte le equazioni algebriche abbiano soluzione: per es. x = 0 non ha soluzioni x R Le sue soluzioni sono i numeri complessi ± 1. Storicamente, I introduzione dei numeri complessi è legata alle formule risolutive per equazioni di terzo grado ( 500): per le soluzioni di x 3 3px 2q = 0, si ha la formula x = 3 q + q 2 p q q 2 p 3. Essa perde significato quando q 2 p 3 < 0 radice quadrata di un numero strettamente negativo!!! Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 2 / 37

3 Introduciamo l insieme dei numeri complessi C come il più piccolo insieme (campo) che contenga R 1 =: i... quindi C sarà dato dalle combinazioni lineari di numeri reali e di i Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 3 / 37

4 Definizione Chiamiamo unità immaginaria i il numero (complesso) t.c. i 2 = 1. Chiamiamo numero complesso z un oggetto che si scrive nella forma z = a + ib, con a, b R. Il numero reale a è detto parte reale di z. Scriviamo a = Re z ma anche a = Re(z). Il numero reale b è detto parte immaginaria di z; si scrive b = Im z ma anche b = Im(z). Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 4 / 37

5 Forma algebrica di un numero complesso L espressione z = a + ib è detta forma algebrica del numero complesso z. Si scrive anche z = Re z + iim z. Denotiamo con C l insieme dei numeri complessi: C = {a + ib : a R, b R}. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 5 / 37

6 Osservazioni 1 Un numero z = a + ib C è reale se e solo se Im z = 0. 2 Dati due numeri complessi z 1 = Re z 1 + iim z 1 e z 2 = Re z 2 + iiz 2, z 1 = z 2 { Re z1 = Re z 2 Im z 1 = Im z 2. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 6 / 37

7 Identificazione fra C e R 2 Ogni numero complesso z = a + ib si può identificare con la coppia (a, b) R 2 : scriviamo C = R 2. Infatti: 1 C si rappresenta nel piano di Gauss: a ogni complesso z = a + ib si associa il punto P = (a, b) 2 viceversa, a ogni P di coordinate cartesiane a R e b R, si associa il numero complesso z = a + ib. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 7 / 37

8 Operazioni sui numeri complessi - somma: - prodotto: (a + ib) + (c + id) := (a + c) + i(b + d) (a + ib) (c + id) := (ac bd) + i(ad + bc). Infatti, Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 8 / 37

9 - ogni z C \ {0} ha inverso rispetto al prodotto dato da z 1 a = a 2 + b 2 i b a 2 + b 2. - le operazioni somma e prodotto godono della proprietà commutativa, associativa e vale la proprietà distributiva. Esempio Trovare l inverso di z = 2 i3. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 9 / 37

10 L operazione di coniugio Sia z = x + iy C. Il complesso coniugato di z è il numero complesso z = x iy = Re z iim z. Geometricamente: è la simmetria rispetto all asse reale. Proprietà del coniugio z + z = 2Re z, z z = 2i Im z, Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 10 / 37

11 Proprietà del coniugio (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2, (z 1 z 2 ) = z 1 z 2, (z 1 z 2 ) = z 1 z 2, (z 1 ) = z 1, z z = (a + ib)(a ib) = (Re z) 2 + (Im z) 2 0, Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 11 / 37

12 Proprietà del coniugio z = (a + ib) = (a ib) = a + ib = z z = z z R. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 12 / 37

13 Modulo Dato un numero complesso z = a + ib, il suo modulo è il numero reale z = z z = a 2 + b 2. Osservazione: se z R, allora z coincide con il suo modulo=valore assoluto. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 13 / 37

14 Coordinate polari e forma trigonometrica di un numero complesso Il punto z = P R 2 può essere rappresentato in coordinate polari z = (ρ, θ) con ρ : distanza di z dall origine O: ρ = x 2 + y 2 = z ; θ è l angolo (in radianti,verso antiorario), compreso fra l asse delle x e la retta congiungente O con z: è detto argomento di z, θ = argz. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 14 / 37

15 Coordinate polari e forma trigonometrica di un numero complesso Si ha x = ρ cos θ, y = ρ sin θ. Si passa dalla forma algebrica z = x + iy alla sua forma trigonometrica z = ρ(cos θ + i sin θ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 15 / 37

