SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7

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1 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7 Esercizio. Funzione da studiare: log( 3).. Dominio: dobbiamo richiedere che il denominatore non si annulli e che il logaritmo sia ben definito. Quindi le condizioni sono { log( 3) 0 3 > 0 ossia { 3 3 > 0. Di conseguenza Dom(f) = { R; 4, > 3} = (3, 4) (4, + ).. Simmetrie e periodicità: la funzione non è né pari né dispari né periodica. 3. Segno e intersezioni con gli assi: il segno della funzione coincide con il segno di log( 3). La disuguaglianza log( 3) > 0 è verificata se e solo se 3 > ossia nell intervallo (4, + ). La funzione è negativa in (3, 4) (osserviamo che la disuguaglianza 3 < è verificata per < 4, ma non ha senso parlare del segno della funzione fuori dal dominio). Ovviamente la funzione non si annulla mai (affinché un rapporto sia nullo si deve annullare il numeratore, che in questo caso è la costante ). Quindi il segno della funzione è descritto dallo schema seguente: f() Comportamento all infinito: la funzione è definita sulla semiretta (4, + ), quindi è necessario studiare il + log( 3). Si tratta del ite di una funzione fratta in cui il numeratore è una costante positiva, mentre il denominatore diverge a +. Ne segue che + log( 3) = 0 e l asse delle è asintoto orizzontale a Limiti nei punti di frontiera del dominio: in questo caso i punti sono = 3, dove è possibile calcolare solo il ite destro (i punti a sinistra di 3 sono fuori dal dominio) e = 4, dove dovremo calcolare sia il ite destro che il ite sinistro. Quando tende a 3 da destra, il termine 3 tende a zero e, di conseguenza, il termine log( 3) diverge a. Ne concludiamo che 3 + log( 3) = 0 e quindi la funzione f() può essere prolungata con continuità in = 3 (che non appartiene al suo dominio naturale) ponendo f(3) = 0. Restano da calcolare i iti in 4. Se tende a 4 da sinistra, il termine log( 3) tende a zero e ha sempre segno positivo, quindi 4 + log( 3) = +. Date: 9 dicembre 05.

2 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7 Se invece tende a 4 da sinistra, il termine log( 3) continua a tendere a zero, ma questa volta ha sempre segno negativo, dunque 4 log( 3) =. La retta verticale = 4 è quindi un asintoto verticale. 6. Crescenza e decrescenza, massimi e minimi: la funzione è derivabile in tutto il suo dominio, quindi si può sempre applicare il test di monotonia (Teorema??). Calcoliamo la derivata prima: f () = 3 (log( 3)) = ( 3)(log( 3)). Il segno della derivata prima è opposto al segno del denominatore (il numeratore è una costante negativa). A sua volta il denominatore è il prodotto di due termini positivi nel dominio della funzione. Quindi la derivata prima della funzione è sempre negativa e, per il test di monotonia, la funzione è decrescente sia in (3, 4) che in (4, + ): f () 3 4 Non ci sono punti stazionari (la derivata prima non si annulla mai). Vediamo la pendenza con cui il grafico della funzione arriva nel punto (3, 0): 3 + ( 3)(log( 3)) =, quindi il grafico della funzione entra in (3, 0) con tangente verticale. 7. Concavità e convessità: calcoliamo la derivata seconda. f () = log( 3) + ( 3) log( 3) 3 ( 3) (log( 3)) 4 = La derivata seconda si annulla se log( 3) =. log( 3) + ( 3) (log( 3)) 3. Per risolvere questa equazione, calcoliamo l esponenziale di ciascun membro: e log( 3) = e 3 = e = 3 + e. Quindi la derivata seconda si annulla per = 3 + e. Lo studio del segno della derivata seconda è sintetizzato nel seguente schema: log( 3) ( 3) [log( 3)] f () e 4 Ne concludiamo che la funzione risulta convessa nell intervallo (3, 3 + e ), ha un flesso in = 3 + e, è concava nell intervallo (3 + e, 4) ed è convessa sulla semiretta (4, + ). 8. Grafico della funzione: il grafico della funzione è disegnato in Figura. Esercizio. Funzione da studiare: log ( + ).. Dominio: dobbiamo imporre che 0 e che l argomento del logaritmo sia strettamente positivo. Ma + > 0 per ogni 0, anzi è vero che () + > per ogni 0. Quindi Dom(f) = R \ {0} = (, 0) (0, + ).

