STUDIO DI UN ROTORE OPERANTE IN CAMPO LINEARE ELASTICO

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1 STUDIO DI UN ROTORE OPERANTE IN CAMPO LINEARE ELASTICO Corso di Costruzione di Macchine 4 Titolare del corso: Prof. Ing. Vincenzo Vullo Studenti: Leonardo Di Stefano Claudio Donati Luca Lerario ANNO ACCADEMICO 2009/2010

2 Indice Introduzione Dati caratteristici del rotore Studio analitico Studio numerico del rotore secondo il metodo di Manson Determinazione dell interferenza di montaggio Conclusioni I

3 Introduzione L obiettivo di questo lavoro è quello di analizzare l andamento delle tensioni in un rotore sollecitato in campo lineare elastico da una distribuzione di tensione al raggio interno ed al raggio esterno, soggetto al campo centrifugo ed al campo termico. Del rotore in questione sono note le dimensioni del mozzo e della corona, mentre per il profilo del disco è stata scelta una legge di variazione iperbolica. Lo studio è stato affrontato sia da un punto di vista analitico, risolvendo le equazioni generali del disco, che da un punto di vista numerico, mediante il metodo di Manson. In entrambi i casi è stato utilizzato il software Matlab, con il quale è stato realizzato un codice di calcolo. Inoltre si è anche provveduto a valutare il valore dell interferenza presente tra albero e disco in condizioni operative e di montaggio, verificando che in quest ultimo caso le tensioni presenti siano inferiori a quella ammissibile. 1

4 Dati caratteristici del rotore 1 Dati caratteristici del rotore Le dimensioni caratteristiche del rotore risultano essere le seguenti: r c = 320 mm; r e = 280 mm; r i = 100 mm; r m = 60 mm; h c = 80 mm; h m = 120 mm; h i = 60 mm; h e = 20 mm. Figura 1.1: rotore studiato Il materiale di cui è costituito il rotore è un acciaio AISI 1060, le cui caratteristiche termoelastiche sono: modulo di Young E = MPa; coefficiente di Poisson ν = 0.3; densità γ = 7800 kg/m 3 ; tensione di snervamento σ s = 480 MPa; tensione di rottura σ r = 620 MPa; coefficiente di dilatazione termica α = K -1. Sono anche noti i valori delle tensioni al raggio interno ed esterno del rotore. 2

5 Dati caratteristici del rotore La tensione al raggio interno equivale alla pressione residua derivante dall accoppiamento forzato ed è pari a σ rm = -10 MPa. La tensione al raggio esterno è rappresentativa dell effetto centrifugo relativo alla palettatura ed è pari a σ rc = 40 MPa. Il rotore ha una velocità di rotazione pari a n = 6000 giri/min. Esso è inoltre soggetto ad un campo termico tale che la differenza di temperatura tra il raggio esterno ed interno del disco risulti 100 K; la temperatura sull asse è assunta pari a quella di riferimento, ovvero K. L andamento di temperatura considerato è il seguente: (1) dove n è stata supposta arbitrariamente pari a 2.5, T 0 è la temperatura all asse, mentre k è la costante ricavata dalle condizioni al contorno relative alla differenza di temperatura vigente nel rotore. Si precisa che su corona e mozzo la temperatura risulta costante e pari a quella delle interfacce con il disco. Si ha k = 2609 K m -n, mentre T 0 risulta pari alla temperatura di riferimento. 420 Andamento della temperatura lungo il raggio del rotore 400 Temperatura [K] Raggio del rotore [mm] Figura 1.2: andamento della temperatura lungo il raggio del rotore Per quanto riguarda il valore dello spessore lungo il raggio, la legge di variazione è la seguente: (2) 3

6 Dati caratteristici del rotore dove le costanti che compaiono nella (2) sono state ricavate imponendo come condizioni al contorno il valore dello spessore al raggio interno ed esterno del disco. Pertanto si ha che a = e C = m -a. 50 Profilo iperbolico del disco h/2 [mm] Raggio [mm] Figura 1.3: profilo iperbolico del disco 60 Andamento del profilo del rotore h/2 [mm] ρ rotore Figura 1.4: andamento del profilo del rotore 4