16 Date le coordinate (ρ, θ), il numero z = x + iy risulta univocamente determinato dalle formule x = ρ cos θ, y = ρ sin θ. Viceversa, dato z = x + iy, determino (ρ, θ): - ρ = x 2 + y 2 = z ; - θ è angolo che verifica cos θ = x x 2 + y = x 2 ρ, sin θ = y x 2 + y = y 2 ρ. Queste relazioni NON determinano UNIVOCAMENTE angolo θ (le funzioni cos, sin sono periodiche di periodo 2π, quindi: se θ le verifica, anche θ + 2kπ, k Z, le verifica). Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 16 / 37

17 Formule di De Moivre Dati z 1 = ρ 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ), z 2 = ρ 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) C Si ha z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )] Infatti, [ z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 ] + i(sin θ 1 cos θ 2 + cos θ 1 sin θ 2 ) =... Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 17 / 37

18 Possiamo generalizzare formula per il prodotto a n fattori z 1 z 2... z n ( = ρ 1 ρ 2... ρ n cos(θ1 + θ θ n ) + i sin(θ 1 + θ θ n ) ). In particolare, se tutti i fattori sono uguali: z n = ρ n [cos(nθ) + i sin(nθ)]. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 18 / 37

19 Esempio Scriviamo in forma algebrica (1 + i) 7. Si ha 1 + i = 2, arg(1 + i) = π 4. Pertanto (1 + i) 7 = ( 2) 7 ( cos 7 4 π + i sin 7 4 π ) = 8 8i. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 19 / 37

20 Esponenziale complesso Problema Definire e z C, z C in modo coerente con le proprietà delle potenze. Definizione e z = e Re z [cos(im z) + i sin(im z)] z C. Quindi, se z = x + i y, allora e z = e x (cos y + i sin y). In questo modo è definita la funzione exp : C C. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 20 / 37

21 Esempi e (3 i) = e 3 [cos( 1) + i sin( 1)] = e 3 (cos 1 i sin 1), e 2iπ = e 0 [cos(2π) + i sin(2π)] = 1, e iπ = e 0 (cos(π) + i sin(π)) = 1, quindi e iπ + 1 = 0 Formula di Eulero Per ogni θ R vale e iθ = cos θ + i sin θ Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 21 / 37

22 Funzioni trigonometriche sin e cos in C Sono definite estendendo cos θ = eiθ + e iθ ; sin θ = eiθ e iθ 2 2i θ R ad un qualsiasi z C. Definiamo: cos z = eiz + e iz, sin z = eiz e iz 2 2i In questo modo, otteniamo due funzioni sin : C C, cos : C C.. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 22 / 37

23 Proprietà dell esponenziale complesso: e z 0 z C e z1 e z 2 = e z 1+z 2 z 1, z 2 C, e z e z = 1 z C, e z = e Re z z C, e iθ = e iθ θ R, e iθ = cos 2 θ + sin 2 θ = 1 θ R Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 23 / 37

24 Forma esponenziale di un numero complesso Dalla forma trigonometrica di z C: z = ρ(cos θ + i sin θ) e dalla formula segue e iθ = cos θ + i sin θ z = ρe iθ Forma esponenziale di z C. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 24 / 37

25 La forma esponenziale è molto comoda per i conti, per es., se z 1 = ρ 1 e iθ 1 e z 2 = ρ 2 e iθ 2, allora z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e i(θ 1+θ 2 ), z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e i(θ 1 θ 2 ) (z 1 ) n = ρ n 1e inθ 1. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 25 / 37

26 Esercizio: calcolare (1 + i) 6. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 26 / 37

27 Radice n-esima di un numero complesso Dato z C, chiamiamo radice n-esima (complessa) di z ogni numero w C verificante w n = z. Osservazione: Dato z = ρe iθ, al variare di k = 0,..., n 1, gli n numeri complessi w 0, w 1,..., w n 1 sono radici n-esime di z. w k = re iφ k, r = n ρ, φ k = θ + 2kπ n Infatti [ wk n = n ] n ρ e i(θ+2kπ)/n = ρe i(θ+2kπ) = ρe iθ = z. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 27 / 37