3 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7 3 (3 + e, /) 3 4 Figura. Grafico della funzione. Simmetrie e periodicità: la funzione è pari. Infatti ( f( ) = log + ) ( ) = log ( + ) = f(). Quindi il grafico è simmetrico rispetto all asse delle. 3. Segno e intersezioni con gli assi: per la formula (), l argomento del logaritmo è sempre strettamente maggiore di e quindi la funzione è strettamente positiva: log ( + ) > 0 R \ {0}. Poiché 0 Dom(f), non ci possono essere intersezioni tra il grafico della funzione e l asse delle. 4. Comportamento all infinito: la funzione è definita sulle due semirette (, 0) e (0, + ), quindi è necessario studiare i iti ( log + ), ( log + ) +. In entrambi i casi l argomento del logaritmo tende a, da cui ( + ) ( + ) = 0, log = 0, + log e l asse delle ascisse è asintoto orizzontale sia a + che a. Ricordiamo che il ite a + doveva essere uguale a quello a per motivi di simmetria. 5. Limiti nei punti di frontiera del dominio: sempre per motivi di simmetria, il ite destro e il ite sinistro in 0 (se esistono) devono essere uguali. Quando tende a 0 (sia da destra che da sinistra), il termine + diverge a + e quindi log 0 ( + ) = ( log + ) 0 + = +. Di conseguenza la retta = 0 è asintoto verticale. 6. Crescenza e decrescenza, massimi e minimi: la funzione è derivabile in tutto il suo dominio, quindi si può sempre applicare il test di monotonia. Calcoliamo la derivata prima: f () = + ( ) 3 = ( + ). Il segno della derivata prima è opposto al segno del denominatore (il numeratore è una costante negativa). A sua volta il denominatore è il prodotto di due termini di cui uno ( + ) sempre strettamente positivo e l altro () che cambia segno in 0. Quindi la derivata prima della funzione è positiva (e la funzione è crescente) in (, 0) e negativa (funzione decrescente) in (0, + ). Non ci sono punti stazionari (la derivata prima non si annulla mai).

4 4 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N ( + ) f () 0 7. Concavità e convessità: calcoliamo la derivata seconda. f () = ( + 3 ) ( + 3 ). La derivata seconda è una funzione razionale con numeratore strettamente positivo (è, anzi, maggiore o uguale a ) e denominatore strettamente positivo nel dominio della funzione. Quindi la derivata seconda è sempre positiva nel dominio di f e la funzione risulta convessa nelle semirette (, 0) e (0, + ). Non ci sono punti di flesso f () 0 8. Grafico della funzione: il grafico della funzione è disegnato in Figura. Figura. Grafico della funzione. Esercizio 3. Funzione da studiare:. Dominio: dobbiamo imporre che 0 e che l argomento della radice sia non negativo, ossia { 0, 0. Otteniamo le condizioni { 0,,. Quindi Dom(f) = (, ] [, + ).. Simmetrie e periodicità: la funzione è dispari. Infatti ( ) f( ) = = = f(). Quindi il grafico è simmetrico rispetto all origine. 3. Segno e intersezioni con gli assi: il numeratore è positivo e si annulla per = e =, che sono zeri della funzione. Il denominatore cambia segno nell origine e il segno della funzione è descritto dallo schema seguente f() 0

