Teorema 13. Se una sere converge assolutamente, allora converge:

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1 Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi 03: Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale.- Si cosiglia vivamete di fare gli esercizi del testo. Covergeza assoluta e covergeza semplice, criterio per le serie a segi alteri, serie icodizioatamate covergeti, limitazioi dell errore, serie telescopiche. Def. Covergeza assoluta: Se a coverge, si dice che la serie a coverge assolutamete Def. Covergeza semplice: Se la serie a coverge ma a diverge, si dice che la serie a coverge semplicemete. Per esempio, la serie ( ) Leibitz (vedere poco oltre). coverge semplicemete, per il criterio di Teorema 3. Se ua sere coverge assolutamete, allora coverge: se a coverge a coverge Ifatti a = a + a, dove a + = { { a, se a 0 0, se 0, se a < 0 e a 0 a = a, se a < 0. Evidetemete 0 a + a e 0 a a quidi le serie a + e a covergoo; quidi ache a coverge essedo differeza di due serie covergeti. Criterio di covergeza per le serie a segi alteri Teorema 4. Criterio di Leibitz. Sia data ua serie a segi alteri =0 ( ) a,dove ) a > 0, ) a 0, 3) a + a per 0 Allora la serie =0 ( ) a coverge. Ioltre, detta S la somma, vale la limitazioe dell errore: S s a +

2 N.B.: =0 ( ) a = =0 ( ) b co b = a e quidi ache tale serie soddisfa il criterio di Leibitz, ache se la successioe b è egativa e crescete a zero. Cioè, se trovo che la successioe b è ifiitesima e crescete o sigifica che la serie ( ) b o verifichi il criterio di Leibitz, ma sigifica che b è egativa, e b è l opposto di ua successioe a positiva, decrescete a zero, cioè la serie ( ) a co a = b soddisfa il criterio di Leibitz, quidi ache ( ) b coverge, essedo l opposto di ua serie che soddisfa il criterio di Leibitz. ES.. ( ) log(cos( )) a log( ) e la serie diverge assolutamete; la successioe a = log(cos( )) è crescete tedete a zero quidi la serie ( ) a = ( ) ( a ) è semplicemete covergete per Leibitz.. + ( ) questa è ua serie a termii positivi a 3 e la serie coverge, ioltre la somma è / + = 5 3 ( ) + ( ) = log( + ) a 0 quidi maca la codiz. ecessaria di covergeza e la serie diverge. e x 4. Stabilire per quali x R la serie coverge. Per ogi x è serie a termii positivi; applico il criterio della radice: a (x) = e x e x se e x <, cioè x > 0, la serie coverge, se e x >, cioè x < 0, la serie diverge, se e x =, cioè x = 0, o si può cocludere, e devo ricosiderare la serie data: x = 0 : serie divergete a + (è serie armoica), quidi riassumedo la serie coverge per x (0, + ).

3 5. Stabilire per quali x R la serie (x ) log coverge Applico il criterio della radice alla serie dei valori assoluti: a (x) = x x log se x <, cioè 0 < x <, la serie coverge (assolutamete), se x >, cioè x < 0, x >, la serie diverge, se x =, cioè o x = 0 o x =, o si può cocludere, e devo ricosiderare la serie data per tali valori: ( ) x = 0 : serie covergete per Leibitz, log x = : log quidi riassumedo la serie coverge per x [0, ). serie divergete a + (è serie campioe ), N.B. : Il criterio forisce solo ua codizioe sufficiete di covergeza, o è ecessaria. Esempio di serie semplicemete covergete che o soddisfa il criterio di Leibitz: ( ) + ( ) si ha a + a solo per dispari, quidi la serie data o soddisfa Leibitz, ciooostate coverge semplicemete: ifatti poichè a = ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ( ) ) = ( ) cioè a = ( ) b c, si ha facilmete ( ) b c.sempl. per Leibitz e c coverge a coverge semplicemete. Si osservi ioltre che o è lecito passare all asitotico per dedurre la mootoia: a = + ( ) o è mootoa, metre lo è. ES. Dire quati termii della serie occorroo per calcolare la somma co u errore miore di ε = 0 3. ( ) ; basta risolvere la disequazioe < ε, cioè > termii.. ( ) + ; + < ε + > termii. 3