28 Teorema Ogni numero complesso z C, z 0, ha esattamente n radici n-esime distinte w 0, w 1,..., w n 1. Rappresentazione grafica delle radici n-esime: Le n radici w k = re iφ k, r = n ρ, φ k = θ + 2kπ n sono i vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto nel cerchio di centro 0 e raggio r. Ogni radice si ottiene dalla precedente moltiplicando per e 2πi/n, cioè con una rotazione, in senso antiorario, di 2π/n. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 28 / 37

29 Esercizio 1 Determiniamo le tre radici cubiche di 1. Si ha Quindi e w k = 3 1 e iφ k, w 3 = 1 w 3 = 1 e iπ. φ k = π + 2kπ, k = 0, 1, 2, 3 w 0 = 1 2 (1 + i 3), w 1 = 1, w 2 = 1 2 (1 i 3). Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 29 / 37

30 Esercizio 2 Determiniamo le sei radici seste di i. Si ha Quindi w 6 = i w 6 = e i π 2. w k = 6 1 e iφ k, φ k = π 2 + 2kπ 6 = π 12 + k π 3, con k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 30 / 37

31 Polinomi in campo complesso Chiamiamo polinomio in una variabile complessa la funzione P : C C P(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 z C, (1) con a 0, a 1,..., a n numeri complessi assegnati, detti coefficienti del polinomio. Se a n 0, si dice che il polinomio è di grado n. Si chiama radice di P ogni numero complesso w tale che P(w) = 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 31 / 37

32 Principio di identità dei polinomi Siano P e Q due polinomi: essi sono uguali se e solo se sono uguali i coefficienti delle potenze omologhe dei due. Fattorizzazione di polinomi Sia w una radice del polinomio P, di grado n. Allora esiste un unico polinomio Q di grado n 1 tale che P(z) = (z w)q(z), z C. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 32 / 37

33 Teorema fondamentale dell Algebra Ogni polinomio ha in C almeno una radice. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 33 / 37

34 Corollario Sia P un polinomio in C di grado n. Allora P ha esattamente n radici w 1, w 2,, w n e si può fattorizzare come prodotto P(z) = a n (z w 1 )(z w 2 )... (z w n ). Dimostrazione: Sia P il polinomio, dato da (1). Per il teorema fondamentale, esiste almeno una radice w 1 C; per il teorema precedente allora P(z) = (z w 1 )Q 1 (z), dove Q 1 è un polinomio di grado n 1 (unico). Applicando a Q 1 lo stesso ragionamento si trovano w 2 C e un (unico) polinomio Q 2 di grado n 2 tali che Q 1 (z) = (z w 2 )Q 2 (z) da cui P(z) = (z w 1 )(z w 2 )Q 2 (z). Procedendo così n volte si trovano n radici w i, i = 1,..., n, e un polinomio di grado 0 (costante) K, tali che P(z) = K(z w 1 )(z w 2 )... (z w n ). Per il principio di identità dei polinomi, K = a n. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 34 / 37

35 Molteplicità Le radici possono non essere tutte distinte. Chiamiamo molteplicità di una radice r j (e la denotiamo con µ j ) il numero di radici uguali a r j. Quindi, se r 1, r 2,..., r d sono le radici distinte di P di grado n, si ha µ µ d = n = grado(p). Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 35 / 37

36 Esempi 1 Consideriamo z Le sue radici: z 1 = i, z 2 = i. 2 z 5 + z 3 = z 3 (z 2 + 1) = z z z(z i)(z + i). Radici: z 1 = z 2 = z 3 = 0, z 4 = i, z 5 = i. La radice 0 ha molteplicità 3. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 36 / 37

37 Proposizione Sia P un polinomio a coefficienti reali: 1 Se w è una radice (non reale), anche w è una radice, con la stessa molteplicità. 2 In particolare, se il grado del polinomio è dispari, vi è almeno una radice reale. Dimostrazione: Punto (1): Se il polinomio P ha coefficienti reali, si verifica facilmente che P(z) = P(z), per ogni z C. Se w è una radice, allora 0 = P(w) = P(w) = P(w), dunque anche w è una radice. Punto (2): poiché le radici non reali devono viaggiare in coppia, e il totale delle radici (contate con la loro molteplicità) deve dare il grado del polinomio, se vi sono solo radici non reali, allora il grado è pari. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi A 37 / 37