Dualitá. Dualitá p. 1/4

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1 Dualitá Dualitá p. 1/4

2 Dualitá p. 2/4 Dualitá Problema di PL in forma standard max cx Ax = b x 0 Chiamato problema primale. A questo associato un altro problema di PL, detto problema duale: min ub ua c

3 Dualitá p. 3/4 In forma scalare Primale: max n j=1 c jx j n j=1 a ijx j = b i x j 0 i = 1,...,m j = 1,...,n Duale min m i=1 u ib i m i=1 u ia ij c j j = 1,...,n

4 Dualitá p. 4/4 Variabili-vincoli Esiste una stretta relazione tra variabili del primale e vincoli del duale; vincoli del primale e variabili del duale.

5 Dualitá p. 5/4 Continua In particolare: nel primale ci sono n variabili esattamente come nel duale vi sono n vincoli; i coefficienti del j-esimo vincolo del duale coincidono con i coefficienti della variabile x j nei vincoli del primale il termine noto del j-esimo vincolo del duale coincide con il coefficiente di x j nell obiettivo del primale.

6 Dualitá p. 6/4 Continua Nel primale vi sono m vincoli esattamente come nel duale vi sono m variabili; i coefficienti dell i-esima variabile u i del duale coincidono con i coefficienti dell i-esimo vincolo del primale; il coefficiente di u i nell obiettivo del duale coincide con il termine noto dell i-esimo vincolo del primale.

7 Esempio Primale: max x 1 + x 2 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 5 u 1 4x 1 + 5x 2 + x 4 = 4 u 2 x 2 + x 5 = 2 u 3 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 0 Dualitá p. 7/4 Duale: min 5u 1 + 4u 2 + 2u 3 3u 1 + 4u 2 1 x 1 2u 1 + 5u 2 + u 3 1 x 2 u 1 0 x 3 u 2 0 x 4 u 3 0 x 5

8 Dualitá p. 8/4 Relazioni primale-duale Indichiamo con D a = {u R m : ua c} la regione ammissibile del problema duale e con D ott = {u D a : u b ub u D a } l insieme delle sue soluzioni ottime. Le soluzioni dei due problemi primale e duale sono fortemente legate tra loro

9 Dualitá p. 9/4 Continua OsservazionePer ogni x 0 S a e per ogni u 0 D a si ha che cx 0 u 0 b. x 0 S a Ax 0 = b u 0 b = u 0 Ax 0 = (u 0 A)x 0 x 0 S a x 0 0 u 0 D a u 0 A c }{{} x 0 0 (u 0 A)x 0 cx 0

10 Dualitá p. 10/4 Continua OsservazioneSe x S a e u D a ed inoltre cx = u b allora x S ott e u D ott. Dall osservazione precedente si ha che x S a cx u b. Ma essendo cx = u b si ha anche x S a cx cx e quindi x S ott.

11 Dualitá p. 11/4 Continua OsservazioneSe uno dei due problemi ha obiettivo illimitato, allora l altro ha regione ammissibile vuota. obiettivo primale illimitato D a = Per assurdo sia D a e sia u 0 D a. In base alla prima osservazione si ha: x S a cx u 0 b e quindi l obiettivo del primale é limitato dal valore u 0 b, il che contraddice l illimitatezza di tale obiettivo.

12 Dualitá p. 12/4 Continua Problema primale Problema duale Problema duale del duale Problema primale Osservazione: Il duale del problema duale coincide con il problema primale.

13 Dualitá p. 13/4 Soluzioni di base per il duale Base B soluzione di base del primale: x B = A 1 B b x N = 0. Base B soluzione di base del duale: u B = c B A 1 B.

14 Dualitá p. 14/4 Appartenenza a D a Quando questa soluzione di base del duale é ammissibile per il duale? Deve soddisfare i vincoli: o, equivalentemente: u B A c u B A B c B u B A N c N

15 Dualitá p. 15/4 Continua u B A B = c B A 1 B A B = c B, Vincoli soddisfatti se: u B A N = c B A 1 B A N, c N c B A 1 B A N 0 ovvero: ammissibile se tutti i coefficienti di costo ridotto sono non positivi.

16 Dualitá p. 16/4 Valore obiettivo In particolare se c N c B A 1 B A N < 0 soluzione di base del duale u B ammissibile detta non degenere, altrimenti verrá detta degenere. c B x B = c B A 1 B b = ub b, ovvero:le due soluzioni di base rispettivamente del primale e del duale associate alla base B hanno lo stesso valore dell obiettivo

17 Dualitá p. 17/4 Quindi in base ad un osservazione precedente, se entrambe sono ammissibili per i rispettivi problemi, sono anche soluzioni ottime degli stessi problemi.