7 Studio analitico 2 Studio analitico Ai fini del calcolo analitico dello stato tensionale e degli spostamenti è possibile schematizzare il rotore come tre differenti dischi. Il mozzo e la corona sono considerati come dischi forati di spessore costante, mentre il disco viene studiato come disco forato di profilo iperbolico; a tal fine è necessario garantire l equilibrio e la congruenza tra le parti costituenti il rotore. Le espressioni relative allo stato tensionale e agli spostamenti radiali per il disco a spessore costante sono: (3) dove: (4) mentre A e B sono ricavabili dalle condizioni al contorno. Le espressioni relative allo stato tensionale e agli spostamenti radiali per il disco a profilo iperbolico sono: 5

8 Studio analitico (5) dove: (6) mentre A e B sono ricavabili dalle condizioni al contorno. Per risolvere il problema elastico occorre impostare un sistema tra le relazioni precedentemente riportate specializzate per le tre parti del rotore. A tal fine saranno indicate con i pedici m, d, c le grandezze rispettivamente relative a mozzo, disco e corona. In particolare per i raggi adimensionali si usa la seguente notazione: (7) 6

9 Studio analitico Le tensioni e gli spostamenti possono essere calcolati una volta note le costanti di integrazione A e B per i tre tratti del disco; per determinare queste sei incognite, oltre ad imporre le condizioni al contorno per le tensioni radiali al raggio interno del mozzo ed esterno della corona, è necessario imporre l equilibrio e la congruenza alle interfacce dei tratti adiacenti del rotore. Pertanto il sistema che si ottiene risulta: (8) (9) (10) (11) 7

10 Studio analitico (12) (13) La (8) è relativa alla condizione al contorno al raggio interno del mozzo. Analogamente la (11) è relativa alla condizione al contorno al raggio esterno della corona. La (9) e la (10) rappresentano rispettivamente le condizioni di equilibrio e congruenza all interfaccia mozzo-disco. Infine la (12) e la (13) rappresentano rispettivamente le condizioni di equilibrio e congruenza all interfaccia disco-corona. Risolvendo il sistema mediante il codice realizzato nel linguaggio Matlab è stato, quindi, possibile definire l andamento delle tensioni e degli spostamenti in tutto il rotore riportati di seguito: 0.5 Andamento degli spostamenti radiali nel rotore 0.45 Spostamenti radiali u [mm] ρ rotore Figura 2.1: spostamenti radiali nel rotore 8

11 Studio analitico Andamento delle tensioni circonferenziali e radiali in tutto il rotore σ r σ c 250 Tensioni [MPa] ρ rotore Figura 2.2: tensioni radiali e circonferenziali nel rotore La validità dei risultati ottenuti è riscontrabile dal fatto che gli spostamenti risultano continui, mentre le tensioni radiali rispettano le condizioni al contorno ai raggi estremali e la condizione di equilibrio alle interfacce data dalla relazione: (14) Le discontinuità delle tensioni in corrispondenza delle interfacce sono da ricondurre al fatto che lo spessore in tali punti presenta una discontinuità del primo tipo. Per quanto riguarda la verifica di sicurezza, la tensione ideale è stata calcolata secondo il criterio di Von Mises e risulta sempre inferiore a quella di snervamento come riportato nel grafico seguente: 9

12 Studio analitico 500 Andamento della tensione equivalente calcolata secondo Von Mises Tensioni [MPa] σ VON MISES σ SNERVAMENTO ρ rotore Figura 2.3: confronto tra la tensione di snervamento e la tensione ammissibile Il coefficiente di sicurezza, relativo allo stato tensionale massimo, che corrisponde all intradosso, risulta pari a

13 Studio numerico del rotore secondo il metodo di Manson 3 Studio numerico del rotore secondo il metodo di Manson Il metodo di Manson si basa sulla scrittura delle equazioni di equilibrio e di congruenza mediante il metodo alle differenze finite implicito, discretizzando il rotore in n tronchi ed n+1 raggi. Per ogni tronco è possibile scrivere due equazioni del tipo:,,,,,,,, (15) dove le costanti risultano: (16) 11