5 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N Comportamento all infinito: la funzione è definita sulle due semirette (, ] e [, + ), quindi è necessario studiare i iti,. + Siccome la funzione è dispari, deve essere (se i iti esistono) =. + Calcoliamo il ite a +. Siamo in presenza di una forma indeterminata del tipo. Mettiamo in evidenza il termine nella radice e poi portiamolo fuori dalla radice: =. Quando > 0 si ha = (mentre se < 0 si ha = ). Inoltre + = e quindi =, =. + Abbiamo ottenuto che = è asintoto orizzontale per la funzione a +, mentre = è asintoto orizzontale per la funzione a. 5. Limiti nei punti di frontiera del dominio: non ci sono punti di frontiera del dominio che non appartengono al dominio (ricordiamo che e appartengono al dominio e sono zeri della funzione). 6. Crescenza e decrescenza, massimi e minimi: la funzione è certamente derivabile negli intervalli (, ) e (, + ) dove si può applicare il test di monotonia. Calcoliamo la derivata prima per > : f () = =. Sia numeratore che denominatore sono strettamente positivi. Quindi non ci sono punti stazionari e la funzione è strettamente crescente nelle semirette (, ) e (, + ). Inoltre ( f () = ) ( f () = +, ) + cioè la funzione entra a tangente verticale in e. Infine, il punto è un punto di massimo relativo per la funzione, mentre è un punto di minimo relativo. 7. Concavità e convessità: calcoliamo la derivata seconda in (, ) (, + ). f () = + 4 ( ) 3 = ( ) 3/. Il numeratore si annullerebbe nei punti = ± 3. Ma 3 < e < 3, quindi i due valori che annullano il numeratore non appartengono al dominio. La funzione quindi non ha punti di flesso. Il segno della derivata seconda è descritto nel seguente schema ( ) 3/ f ()

6 6 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N Grafico della funzione: il grafico della funzione è disegnato in Figura 3. Figura 3. Grafico della funzione 3 Esercizio 4. Funzione da studiare: f() = + ( ). Dom(f) = (, ) (, + ) f () = + 5 ( ) 3, f () = + 8 ( ) 4. Sottolineiamo che la funzione considerata è una traslazione di h = sull asse delle della funzione studiata nell esercizio precedente, quindi il suo grafico si ottiene traslando di verso destra il grafico di tale funzione. Il grafico della funzione è disegnato in Figura Figura 4. Grafico della funzione 4 Esercizio 5. Funzione da studiare: log( + 3).. Dominio: dobbiamo imporre + 3 > 0 per dare senso al logaritmo. L equazione + 3 = 0 ha soluzioni = 3 e =, quindi Dom(f) = (, 3) (, + ).. Simmetrie e periodicità: la funzione non ha particolari simmetrie e non è periodica. 3. Segno e intersezioni con gli assi: ricordiamo che il logaritmo si annulla in. Quindi gli zeri della funzione risolvono l equazione + 3 = e sono = 5 e = + 5. Osserviamo che < 5 < 3, dunque risulta 5 < 3 e < + 5 <. Inoltre, il logaritmo è strettamente crescente, quindi la funzione che stiamo studiando è positiva quando + 3 > e negativa quando 0 < + 3 <. In conclusione, il segno della funzione è il seguente f() 5

7 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N Comportamento all infinito: la funzione è definita sulle due semirette (, 3) e (, + ), quindi è necessario studiare i iti log( + 3), + log( + 3). L argomento del logaritmo è un polinomio di secondo grado, quindi e, di conseguenza, ( + 3) = + ( + 3) = +, log( + 3) = + log( + 3) = +. Per vedere se c è un asintoto obliquo a + calcoliamo il ite con la regola di L Hôpital: log( + 3) (si tratta del rapporto tra due polinomi con denominatore con grado maggiore del numeratore), da cui si deduce che non c è asintoto obliquo. Notiamo che, utilizzando la sostituzione degli infiniti, si ottiene subito che log( + 3) è asintotico a log( ) = log a + e quindi non ammette asintoto obliquo. Analogamente si mostra che la funzione non ammette asintoto obliquo a. 5. Limiti nei punti di frontiera del dominio: si ottiene che 3 log( + 3) =, = 0 log( + 3) =, + perché in entrambi i casi l argomento del logaritmo tende a zero da destra. Quindi = 3 e = sono asintoti verticali. 6. Crescenza e decrescenza, massimi e minimi: la funzione è derivabile nel suo dominio e negli intervalli (, 3) e (, + ) si può applicare il test di monotonia. Calcoliamo la derivata prima: f () = Il valore =, che annullerebbe il numeratore, non appartiene al dominio. Quindi non ci sono punti stazionari e il segno della derivata prima è il seguente f () 3 7. Concavità e convessità: calcoliamo la derivata seconda. f () = + 3 ( + )( + ) ( + 3) = ( + 3). Il numeratore non ha zeri reali ed è sempre positivo. Anche il denominatore è sempre positivo, quindi la derivata seconda è sempre negativa; concludiamo che la funzione è concava nelle semirette (, 3) e (, + ). 8. Grafico della funzione: il grafico della funzione è disegnato in Figura 5.

