FLATlandia. "Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo" (Edwin A. Abbott) Flatlandia 8-22 Maggio 2011

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1 FLTlandia Il testo del problema: "bbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo" (dwin. bbott) Flatlandia 8-22 Maggio 2011 onsiderato un triangolo, acutangolo e isoscele sulla base, si chiami il piede della sua altezza condotta per e si costruisca (motivando la costruzione), dalla stessa parte di, rispetto a, il punto in modo che il triangolo sia simile ad (con i lati e che si corrispondono). 1) imostrare che: a) è perpendicolare a. b) I triangoli F e F, dove F è il punto comune ai segmenti e, sono simili e di conseguenza lo sono anche i triangoli F e F. La retta è parallela a. Il quadrilatero è iscrivibile in una circonferenza. ommento bbiamo ricevuto cinque risposte: due da classi seconde di Licei Scientifici e tre risposte da una stessa classe terza PNI sempre di Liceo Scientifico. Il problema chiedeva innanzi tutto di costruire, partendo da un dato triangolo isoscele acutangolo, un secondo triangolo simile al primo, motivando la costruzione effettuata. Si chiedeva poi di dimostrare quattro diverse proprietà geometriche. Precisamente: a) che un lato del triangolo costruito era perpendicolare alla base del triangolo iniziale; b) che quattro triangoli risultanti dalla costruzione fossero a due a due simili; che la retta congiungente i vertici opposti alle basi dei due triangoli isosceli fosse parallela alla base del primo di essi; che un quadrilatero risultante dalla costruzione fosse iscrivibile in una circonferenza. In quattro delle risposte pervenute il problema viene risolto in tutte le sue parti in modo sufficientemente corretto (salvo alcune imprecisioni sia nella costruzione che nelle diverse dimostrazioni), mentre nella restante risposta non si fornisce un adeguata motivazione della costruzione effettuata. obbiamo di nuovo ribadire la necessità di distinguere tra un ente geometrico e la sua misura (in particolare tra un angolo e la misura della sua ampiezza).

2 Sono pervenute risposte dalle seguenti Scuole: LS on Milani, Montichiari (S) LS Pitagora, Rende (S) LS G. Spezia, omodossola (NO) NOT. Nelle soluzioni riportate, le correzioni, le aggiunte o i commenti sono scritti fra parentesi quadre. on doppia parentesi quadra vengono indicate le parti omesse. Soluzioni laudio onadoni, Nicola Picenni, lasse 2 Liceo Scientifico on Milani, Montichiari (S) Sia H [H] l'altezza (e mediana) del triangolo relativa a []. Tracciando l'asse del segmento (passante per il suo punto medio K), sia un punto su tale asse in modo che: : = H : K [come si costruisce il punto?] Il triangolo è isoscele poiché, appartenendo all'asse di [], è equidistante da e. I triangoli K e H sono simili per il 2 criterio di similitudine poiché hanno : K ˆ H ˆ [[=90 ]] [di ampiezza pari a 90 ] e : = H : K cioè H : K = H : K. 2 2 Quindi H ˆ ˆ K [[=α]] [e indichiamo con α la loro ampiezza comune]. Poiché il triangolo è isoscele ˆ = ˆ [[=α]] [e la loro ampiezza vale α]. nche il triangolo è isoscele per dimostrazione precedente e quindi ˆ ˆ [[=α]] [e la loro ampiezza vale α]. llora i triangoli e sono simili per il 1 criterio di similitudine poiché hanno : ˆ ˆ ˆ = ˆ [[=α]] [tutti di ampiezza α]. a) ˆ = 180 ˆ ˆ = 180 α 90 = 90 α ˆ = ˆ ˆ = α ( 90 α ) = 2α 90 ˆ = ˆ ˆ = α ( 2α 90 ) = 90 α ˆ = ˆ + ˆ + ˆ = 90, per cui è perpendicolare ad.

3 b) I triangoli F e F sono simili per il 1 criterio di similitudine poiché hanno : F ˆ F ˆ (perché opposti al vertice) ˆ ˆ [[ = 180 2α ]] [di ampiezza pari a 180 2α] (perché i triangoli e sono simili). Quindi F : F = F : F. llora i triangoli F e F sono simili per il 2 criterio di similitudine poiché hanno : F ˆ F ˆ (perché opposti al vertice) e F : F = F : F, per cui F ˆ Fˆ [[ = α]] [e la loro ampiezza vale α]. llora la retta è parallela alla retta perché si formano angoli alterni interni congruenti ˆ ˆ [[ = α]] con la trasversale. ( ) Quindi, se //, essendo per dimostrazione precedente, e ˆ = 90. nche ˆ = 90 perché per ipotesi. llora ˆ + ˆ = = 180 e ˆ + ˆ = 360 ( ˆ + ˆ ) = = 180 Quindi il quadrilatero è inscrivibile [in una circonferenza] perché ha gli angoli opposti supplementari. Maria ragona, Simona Foglia, Martina Rovella, lasse 2 Liceo Scientifico Pitagora, Rende (S) Si costruiscono due circonferenze di raggio aventi centro rispettivamente in e. Si uniscono i punti ed L [questo punto non è segnato in figura] e si costruisce la circonferenza di raggio L e centro P (intersezione della seconda circonferenza con l altezza ) [anche questo

