Matrici e sistemi. Geometria. Matrici e operazioni tra matrici. Operazioni elementari e riduzione Sistemi lineari Matrici invertibili Determinante

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1 Geometria Matrici e sistemi Operazioni elementari e riduzione Sistemi lineari Matrici invertibili Determinante Politecnico di Torino 1

2 Matrici e sistemi Matrici: definizione e notazioni Somma e prodotto per scalare Prodotto tra matrici e trasposizione Politecnico di Torino 2

3 K Numeri Durante il corso indicherà indifferentemente l insieme dei numeri reali o complessi (campi numerici o campi degli scalari). Quindi gli enunciati contenenti K saranno veri se e solo se lo sono sia per = che =. K K Politecnico di Torino 3

4 Esempio "Se ab, K e a 0, allora ax= bha una sola soluzione in K." è vera, mentre 2 "Se ab, K e a 0, allora ax= bha soluzioni in K." è falsa perchè per K=, a=1, b=-1 non vi sono soluzioni. 7 Definizione di matrice (1/2) Dati m, n interi positivi, una matrice m x nasu è definita assegnando ad ogni coppia (i, j) di numeri interi positivi con 1 i m, 1 j n un elemento a i,j di K, detto elemento di A in posizione i, j oppure elemento di A con indici i, j. K Politecnico di Torino 4

5 Definizione di matrice (2/2) A si può rappresentare sia come insieme indicizzato {a i,j } che come una tabella di numeri. a1,1 a1,2 a1, n a2,1 a2,2 a2, n A = am,1 am,2 a m, n Per evidenziare l appartenenza alla matrice A, porremo a i,j = [A] i,j. 9 Righe e colonne Sia A una matrice m x n : gli elementi di A che hanno stesso primo indice i formano la i-esima riga di A indicata con [A] i gli elementi di A che hanno stesso secondo indice j formano la j-esima colonna di A indicata con [A] j Il primo e il secondo indice si dicono rispettivamente indice di riga e indice di colonna e la matrice A si dice matrice a m righe e n colonne. Osserviamo che le righe di A sono matrici 1 x n e le colonne di A sono matrici m x Politecnico di Torino 5

6 Esempi A = B = C = sono matrici 3 x 3, 2 x 3, 3 x 2 rispettivamente e: [A] 1,3 =1, [B ] 2,2 =5, [C ] 3,1 =0, [A] 2 = 3 1 1, 1 [B] 3 = 4 ( ) 11 Insiemi di matrici e vettori L insieme di tutte la matrici m x n sarà denotato da M m,n. Volendo specificare il campo numerico scriveremo M m,n ( ) o M m,n ( ) a seconda che K = o K=. In particolare gli elementi di M 1,n e di M m,1 si dicono vettori riga e vettori colonna (genericamente vettori ). Nel caso di vettori basta un indice per individuare un elemento Politecnico di Torino 6

7 Matrici quadrate Gli elementi di M n,n = M n si dicono matrici quadrate di ordine n. Se A è quadrata di ordine n, gli elementi [A] i,i formano la diagonale principale di A. Identificheremo sempre M 1, cioè le matrici 1 x 1, con. K 13 Esempi ( 1 0 2) è un vettore riga. è un vettore colonna. è una matrice quadrata di ordine 2 la cui diagonale principale è formata da 2 e Politecnico di Torino 7

8 Matrici e sistemi Definizione di somma Se A, B M m,n, si definisce somma di A e B la matrice A + B M m,n ottenuta sommando gli elementi di A e B con gli stessi indici. In formula: [A + B] i,j = [A ] i,j +[B ] i,j. La somma è un operazione interna dell insieme M m,n Politecnico di Torino 8

9 Esempi Se =, 1 2 0, A B = C = allora: A + B = A + C = Proprietà della somma (1/2) Date comunque A, B, C M m,n abbiamo S1) Associativa: A + (B + C ) = (A + B )+ C S2) Commutativa: A + B = B + A S3) Esistenza elemento neutro: A + O m,n tale che A + O m,n = A S4) Esistenza elemento opposto: A M m,n tale che A + (-A) =O m,n Politecnico di Torino 9

10 Proprietà della somma (2/2) Le proprietà elencate sono immediate dalla definizione di somma, precisando che: O m,n èla matrice m x n con tutti gli elementi nulli; -A è definita cambiando tutti i segni agli elementi di A, cioè [-A] i,j =-[A ] i,j (matrice opposta di A). 19 Osservazioni Possiamo osservare che O m,n e A sono le uniche matrici che soddisfano (S3) e (S4) rispettivamente. Negli esempi precedenti evidentemente C = -A. O m,n si dice matrice nulla m x n e si indica con O quando non vi sia possibilità di equivoco Politecnico di Torino 10