8 8 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N Figura 5. Grafico della funzione 5 Esercizio 6. Funzione da studiare: ( + 3)e.. Dominio: non ci sono restrizioni da imporre, quindi Dom(f) = R.. Simmetrie e periodicità: la funzione non ha particolari simmetrie e non è periodica. 3. Segno e intersezioni con gli assi: ricordiamo che l esponenziale non si annulla mai ed è sempre strettamente positivo. Quindi gli zeri della funzione sono = 3 e = 0 e il segno della funzione è il seguente f() Comportamento all infinito: la funzione è definita su tutto l asse reale, quindi è necessario studiare i iti ( + 3)e, ( + + 3)e. Quando tende a, abbiamo il prodotto di un polinomio di secondo grado, che diverge a + e di un esponenziale che diverge anch esso a +. Di conseguenza ( + 3)e = +. Quando tende a +, il polinomio + 3 diverge a +, mentre l esponenziale tende a zero. Per il confronto tra gli infiniti otteniamo ( + + 3)e = 0. Quindi = 0 è asintoto orizzontale a +. Per che tende a sicuramente non c è asintoto obliquo: infatti f() = ( + 3)e = Limiti nei punti di frontiera del dominio: non ci sono punti di frontiera. 6. Crescenza e decrescenza, massimi e minimi. Calcoliamo la derivata prima: f () = ( + 3)e + e ( + 3)e = e ( + 3). Il segno della derivata prima dipende solo dal segno del fattore + 3. Tale polinomio si annulla in = 3 ed in = + 3, che sono punti stazionari. Osserviamo che 3 < 3 < 4, e conseguentemente 3 > 3 e + 3 > 0. Il segno della derivata prima è il seguente f ()

9 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7 9 Quindi = 3 è un punto di minimo, mentre = + 3 è un punto di massimo. 7. Concavità e convessità: calcoliamo la derivata seconda. f () = ( + )e + ( + 3)e = e ( 4). Il segno della derivata seconda coincide con il segno del polinomio 4 ed è il seguente f () Grafico della funzione: il grafico della funzione è disegnato in Figura 6. a b c d a = 3 b = 7 c = + 3 d = + 7 Figura 6. Grafico della funzione 6 Esercizio 7. Funzione da studiare: 3 ( )3 ( + ).. Dominio: non ci sono restrizioni da imporre, quindi Dom(f) = R.. Simmetrie e periodicità: la funzione non ha particolari simmetrie e non è periodica. 3. Segno e intersezioni con gli assi: la funzione è un prodotto di polinomi e si annulla in = e =. Il segno della funzione è il seguente ( ) f() 4. Comportamento all infinito: la funzione è definita su tutto l asse reale, quindi è necessario studiare i iti 3 ( )3 ( + ), + 3 ( )3 ( + ). La funzione è un polinomio di quarto grado con termine di ordine massimo 3 4, quindi 3 ( )3 ( + ) = + 3 ( )3 ( + ) = +. Ovviamente non ci sono asintoti obliqui. 5. Limiti nei punti di frontiera del dominio: non ci sono punti di frontiera. 6. Crescenza e decrescenza, massimi e minimi: calcoliamo la derivata prima. f () = ( ) ( + ) + 3 ( )3 = 3 ( ) ( + 4). Tale polinomio si annulla in = /4 ed in =, che sono punti stazionari. Il segno della derivata prima coincide con il segno di f () /4