18 Dualitá p. 18/4 I teorema della dualitá. TeoremaUno dei due problemi ha soluzioni ottime se e solo se anche l altro ha soluzioni ottime. Formalmente, S ott se e solo se D ott. Inoltre, i valori ottimi dei due problemi coincidono. S ott D ott Sia S ott e sia B una base ottima per il problema primale.quindi: x B = A 1 B b x N = 0, é ammissibile per il primale ed inoltre soddisfa la condizione di ottimalitá: c N c B A 1 B A N 0.

19 Dualitá p. 19/4 Continua Ma allora u B = c B A 1 B é ammissibile per il duale. Le due soluzioni di base del primale e del duale associate a B hanno lo stesso valore dell obiettivo ed essendo ammissibili rispettivamente per il primale e per il duale sono soluzioni ottime dei rispettivi problemi. D ott S ott conseguenza immediata della proprietá di simmetria tra primale e duale.

20 Dualitá p. 20/4 Relazioni primale-duale e i valori ottimi coincidono. S ott D ott Se S ott = in quanto l obiettivo primale é illimitato, allora D a =. Per la simmetria tra primale e duale, se D ott = in quanto l obiettivo duale é illimitato, allora S a =. Se S a =, allora D a = oppure l obiettivo duale é illimitato. Per la simmetria tra primale e duale espressa nell Osservazione, se D a =, allora S a = oppure l obiettivo primale é illimitato.

21 Dualitá p. 21/4 Esempio Primale (S a = ) max 2x 1 x 2 x 1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 2 x 1,x 2 0 Duale (D a = ): min u 1 2u 2 u 1 u 2 2 u 1 + u 2 1

22 Dualitá p. 22/4 II teorema della dualitá. TeoremaSi ha che x S ott e u D ott se e solo se x e u appartengono rispettivamente a S a e D a e soddisfano le condizioni di complementaritá, cioé o, in forma scalare: (u A c)x = 0. n j=1 ( m i=1 u i a ij c j )x j = 0.

23 Dualitá p. 23/4 Dimostrazione (u A c)x = 0 u D a, x S a x S ott, u D ott (u A c)x = 0 u Ax = cx. Quindi: x S a Ax = b u b = u Ax = cx x S ott, u D ott

24 Dualitá p. 24/4 Continua x S ott, u D ott (u A c)x = 0 Per il I teorema della dualitá: u b = cx. Quindi: x S ott x S a Ax = b u b = u Ax = cx u Ax cx = 0 (u A c)x = 0

25 Continua In forma scalare: (u A c)x = 0 n j=1 ( m i=1 u ia ij c j )x j = 0. u D a e x S a implicano: m i=1 u ia ij c j 0, x j 0 j = 1,...,n. e quindi: ( m i=1 u ia ij c j )x j 0. Dualitá p. 25/4

26 Dualitá p. 26/4 Continua Quindi: se e solo se: ( m i=1 ( n m u ia ij c j )x j = 0. j=1 i=1 u i a ij c j )x j = 0 j = 1,...,n.

27 Dualitá p. 27/4 Di conseguenza... x j > 0 m u ia ij c j = 0, i=1 m i=1 u ia ij c j > 0 x j = 0,

28 Dualitá p. 28/4 Esempio max x 1 x 2 x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 2x 1 + x 2 + x 4 = 4 x 1,x 2,x 3,x 4 0.

29 Dualitá p. 29/4 Il simplesso duale Nel simplesso primale si genera una successione di basi ammissibili per il primale ma non per il duale fino a raggiungere una base che sia anche ammissibile per il duale (a patto che una tale base esista, a patto cioé che il primale ammetta soluzioni ottime e non abbia obiettivo illimitato). Nel simplesso duale si genera una successione di basi ammissibili per il duale ma non per il primale fino a raggiungere una base che sia anche ammissibile per il primale (a patto che una tale base esista, a patto cioé che il duale ammetta soluzioni ottime e non abbia obiettivo illimitato).

30 Dualitá p. 30/4 Continua Riformulazione del problema primale rispetto alla base B = {x i1,...,x ik,...,x im } ammissibile per il duale: max γ 0 + n m j=1 γ jx im+j x i1 = β 1 + n m j=1 α 1jx im+j x ik = β k + n m j=1 α kjx im+j (1) x im = β m + n m j=1 α mjx im+j x 1,...,x n 0 Ammissibilitá per la soluzione di base del duale: γ j 0 j = 1,...,n m.

31 Dualitá p. 31/4 Verifica di ottimalitá Se o, equivalentemente: A 1 B b 0, β i 0 i = 1,...,m allora la base B é ottima, la soluzione di base del primale x B = A 1 B b x N = 0 é ottima per il primale, mentre la soluzione di base é ottima per il duale. u B = c B A 1 B

32 Dualitá p. 32/4 Verifica di illimitatezza del duale Se esiste un r {1,...,m} tale che β r < 0 α rj 0 j = 1,...,n m, allora si ha S a =. Infatti, dall equazione: x ir = β }{{} r + <0 n m j=1 α rj x im+j }{{}}{{} 0 0 < 0, ovvero: x im+j 0, j = 1,...,n m x ir < 0 S a =

33 Dualitá p. 33/4 Quindi il duale ha obiettivo illimitato (D a = non si puó verificare qui in quanto la soluzione di base del duale associata a B é per ipotesi ammissibile e quindi D a non puó essere vuoto).