4 punto non è segnato in figura]. Si ottiene il punto S [anche questo punto non è segnato in figura] poiché in circonferenze uguali a corde congruenti corrispondono angoli al centro congruenti essendo L PS allora. [Prolungando S] Si incontra [si determina] il punto [intersezione della retta S con] [[sul]]l asse di e si costruisce il triangolo isoscele perché hanno due angoli congruenti. a) Osserviamo il triangolo. sso è retto in poiché è perpendicolare ad per costruzione. Quindi gli angoli ˆ e Ĉ sono complementari. sua volta l angolo ˆ è congruente ad Ĉ per dimostrazione precedente. ssendo quindi gli angoli Ĉ e Ĉ complementari e consecutivi avremo Ĉ [[ ]] di ampiezza pari a, dunque è perpendicolare a. b) F Osserviamo i triangoli F e F. ssi hanno perché opposti al vertice e per dimostrazione precedente. [Quindi i due triangoli sono ] Ora osserviamo i due triangoli F e F. In essi [per il precedente risultato] si verifica la proporzione

5 F:F = F:F Utilizzando la proprietà del permutare dei medi, si verifica quindi la proporzione F:F = F:F [Inoltre gli angoli F e F sono congruenti perché ] I due triangoli sono dunque simili, e quindi abbiamo e. F O H T La retta risulta essere parallela a poiché gli angoli e sono coniugati interni supplementari per la dimostrazione che segue: - l angolo - -Osserviamo ora i triangoli T e. Il primo è retto in T e il secondo in. ssi hanno anche l angolo in comune dunque. -Il triangolo H è [[congruente]] [simile] a T e quindi [[congruente]] [simile] anche a. Quindi gli angoli e sono coniugati interni supplementari per somma di angoli congruenti [basta osservare che gli angoli e hanno entrambi ampiezza pari a ]. Infine [[ ]] [ha ampiezza pari a ] poiché è il piede della perpendicolare e allo stesso tempo l angolo [[ ]] [ di ampiezza pari a ] per dimostrazione precedente. vendo dunque il quadrilatero una coppia di angoli opposti supplementari e congruenti, esso risulterà inscrittibile in una circonferenza.

6 Paolo Timponelli, lasse 3 PNI Liceo Scientifico G. Spezia, omodossola (NO) r i M G onsidero il triangolo e il suo angolo esterno G. Poiché è un'altezza, l'angolo è retto, quindi l'angolo esterno G è formato dalla somma di un angolo retto più la misura dell'angolo (per il teorema dell'angolo esterno). Se traccio da la perpendicolare r al segmento per differenza ottengo che l'angolo compreso tra la retta contenente e la retta r è congruente all'angolo. Poiché il triangolo è isoscele per ipotesi anche un triangolo simile ad sarà isoscele. Quindi il vertice si troverà nell'intersezione tra l'asse di e la retta r. Unisco il punto con il punto e il triangolo è simile al triangolo per il secondo criterio di similitudine generalizzato, sono infatti entrambi triangoli isosceli con un angolo alla base congruente ( congruente a ). a) Il segmento è perpendicolare a per costruzione. b) j F i M I triangoli F e F sono simili poiché hanno F congruente a F poiché angoli corrispondenti di triangoli simili e F congruente a F poiché angoli opposti al vertice (per differenza F e F devono essere [[per forza]] congruenti perché la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre un angolo piatto). In particolare è il corrispondente di, F è il