10 0 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7 Quindi = /4 è un punto di minimo, mentre = non è un estremo della funzione. 7. Concavità e convessità: calcoliamo la derivata seconda. f () = 3 (( )( + 4) + 4( ) ) = ( )( ). La derivata seconda si annulla in = / e = e il segno è il seguente f () / In corrispondenza di = / abbiamo quindi un punto di flesso a tangente obliqua, mentre per = abbiamo un punto di flesso a tangente orizzontale. 8. Grafico della funzione: il grafico della funzione è disegnato in Figura 7. /4 / Figura 7. Grafico della funzione 7 e +. Esercizio 8. Funzione da studiare:. Dominio: non si deve annullare il denominatore, quindi Dom(f) = (, ) (, + ).. Simmetrie e periodicità: la funzione non ha particolari simmetrie e non è periodica. 3. Segno e intersezioni con gli assi: la funzione è una frazione con numeratore sempre strettamente positivo. Quindi la funzione non si annulla mai e il segno coincide con il segno del denominatore f() Per = 0 si ha = /, intersezione con l asse delle ordinate. 4. Comportamento all infinito: la funzione è definita sulle semirette (, ) e (, + ), quindi è necessario studiare i iti e +, + e +. Quando tende a, e tende a 0 così come /( + ) e si ha e + = 0. Quando tende a +, sia il numeratore che il denominatore divergono. Utilizzando la gerarchia degli infiniti si ottiene e + + = +. Notiamo che, se non ci fossimo ricordati della gerarchia degli infiniti, il ite si sarebbe potuto calcolare facilmente con la regola di L Hôpital. La retta = 0 è asintoto orizzontale a, mentre non ci sono asintoti obliqui a + (sempre per la gerarchia degli infiniti).

11 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N Limiti nei punti di frontiera del dominio: l unico punto di frontiera è =, in cui si devono calcolare ite destro e sinistro. In = si annulla il denominatore, mentre il numeratore resta itato. Quindi la funzione diverge. Osservando il segno della funzione si ottiene e + =, + e + = +. La retta = è un asintoto verticale per f. 6. Crescenza e decrescenza, massimi e minimi: calcoliamo la derivata prima. f () = e ( + ) e ( + ) = e ( + ) ( + ). Il numeratore si annulla in = che è un punto stazionario. Il segno della derivata prima coincide con il segno di f () Il punto = è di minimo relativo. 7. Concavità e convessità: calcoliamo la derivata seconda. f () = [e ( + ) + e ]( + ) ( + )e ( + ) ( + ) 4 = e ( + + ) ( + ) 3. Il polinomio a numeratore ha discriminante negativo, quindi il numeratore è sempre strettamente positivo e il segno della derivata seconda coincide con il segno di ( + ) f () La funzione è quindi concava in (, ) e convessa in (, + ). 8. Grafico della funzione: il grafico della funzione è disegnato in Figura 8. Figura 8. Grafico della funzione 8 Esercizio 9. Funzione da studiare: f() = +. Dom(f) = (, ] [0, ). f () = + +, f () = 4( + ) 3/. Il grafico della funzione è disegnato in Figura 9. Esercizio 0. Funzione da studiare: ( + )e.. Dominio: non ci sono restrizioni da imporre e Dom(f) = R.. Simmetrie e periodicità: la funzione non ha particolari simmetrie e non è periodica. 3. Segno e intersezioni con gli assi: la funzione si annulla per = e ha lo stesso segno di ( + ) f()

