Registro di Istituzioni di Matematica /17 - F. Demontis 2

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1 Registro delle lezioni di ISTITUZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA 2 Corso di Laurea in Chimica 6 CFU - A.A. 2016/2017 docente: Francesco Demontis ultimo aggiornamento: 8 giugno Mercoledì 01/03/2017, ore: 2(2) Introduzione al corso. Equazioni differenziali: definizione, terminologia e esempi. Classificazione delle equazioni differenziali (per ordine, tipo [ODEs vs PDEs]). Equazioni differenziali lineari. Importanza delle ODEs e modelli differenziali. Integrazioni diretta di equazioni differenziali del primo ordine della forma y = f(t). 2. Giovedì 02/03/2017, ore: 2(4) Integrazioni diretta di equazioni differenziali della forma y = f(t). Enunciato (senza dimostrazione) del teorema di esistenza e unicità per problemi di Cauchy in forma normale del primo ordine e esempi di applicazione del teorema. Risoluzione di equazioni a variabili separabili (del primo ordine). 3. Mercoledì 08/03/2017, ore: 2(6) Equazioni differenziali lineari del primo ordine: esempi, formula risolutiva e esercizi. Equazioni omogenee del primo ordine e loro risoluzione. 4. Giovedì 09/03/2017, ore: 2(8) Esercizi sulle equazioni omogenee del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: terminologia ed esempi. Funzioni linearmente indipendenti su un intervallo: Definizione ed esempi. Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine: Principio di sovrapposizione (con dimostrazione) e struttura della soluzione generale. Struttura della soluzione generale di un equazione differenziale lineare non omogenea del secondo ordine (con dimostrazione).

2 Registro di Istituzioni di Matematica /17 - F. Demontis 2 5. Mercoledì 15/03/2017, ore: 2(10) Funzioni linearmente indipendenti su un intervallo. Wronskiano di due funzioni e criterio per stabilire l indipendenza lineare di due funzioni su un intervallo. Risoluzione di equazioni differenziali del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti (Equazione caratteristica: analisi dei casi in cui l equazione caratteristica possieda soluzioni reali). 6. Giovedì 16/03/2017, ore: 2(12) Risoluzione di equazioni differenziali del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti (Equazione caratteristica: analisi del caso in cui l equazione caratteristica possieda due radici complesse coniugate). Risoluzione di equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee a coefficienti costanti: determinazione di una soluzione particolare se il termine noto è un polinomio, una funzione esponenziale o una funzione seno/coseno. Esempi. 7. Mercoledì 22/03/2017, ore: 2(14) Esercizi su equazioni differenziali non omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine. Richiami di calcolo vettoriale. 8. Mercoledì 29/03/2017, ore: 2(16) Funzioni vettoriali di una sola variabile: limiti e continuità. Derivata di una funzione a valori vettoriali di una sola variabile. Curve e curve regolari. Esempi di (archi di) curve regolari: segmento, retta, circonferenza, ellisse, grafici di funzione. Funzioni iperboliche: definizione, proprietà e parametrizzazione di un iperbole. 9. Giovedì 30/03/2017, ore: 2(18) Integrale di una funzione a valori vettoriali di una sola variabile. Parametrizzazione dell elica circolare. Lunghezza di una curva. Calcolo della lunghezza di una circonferenza e dell elica circolare. Ascissa curvilinea.