11 Definizione di prodotto per scalare K Se ora α e A M m,n, definiamo il prodotto per lo scalare α di A come la matrice αa M m,n ottenuta moltiplicando ogni elemento di A per α. In formula: [αa] i,j = α[a] i,j. Il prodotto per scalare non è un operazione interna dell insieme M m,n. 21 Esempio Se A = allora: A =, A = Politecnico di Torino 11

12 Proprietà del prodotto per scalare Se A, B M m,n e α, β (P1) α(a + B) = αa + αb; (P2) (α + β)a = αa + βa; (P3) α(βa) = (αβ)a; (P4) 1A = A. K Si verifica facilmente che (-1)A = -A, 0A = O m,n e αo m,n = O m,n per ogni α K 23 Matrici e sistemi 2006 Politecnico di Torino 12

13 Matrici moltiplicabili Se A M m,n e B M n,p (A ha tante colonne quante sono le righe di B ), la coppia ordinata (A,B ) di matrici si dice moltiplicabile. Per una tale coppia possiamo definire il prodotto AB che sarà una matrice m x p. 25 Definizione di prodotto riga per colonna Definiamo dapprima il prodotto nel caso A M 1,n e B M n,1. Se ( ) A = a a a 1 2 n, b1 b 2 B = b n si pone AB = a b + + a b = ab 1 1 n n i i i= Politecnico di Torino 13

14 Esempio Se A = ( 1 0 2), 3 B = 5 4 allora AB = ( 4) = 5 27 Definizione di prodotto tra matrici (1/2) Se A M m,n e B M n,p le righe di A formano con le colonne di B coppie moltiplicabili. Definiamo AB come la matrice il cui elemento di indici i,j di AB è il prodotto della riga i di A e della colonna j di B Politecnico di Torino 14

15 Definizione di prodotto tra matrici (2/2) In formula abbiamo [AB ] i,j = [A] i [B ] j = [A] i,1 [B ] 1,j + [A] i,2 [B] 2,j n [A] i,n [B] n,j = [A] i,k [B] k,j. k= 1 Se le matrici non sono quadrate, tale operazione non è interna, nè ha senso chiedersi se sia commutativa. 29 Esempio Se A =, B = allora: 4 1 AB = Politecnico di Torino 15

16 Verifica dell esempio (1/2) [AB ] 1,1 = = 4 0 ( ) [AB ] 1,2 = = 1 1 ( ) 31 Verifica dell esempio (2/2) [AB ] 2,1 = = 15 0 ( ) [AB ] 2,2 = = 1 1 ( ) Politecnico di Torino 16

17 Matrice identica Definiamo la matrice identica I n M n di ordine n ponendo [I n ] i,j = 1 se i = j 0 se i j Per esempio I 3 = Proprietà del prodotto tra matrici (1/2) Supponendo i prodotti sempre effettuati tra matrici moltiplicabili, abbiamo: Associativa: A(BC ) = (AB )C. Distributiva a sinistra e a destra rispetto alla somma: A(B + C ) = AB + AC e (E + F)G = EG + FG. Distributiva rispetto al prodotto per scalare: A(αB) = (Aα)B = α(ab ) Politecnico di Torino 17

18 Proprietà del prodotto tra matrici (2/2) Se A M m,n Esistenza dell elemento neutro a destra e a sinistra: AI n = I m A = A Annullamento: AO n,p = O m,p e O q,m A = O q,n. 35 Definizione di trasposta Sia A M m,n. La trasposta t A di A èla matrice n x m ottenuta da A scambiando le righe con le colonne. In formula: [ t A] i,j = [A] j,i. Per esempio t = 1 0 L operazione di passaggio alla trasposta si dice trasposizione Politecnico di Torino 18

19 Dati comunque A, B M m,n e α 1) t ( t A) = A 2) t (A + B) = t A + t B e t (α A) = α t A Proprietà della trasposta K 3) Se (A,B) è moltiplicabile anche ( t C, t A) lo è e t (AC) = t C t A Osservazione. La trasposizione, grazie alle proprietà (1) e (2), ci permette di identificare M m,n con M n,m (in particolare M 1,n con M n,1 ) compatibilmente con le operazioni di somma e prodotto per scalare Politecnico di Torino 19

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