4 Limitazioe itegrale: Se la serie = a a termii positivi coverge a S ed esiste ua fuzioe cotiua f(x) : [, + ), positiva e decrescete tale che f() = a, per, allora vale la limitazioe dell errore S s + f(x)dx Ma si può fare di meglio: ifatti se A = + f(x)dx, si ha s + A + S s + A ; detto s il puto medio dell itervallo [s + A +, s + A ], s = s + A + A +, allora vale la limitazioe dell errore S s A A + Per esempio, se cosidero la serie, allora A =, s = k= + ) = k + ( + + ), e l errore soddisfa S s ( ( + ) ; quidi se voglio approssimare S mediate s co u errore iferiore a ε = 0 3 basta risolvere la disequazioe < ε, cioè. ( + ) Def. Ua serie si dice icodizioatamete covergete se ogi suo riordiameto acora coverge e alla stessa somma. Teorema. i) Le serie icodizioatamete covergeti soo tutte e sole le serie assolutamete covergeti. ii) Se ua serie è semplicemete covergete allora per ogi umero reale L i termii possoo essere riordiati i modo tale che la serie coverga (semplicemete) a L; ioltre i termii possoo essere riordiati i modo tale che la serie diverga a +, o a, o che diverga. 4

5 Def. Serie telescopiche. Soo le serie che il cui termie geerale a si può scrivere come differeza di due termii successivi di ua successioe b, cioè (b b + ). Per tali serie la successioe delle somme parziali è s = b b + e la somma S si calcola facilmete dalla defiizioe: Per esempio, la serie Megoli: S = lim s = b lim b ( + ) = ( + ) =. Per ciascua serie dimostrare che coverge alla somma idicata. ( )( + ) = ifatti a = ( ( ) ( + ) ) e s = ( ( ) ( + ) ) ( ) ( + ) ( + ) ifatti a = ( ) 3 + ( + ) = 9 = ( )+ + ifatti a = ( + ) = 3 3 = 3 6 (queste o soo serie telescopiche...) 0 (x ) = x, se x (, 0) (0, )... Suppoedo oto che 0 x /! = e x per ogi x, dimostrare + = e 3! 5

6 Esercizi (a (4 )(4 ) 6 div.) log(5 + ) (a log ( + ) < /3 3/ = cov.) 3/ 7/6 + 3 ( 3 a /3 cov.) + (a 3 0, div.) ( ) ( a log(e + e /, div.ass., cov.s. per Leib.) ) ( a / cov.) (log ) 4 (a > / div.) si x ( a (x) / cov. (assolut.) per ogi x)! (a cov.) ( + 3)! 3 e ( a 0 cov.) + + cos 3 (a ( + ) cov.) 3/ / 0 xdx (a = cov.) 3 3/ (/ ) ( a 0 cov.) ( e ) (a /, div.) ( e / + ) (a /, div.) ( ) ( si ) ( a /, div.ass., cov.s. per Leib.) ( ) + ( ) div..) ( ) 3/ + ( ) arcta ( cos ) (a = ( ) (cov. sempl. ma o verifica Leib.) (a, cov.)! (a 0 div.) 3! (a 0 div.)! ( a + a 6 e cov.)

7 ( ) (log ) / (a 0 div.) + ) log(( ( + ) ) (a, cov.) ( ) (e ) ( a /, div.ass., cov.s..) oss: Dallo sviluppo di McLauri a = ( ) ( ) 5 (3 log x) = log( + si ) c.sempl.(leib.), + + o( ), da cui + o( ) cov. a cov. sempl. (3 log x)0 (3 log x) se e /3 < x < e /3. (a 0 div.) ( ) ( si ) ( a 6, cov.ass.) 3 ( ) ( a + ( + )! a 0 cov.ass.) ( ) log ( a ( + ) log, cov.ass.) ( ) si 0 ( ( x) = x se x <, x > 3. + ) ( a e cov.) log ( ( + ) a 0 cov.) arcsi (a ( a, div..ass., c.sempl ( Leib.)) div.) 7