3 Registro di Istituzioni di Matematica /17 - F. Demontis Mercoledì 05/04/2017, ore: 2(20) Definizione di funzione reale di più variabili (reali). Rappresentazione del grafico nel caso di due sole variabili. Esempi di determinazione del dominio D di una funzione di due variabili e rappresentazione di D nel piano cartesiano. Topologia di R n : domini rettangolari e circolari; insiemi limitati e illimitati, intorno di un punto; punti di accumulazione, punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi; esempi. Richiami di geometria analitica: equazione cartesiana di un piano in R 3. Posizione reciproca in R 3 di: due piani, un piano e una retta, due rette. Equazione cartesiana di una superficie. Esempi: Piano, Sfera e cilindro. 11. Giovedì 06/04/2017, ore: 2(22) Definizione di limite per funzioni reali di due variabili reali. Esempi di verifica di esistenza (o non esistenza) di limiti (per funzioni reali di due variabili). Proprietà dei limiti. Definizione di continuità. Composizione di funzioni continue. 12. Mercoledì 12/04/2017, ore: 2(24) Dimostrazione del teorema di continuità della funzione composta ottenuta componendo funzioni continue. Esercizi sulle funzioni continue. Definizione di derivate parziali nel caso di una funzione reale di due variabili. Esercizi sul calcolo delle derivate parziali. Derivate parziali di ordine superiore e enunciato del teorema di Schwartz per funzioni reali di due variabili. 13. Giovedì 27/04/2017, ore: 2(26) Derivate parziali per funzioni reali di n variabili. Enunciato teorema di Schwartz per funzioni reali di n variabili. Esercizi. Vettore gradiente. Funzioni differenziabili per funzioni di due variabili. Differenziale totale primo per funzioni di due variabili. Dimostrazione del fatto che una funzione differenziabile in un punto è continua in quel punto. Condizione sufficiente per la differenziabilità (esistenza di derivate parziali prime continue in quel punto).

4 Registro di Istituzioni di Matematica /17 - F. Demontis Mercoledì 3/05/2017, ore: 2(28) Differenziali totali successivi per funzioni reali di due variabili. Differenziali totali per funzioni reali di n variabili. Cenni sul calcolo differenziale di funzioni vettoriali in più variabili. Derivata secondo una direzione e un verso. 15. Giovedì 04/05/2017, ore: 2(30) Superfici (in forma parametrica e cartesiana) regolari. Piano tangente in un punto a una superficie regolare e equazione corrispondente. Derivata di una funzione composta: il caso di funzioni reali di due variabili e esercizi sul calcolo di tali derivate. Derivata di una funzione composta: il caso di funzioni reali di n variabili e relativi esercizi. 16. Mercoledì 10/05/2017, ore: 2(32) Dimostrazione del teorema della derivata di una funzione composta nel caso di due variabili. Definizione di punti di massimo/minimo relativo e globale. Enunciato del teorema di Fermat. 17. Giovedì 11/05/2017, ore: 2(34) Dimostrazione del teorema di Fermat. Forme quadratiche: definizione e classificazione. Punti critici. Enunciato di teoremi utili a stabilire la natura di un punto critico. 18. Mercoledì 17/05/2017, ore: 2(36) Condizione necessaria e sufficiente affinchè una forma quadratica sia definita positiva/negativa (minori di nord-ovest, solo l enunciato del teorema) e studio della natura di punti critici. Esempi ed esercizi. 19. Giovedì 18/05/2017, ore: 2(38) Dimostrazione della condizione necessaria e sufficiente affinchè una forma quadratica sia definita positiva (criterio dei determinanti di nord-ovest). Esercizi sulla ricerca di massimi/minimi liberi.

5 Registro di Istituzioni di Matematica /17 - F. Demontis Mercoledì 24/05/2017, ore: 2(40) Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi liberi per funzioni reali di n(n > 2) variabili. Integrali doppi: Integrale di una funzione limitata definita su un rettangolo: definizione, significato geometrico, formule di riduzione. Esercizi. 21. Giovedì 25/05/2017, ore: 2(42) Integrali doppi: Integrale di una funzione limitata definita su un dominio non rettangolare. Insiemi x-semplici, y-semplici, regolari. Cenno sugli insiemi misurabili. Calcolo di integrali doppi: metodo di riduzione. 22. Mercoledì 31/05/2017, ore: 2(44) Svolgimento di esercizi sull applicazione delle formule di riduzione (per domini regolari) per il calcolo di integrali doppi. 23. Giovedì 01/06/2017, ore: 2(46) Calcolo degli integrali doppi: cambiamento di variabili. Esempi ed esercizi. 24. Mercoledì 07/06/2017, ore: 2(48) Integrali tripli: Definizione. Calcolo di integrali tripli: formule di riduzione e cambio di variabili. Esercizi sul calcolo di integrali tripli. Applicazioni in fisica: calcolo del baricentro e del momento d inerzia rispetto a un asse (di un mezzo continuo). Definizione di integrale di superficie. Definizione di integrale curvilineo.