14 Studio numerico del rotore secondo il metodo di Manson Il problema riscritto in forma matriciale diventa: Si può notare che nel vettore delle incognite non compaiono la tensione radiale al primo ed all ultimo raggio. Esse, infatti, sono note e compaiono nel vettore dei termini noti. Risolvendo il problema matriciale con il codice di calcolo realizzato si ottengono i seguenti andamenti di tensione: Andamento delle tensioni circonferenziali e radiali nel rotore calcolate col metodo di Manson 350 σ c 300 σ r 250 Tensioni [MPa] ρ rotore Figura 3.1: tensioni radiali e circonferenziali ottenute con il metodo di Manson Confrontando questi andamenti con quelli ottenuti per via analitica si ottiene uno scarto percentuale massimo inferiore al 4% sulle tensioni circonferenziali e del 2% su quelle radiali. 12

15 Studio numerico del rotore secondo il metodo di Manson Di seguito si riporta un grafico che mette a confronto i due metodi: 350 Confronto delle tensioni calcolate col metodo di Manson e per via analitica Tensioni [MPa] σ r ANALITICA σ c ANALITICA σ r MANSON σ c MANSON ρ rotore Figura 3.2: confronto tra la soluzione analitica e quella numerica 13

16 Determinazione dell interferenza di montaggio 4 Determinazione dell interferenza di montaggio A partire dal valore della pressione residua fornito, è stato possibile calcolare il valore del momento torcente trasmissibile e la corrispondente potenza, mediante le relazioni: (17) dove f è il coefficiente d attrito (assunto pari a 0.2) e c è un fattore di maggiorazione che consente di effettuare il calcolo in sicurezza (assunto pari a 1.25). Il momento torcente risulta pari a 4343 Nm mentre la potenza è pari a 2729 kw. Per il calcolo dell interferenza è necessario valutare la pressione di forzamento. A tal fine è stata simulata anche la presenza dell albero, considerando quest ultimo pieno. Pertanto è stato considerato che, fino a quando l interferenza garantisce la trasmissione del momento torcente, albero e mozzo si comportano come un unico corpo; per valutare lo stato tensionale si considera che il tronco di albero su cui è montato il disco possa considerarsi in stato di tensione piana e che albero e rotore formino un unico disco pieno. Avvalendosi della suddivisione del rotore già utilizzata in precedenza, con l accortezza che il primo disco è pieno, il che comporta dover imporre gli spostamenti radiali all asse nulli, è stato calcolato lo stato tensionale del rotore. A questo punto è possibile valutare la tensione radiale in corrispondenza del raggio che rappresenterebbe l interfaccia tra l albero ed il mozzo. Questa tensione, sommata algebricamente alla pressione residua, fornisce il valore della pressione di montaggio, dalla quale è possibile valutare l interferenza tramite la seguente relazione: (18) L interferenza radiale risulta pari a m mentre quella relativa, data dal rapporto tra l interferenza radiale ed il raggio di forzamento, è pari a La corrispondente pressione di montaggio all interfaccia è pari a 115 MPa; essa risulta inferiore alla tensione ammissibile, pertanto anche la verifica a fermo è soddisfatta. In funzione dell interferenza calcolata si è proceduto con la determinazione del tipo di accoppiamento forzato consultando le tabelle UNI dedicate. Il suddetto accoppiamento risulta essere del tipo 120 h6/u7 quindi si trova al limite superiore della classe di accoppiamenti a caldo. Tuttavia, come riportato su manuali tecnici, gli accoppiamenti 14

17 Determinazione dell interferenza di montaggio tipici per queste applicazioni risultano al massimo della tipologia h6/s7; questa incongruenza si potrebbe imputare alla schematizzazione utilizzata per il calcolo della pressione a fermo. Infatti l albero è stato considerato come un solido in stato piano di tensione piuttosto che come uno in stato piano di deformazione. 15

18 Conclusioni 5 Conclusioni Lo studio dello stato tensionale del rotore in esame, soggetto a campo centrifugo, termico e a pressioni interne ed esterne, è stato effettuato per via analitica, risolvendo il problema dell equilibrio elastico, e per via numerica, secondo il metodo di Manson. I risultati ottenuti nei due procedimenti sono sovrapponibili, pertanto è stato possibile validare la procedura numerica utilizzata. La verifica di resistenza in funzionamento ha dato esito positivo in quanto la tensione ideale, valutata secondo il criterio di Von Mises, risulta sempre inferiore alla tensione ammissibile. In funzione della pressione residua fornita, è stata valutata l interferenza relativa all accoppiamento forzato tra albero e rotore. Infine è stato verificato che lo stato tensionale dovuto al forzamento si mantenga inferiore alla tensione ammissibile. 16