FISICA APPLICATA 2 FENOMENI ONDULATORI - 2

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1 FISICA APPLICATA 2 FENOMENI ONDULATORI - 2 DOWNLOAD Il pdf di questa lezione (onde2.pdf) è scaricabile dal sito calvini/tsrm/ 10/10/2017

2 LE ONDE NELLO SPAZIO Finora si è considerata la situazione unidimensionale (1D) di un onda viaggiante lungo l asse x. In realtà le onde si propagano nello spazio tridimensionale e questo fatto permette l introduzione di altre definizioni. Si definisce fronte d onda il luogo dei punti dello spazio in cui l onda ad un assegnato istante ha un determinato valore della fase (totale). Al variare dei valori della fase si ha una classe di superfici nello spazio, le quali viaggiano con la velocità di fase c. Definendo i raggi come le linee perpendicolari ai fronti d onda si stabilisce un collegamento con l ottica geometrica. I raggi, punto per punto, danno la direzione di propagazione dell onda e, quindi, la direzione del vettore c. 2

3 Nel caso di onde propagantisi nello spazio esistono due situazioni abbastanza semplici: quella delle onde piane, caratterizzate da fronti d onda piani e quella delle onde sferiche, caratterizzate da fronti d onda che sono superfici sferiche di raggio progressivamente crescente. Nel caso delle onde piane i raggi risulteranno paralleli, mentre nel caso delle onde sferiche i raggi risulteranno divergenti da un centro, dove presumibilmente si trova localizzata la sorgente dell onda. 3

4 INTENSITÀ DELL ONDA Tutte le onde trasportano energia dalla sorgente verso l esterno. Si definisce intensità I di un onda l energia trasportata dall onda nell unità di tempo attraverso una superficie unitaria disposta perpendicolarmente al verso di propagazione. I ha le dimensioni di potenza su superficie (ossia [I] = W m 2 ) ed è proporzionale al quadrato dell ampiezza. Vale cioè I a 2. (1) Nel caso dei fronti d onda piani (e anche quando si può trascurare la divergenza dei raggi) l intensità I resta costante poiché la stessa potenza attraversa sezioni sempre uguali. Questo vale se i fenomeni dissipativi sono trascurabili. 4

5 LEGGE 1/r 2 PER L INTENSITÀ Invece, nel caso delle onde sferiche la potenza della sorgente nel suo allontanamento dal centro attraversa superfici sferiche di area via via crescente. Sempre sotto l ipotesi che i fenomeni dissipativi siano trascurabili, l intensità I(r) dell onda può essere calcolata in base alla sua definizione come I(r) = P ower 4 π r 2, (2) dove con P ower si indica la potenza emessa dalla sorgente (... localizzata). 5

6 ATTENUAZIONE - LEGGE DI BEER L intensità di un onda che attraversa un mezzo con cui interagisce con perdita di energia (mezzo assorbente) diminuisce progressivamente all aumentare dello spessore x di mezzo attraversato. Il fenomeno è detto attenuazione e la sua quantificazione è espressa dalla legge di Beer I(x) = I exp( α x), (3) dove I è l intensità entrante nel mezzo [I = I(0)], x è lo spessore di mezzo assorbente attraversato ed il fattore α è detto coefficiente di attenuazione lineare (linear attenuation coefficient). 6

7 La quantità I(x) I (o il suo inverso!) viene detta rapporto di attenuazione lineare. Si dice che l onda nell attraversare lo spessore x viene attenuata ad un fattore (o di un fattore!) uguale al rapporto di attenuazione lineare e con questo s intende sempre che dall intensità entrante I si passa all intensità I(x) < I in uscita. Pertanto, se si dice che l intensità viene attenuata di un fattore 3, s intende che I(x) = I 3. La stessa cosa può essere espressa dicendo che l intensità viene ridotta ad 1 3 del valore in ingresso. La legge (3) è governata dall esponenziale che gode della ben nota proprietà exp [ α (x 1 + x 2 )] = exp( α x 1 ) exp( α x 2 ) (4) 7