7 corrispondente di F ed F è il corrispondente di F. I triangoli F e F sono simili perché hanno F congruente a F perché opposti al vertice e hanno i lati F ed F e F e F in proporzione [[perché]] [per quanto] appena dimostrato. In particolare l'angolo F è congruente all'angolo F. onsidero gli angoli, F e. è congruente a F per la dimostrazione [in] b), ma è congruente a perché angoli alla base di triangoli isosceli simili. Quindi per la proprietà transitiva [della relazione di congruenza] è congruente a F, e quindi, visto che le due rette tagliate dalla trasversale formano angoli alterni interni congruenti, allora sono parallele. Il poligono [quadrilatero] è inscrivibile in una circonferenza perché ha gli angoli opposti supplementari. Infatti l'angolo è retto ( perpendicolare a, parallelo ad quindi perpendicolare ad ) e l'angolo è retto per ipotesi. Per differenza anche e devono essere supplementari. Tobia Mariotto, lasse 3 PNI Liceo Scientifico G. Spezia, omodossola (NO) hiamo H il punto medio di. Traccio la perpendicolare a passante per H. ssendo H il punto medio di, H è congruente a H e a H, infatti il punto medio dell ipotenusa di un triangolo rettangolo coincide con il suo circocentro. a ciò deriva che K è congruente a K, infatti il piede della perpendicolare condotta dal vertice di un triangolo isoscele alla sua base coincide sempre con il suo punto medio. Traccio poi la perpendicolare al segmento H passante per e chiamo il punto di intersezione tra la retta passante per H e quella passante appena tracciata. L angolo H Mˆ è congruente all angolo H Ĉ poiché angoli alla base del triangolo isoscele H. ˆ + Ĉ + ˆ = [[P]] [180 ], ma ˆ = [[R]] [90 ] [[e P=2R]], quindi ˆ + Ĉ = [[R]] [90 ]. Ma anche H ˆ + ˆ = [[R]] [90 ], ma Ĉ è congruente a H ˆ, quindi ˆ + Ĉ = [[R]] [90 ], quindi ˆ = [[R]] [90 ] Ĉ, ma anche ˆ = [[R]] [90 ] Ĉ, quindi ˆ è congruente a ˆ. nalogamente si può dimostrare che l angolo Ĉ è congruente ad Ĉ, ma l angolo ˆ è congruente ad Ĉ, quindi l angolo Ĉ è congruente a ˆ, quindi il triangolo tracciato è isoscele e simile a quello di partenza.

8 a) Il triangolo è simile al triangolo H poiché hanno entrambi un angolo retto rispettivamente in e in H e hanno ˆ congruente a Ĉ poiché angoli alla base del triangolo isoscele. Poiché Ĥ + HĈ + H = [[P]] [180 ] e Ĥ = [[R]] [90 ], [segue che] HĈ+HÂ= [[R]] [90 ]. Però Ĉ è congruente ad HĈ per [[ipotesi]] [la precedente costruzione] e, come appena dimostrato H è congruente a Ĉ, quindi Ĉ + Ĉ = [[R]] [90 ], [[quindi]] [di conseguenza] è perpendicolare a. b)  è congruente a Ê per ipotesi, gli angoli in F [ Fˆ e Fˆ ] sono congruenti poiché opposti al vertice,quindi anche ˆ F è congruente a ĈF, quindi F è simile a F, in particolare F:F = F:F, quindi, poiché i lati sono in proporzione e gli angoli in F [F e F] sono congruenti poiché opposti al vertice, F è simile a F. H è congruente ad Ĉ poiché alterni interni delle parallele H ed tagliate da, ma H è anche congruente a HÊ, quindi HÊ è congruente a Ĉ, quindi G è isoscele, analogamente si dimostra che anche GH è isoscele. Inoltre, poiché Ĥ è congruente a ĈH, [[per differenza di figure congruenti]], [perché?] ĜH è congruente a Ĝ, quindi, poiché G, GH, G e G sono congruenti, le diagonali del quadrilatero H si bisecano, quindi il poligono è un parallelogramma e più precisamente un rettangolo, poiché ha due angoli retti, quindi è parallelo a. L angolo in [ ˆ ] è retto, ma lo è anche Ê, quindi ˆ + Ê = 180, ma poiché la somma degli angoli interni di un quadrilatero è sempre [[2P]] [360 ], quindi  + Ĉ = [[P]], [180 ], quindi il poligono è inscrivibile in una circonferenza.

9 Tommaso Forni, lasse 3 PNI Liceo Scientifico G. Spezia, omodossola (NO) ostruire un angolo congruente a sul lato tracciando una circonferenza di centro e intersecandola con la circonferenza di centro W e raggio XY. Il punto è dato dall'intersezione della retta Z e l'asse del segmento. I due triangoli sono simili poiché entrambi isosceli (vertice sull'asse della base) e i loro angoli alla base sono somme di angoli congruenti. a) L'angolo è congruente alla somma di e [perché?] ed è retto poiché H [perché?] e + H = 90. b) I triangoli F e F sono simili poiché hanno una coppia di angoli opposti al vertice e [l angolo] congruente a per la similitudine dei triangoli e. nche i triangoli F e F sono quindi simili (angoli opposti al vertice, lati proporzionali per la similitudine appena dimostrata). L'angolo è congruente alla somma di e F. Siccome 2* e F F per la similitudine dei triangoli F e F l'angolo risulta congruente a e quindi retto. Le rette ed sono perpendicolari ad una stessa retta () e quindi parallele. [Gli angoli] e sono retti e quindi supplementari. e sono supplementari perché essendo H la loro somma è congruente a due angoli retti. Il quadrilatero è inscrivibile perché ha gli angoli opposti supplementari.