34 Dualitá p. 34/4 Cambio di base Se le condizioni di ottimalitá e illimitatezza non sono soddisfatte, si effettua un cambio di base tenendo conto che si vuole: mantenere l ammissibilitá duale; migliorare (ridurre) o quantomeno non peggiorare il valore dell obiettivo duale.

35 Dualitá p. 35/4 Scelta della variabile uscente dalla base Seleziona la variabile x ik tale che β k = min{β i } < 0 (per convenzione quella con indice piú piccolo se il minimo é raggiunto da piú variabili).

36 Dualitá p. 36/4 Scelta della variabile entrante in base Scelta solo tra quelle con α kj > 0. In particolare:si sceglie la variabile x im+h tale che γ { h = min γ } j : α kj > 0. α kh α kj (nel caso il minimo sia raggiunto da piú variabili si sceglie, per convenzione, quella con indice piú piccolo).

37 Dualitá p. 37/4 L algoritmo del simplesso duale Inizializzazione Sia B 0 una base ammissibile per il duale e k = 0. Passo 1- verifica ottimalitá Se soddisfatta la condizione di ottimalitá: STOP. La soluzione di base associata a B k é una soluzione ottima del problema. Altrimenti si vada al Passo 2. Passo 2 - verifica di illimitatezza Se é soddisfatta la condizione di illimitatezza, allora: STOP, si ha S a = e D ott = in quanto il duale ha obiettivo illimitato. Altrimenti si vada al Passo 3. Passo 3 - scelta variabile uscente dalla base Si selezioni la variabile x ik che dovrá uscire dalla base attraverso la regola vista.

38 Dualitá p. 38/4 Simplesso duale Passo 4 - scelta variabile entrante in base Si selezioni la variabile x im+h che dovrá entrare in base attraverso la regola vista. Passo 5 - operazione di cardine Si generi la nuova base B k+1 sostituendo in B k la variabile x ik con la variabile x im+h e si esegua la corrispondente operazione di cardine. Quindi, si ponga k = k + 1 e si ritorni al Passo 1.

39 Dualitá p. 39/4 Miglioramento dell obiettivo Il nuovo valore dell obiettivo, esso é pari a: γ 0 γ h }{{} 0 <0 {}}{ β k α kh }{{} >0 γ 0, e quindi il valore dell obiettivo per la nuova soluzione di base é migliore o quantomeno non peggiore rispetto alla precedente. Se γ h < 0 (cosa certamente vera nel caso non degenere) possiamo anche garantire che il nuovo valore dell obiettivo sia strettamente minore rispetto al precedente.

40 Dualitá p. 40/4 Duale di un problema di PL generico Come per i problemi in forma standard, vi sará una stretta relazione tra le variabili di un problema ed i vincoli dell altro. Piú precisamente avremo, come per la forma standard, che: nel primale ci sono n variabili esattamente come nel duale vi sono n vincoli; i coefficienti del j-esimo vincolo del duale coincidono con i coefficienti della variabile x j nei vincoli del primale; il termine noto del j-esimo vincolo del duale coincide con il coefficiente di x j nell obiettivo del primale.

41 Dualitá p. 41/4 Continua nel primale vi sono m vincoli esattamente come nel duale vi sono m variabili; i coefficienti dell i-esima variabile u i del duale coincidono con i coefficienti dell i-esimo vincolo del primale; il coefficiente di u i nell obiettivo del duale coincide con il termine noto dell i-esimo vincolo del primale.

42 Dualitá p. 42/4 La tabella Rispetto alla forma standard quello che puó cambiare sono i versi delle disequazioni ed i segni delle variabili. Per stabilire questi ci si puó rifare allo specchietto nella seguente tabella. min Table 1: max variabile 0 vincolo variabile 0 vincolo variabile libera vincolo = vincolo variabile 0 vincolo variabile 0 vincolo = variabile libera

43 Dualitá p. 43/4 Esempio min x 1 + 2x 2 + 3x 3 x 1 + x 2 x 3 1 u 1 x 1 2x 2 + x 3 2 u 2 x 1 x 2 x 3 = 4 u 3 x 1 0, x 2 0, x 3 libera max u 1 + 2u 2 + 4u 3 u 1 + u 2 + u 3 1 x 1 u 1 2u 2 u 3 2 x 2 u 1 + u 2 u 3 =3 x 3 u 1 0, u 2 0, u 3 libera

44 Dualitá p. 44/4 Continua Le relazioni tra primale e duale (osservazioni varie, I e II teorema della dualitá, simmetria tra i due problemi) possono essere estesi anche a problemi di PL in forma piú generale e ai loro duali.