8 e, pertanto, agisce sull intensità per progressivo abbattimento moltiplicativo nell attraversamento di diversi spessori di uno stesso mezzo assorbente. Se l attraversamento di uno spessore d abbatte l intensità di un fattore 4, l attraversamento di uno spessore 3 d abbatte l intensità di un fattore = 64 e questo significa che in uscita ho 1 64 dell intensità entrante I. Si arriva allo stesso risultato scrivendo 1 64 = (5) In merito alle unità di misura si ha [α] = m 1 nel S.I., ma è frequente l uso dei cm 1 come unità di misura pratica. 8

9 La legge (3) può essere anche scritta come I(x) = I exp ( x ) l att, (6) dove l att = α 1 è detta lunghezza di attenuazione e rappresenta lo spessore di materiale il cui attraversamento produce un abbattimento dell intensità al 37% del valore in ingresso e questo perché si ha e 1 = Si ha [l att ] = m. Bisogna prestare attenzione al fatto che l att è il reciproco di α. Quindi ad un mezzo caratterizzato da un piccolo valore di lunghezza di attenuazione corrisponde un elevato valore di α e, quindi, il mezzo attenua molto. 9

10 COEFFICIENTI DI RIFLESSIONE E RIFRAZIONE Si considerino i mezzi 1 e 2 separati da un interfaccia piana denominata S. Un onda piana di intensità I e proveniente dal mezzo 1 incida sull interfaccia S. In generale, a seguito dell interazione dell onda incidente con S verranno generate due onde piane. Una, detta onda trasmessa (o rifratta) proseguirà nel mezzo 2 ed avrà intensità I t. L altra, detta onda riflessa, viaggerà nel mezzo 1 allontanandosi da S ed avrà intensità I r. Si possono definire i coefficienti adimensionali R e T, rispettivamente detti coefficiente di riflessione e coefficiente di trasmissione in intensità. Varrà I r = R I ; I t = T I con I r + I t = I ; R + T = 1. (7) 10

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12 LEGGI DI SNELL: RIFLESSIONE E RIFRAZIONE Quando il fronte d onda piana proveniente dal mezzo 1 incide sull interfaccia S, dà origine all onda riflessa e all onda trasmessa (o rifratta). L inclinazione dei due nuovi fronti d onda viene definita dalle leggi di Snell in termini di angoli che i vari raggi (raggio incidente, raggio riflesso e raggio rifratto) fanno con la normale ad S. Prima di enunciare le due leggi di Snell, si mostra il comportamento del fronte d onda incidente (velocità c 1 ) mentre dà origine al fronte d onda trasmesso nel mezzo 2, dove la velocità di propagazione è c 2 < c 1. 12

13 In 1 si ha λ 1 = c 1 T, in 2 si ha λ 2 = c 2 T. Il periodo T e la frequenza ν di un onda non dipendono dal mezzo. Se c 1 è maggiore di c 2, allora vale λ 1 > λ 2. Questa costruzione viene ottenuta come applicazione del principio di Huygens (vedi lezione successiva onde3.pdf). 13

14 Sia θ i l angolo di incidenza, ossia l angolo che il raggio dell onda incidente forma con la normale all interfaccia S. La prima legge di Snell dice che l angolo θ r con cui l onda viene riflessa (angolo tra il raggio riflesso e la normale) è uguale all angolo θ i di incidenza. Varrà θ r = θ i. prima legge di Snell (8) La seconda legge di Snell dà l angolo θ t che il raggio trasmesso fa con la normale ad S in base alla seguente relazione sin θ i sin θ t = c 1 c 2 seconda legge di Snell (9) dove c 1 e c 2 sono le velocità dell onda nei mezzi 1 e 2 rispettivamente. 14

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