12 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7 = / = + / Figura 9. Grafico della funzione 9 Per = 0 si ottiene =, intersezione con l asse delle ordinate. 4. Comportamento all infinito: la funzione è definita su tutta la retta reale e quindi si devono calcolare i iti ( + )e, ( + + )e. Quando tende a, l esponenziale e tende a 0, mentre + diverge a. Il ite si può scrivere nella forma ( + ) e e in questo modo diventa una forma indeterminata del tipo che si risolve con la gerarchia degli infiniti (o con la regola di L Hôpital), ottenendo ( + ( + ) )e = e = 0. L asse delle ascisse è asintoto orizzontale per. Quando tende a +, entrambi i fattori divergono a + e quindi ( + )e = +. Si verifica immediatamente che non ci sono asintoti obliqui per Limiti nei punti di frontiera del dominio: non ci sono punti di frontiera del dominio. 6. Crescenza e decrescenza, massimi e minimi. Calcoliamo la derivata prima: f () = e ( + ) + e = e ( + 3), che si annulla in = 3/ e ha lo stesso segno di / Il punto = 3/ è punto di minimo. 7. Concavità e convessità: calcoliamo la derivata seconda. f () f () = e ( + 3) + e = 4e ( + ). La derivata seconda si annulla in = e ha il seguente segno: f () La funzione è quindi concava nella semiretta (, ) e convessa nella semiretta (, + ). 8. Grafico della funzione: il grafico della funzione è disegnato in Figura 0. Esercizio. Funzione da studiare: log. f () = + log Dom(f) = (0, + ),, f () = log 4 3/.

13 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N / 3/ Il grafico della funzione è disegnato in Figura. Figura 0. Grafico della funzione 0 e e Figura. Grafico della funzione Esercizio. Funzione da studiare: e cos.. Dominio: non ci sono restrizioni da imporre e Dom(f) = R.. Simmetrie e periodicità: la funzione è pari (f( ) = f()). Questo ci permette di studiarla solo per 0 (dove = ) e di ottenere il grafico per negativo utilizzando la simmetria. Quindi d ora in poi considereremo la funzione f() = e cos, Segno e intersezioni con gli assi: la funzione ha lo stesso segno e gli stessi zeri di cos (ricordiamo che cos = 0 per ogni del tipo = π + kπ, k Z) f() π 3 0 π 5 π 7 π 9 π Inoltre f(0) = è la quota dell intersezione con l asse. 4. Comportamento all infinito: la funzione è definita sulla semiretta [0, + ) e per il Teorema?? si ha + e cos = Limiti nei punti di frontiera del dominio: non ci sono punti di frontiera del dominio. 6. Crescenza e decrescenza, massimi e minimi. Calcoliamo la derivata prima: f () = e cos e sin = e (cos + sin ), che si annulla quando cos = sin, ossia per = π 4 + kπ, k N+. Le soluzioni di f () > 0 coincidono con le soluzioni di sin < cos, disequazione che è stata svolta nell Esempio?? a pag.??. Quindi il segno della derivata prima è il seguente f () π 7 4 π 4 π 5 4 π 9 4 π

14 4 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7 3π/4 π/ π/ 3π/4 Figura. Grafico della funzione I punti = 3 4 π + kπ, k N, sono punti di minimo relativo, mentre i punti = 7 4π + kπ, k N, sono punti di massimo relativo. Infine, dal momento che la funzione è pari, = 0 è un punto di massimo (assoluto). Notiamo che in = 0 la funzione di partenza f() = e cos non è derivabile in quanto f +(0) = e f (0) =. 7. Concavità e convessità: calcoliamo la derivata seconda. f () = e (cos + sin ) e ( sin + cos ) = e sin. La derivata seconda ha gli stessi zeri e lo stesso segno di sin f () 0 π π 3π 4π 5π 8. Grafico della funzione: il grafico della funzione è disegnato in Figura. Esercizio 3. Funzione da studiare: cos +sin Ḋom(f) = R, f () = + sin ( + sin ), f cos (sin ) () = ( + sin ) 3. Il grafico della funzione è disegnato in Figura 3. π π π 4π 6 7π 6 Figura 3. Grafico della funzione 3

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