1. Determinare il numero di elettroni necessari per avere le seguenti cariche:

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1 56 1 Modello circuitale Esercizi 1. Determinare il numero di elettroni necessari per avere le seguenti cariche: a) Q = 1.6 µc. b) Q = 4.8 x C. c) Q = 10 pc. 2. Se un filo conduttore è attraversato da un intensità di corrente di 1 ma, presa una generica sezione trasversale quanti elettroni la attraversano in: a) t = 1 s. b) t = 3 ms. c) t = 8 µs. 3. Considerata una superficie chiusa Σ, calcolare l andamento dell intensità di corrente netta, con verso di riferimento uscente, quando l andamento nel tempo della carica totale in essa contenuta è: a) Q(t) = t. b) Q(t) = t. c) Q(t) = sin(314t). 4. Determinare la potenza assorbita da un bipolo in regime stazionario sapendo che i valori della tensione e dell intensità di corrente, fatta la convenzione dell utilizzatore, sono: a) v = 10 V; i = 3 A. b) v = 30 V; i = 0.5 A. c) v = 10 V; i = 2 A. 5. Ripetere l esercizio precedente, assumendo che i dati siano riferiti alla convenzione del generatore. 6. Due bipoli sono collegati tra loro come mostrato nella figura. Supponendo che i valori di v i sono quelli dell esercizio 4, determinare se la potenza elettrica fluisce effettivamente dal primo bipolo verso il secondo o viceversa. i 1 v 2

2 1.8 Esercizi Una batteria da 18 V alimenta con una corrente di 300 ma un computer portatile. Quanta energia fornisce a quest ultimo in 3 ore di funzionamento? 8. Per i circuiti di bipoli rappresentati nella figura seguente, considerate le convenzioni ivi indicate, scrivere le LKC e LKT. In riferimento a ciascun insieme di equazioni ricavate, individuare un sottoinsieme massimale di equazioni indipendenti. q w 4 e 2 w 3 q e q e 6 w r 9. Quanta energia è immagazzinata in un condensatore da 100 pf quando la tensione ai suoi morsetti è di 10 V? 10. Quanta energia è immagazzinata in un induttore da 50 mh quando la sua corrente è di 500 ma? 11. In un condensatore da 100 mf la tensione varia con l andamento v(t) = 1 0.5t. Determinare l energia assorbita dal condensatore nell intervallo t 1 = 1s, t 2 = 2s.

3 58 1 Modello circuitale Soluzioni 1. a) ; b) ; c) a) ; b) ; c) a) A; b) A; c) cos(314t)a. 4. a) 30 W; b) 15 W; c) 20 W. 5. a) 30 W; b) 15 W; c) 20 W. 6. a) dal bipolo 2 a quello 1; b) dal bipolo 1 al 2; c) dal bipolo 1 al kj. 8. a) LKC b) LKC c) LKC i 1 i 2 i 3 = 0 i 3 i 4 = 0 i 1 i 2 i 4 = 0 i 1 i 2 i 3 = 0 i 2 i 3 i 4 i 5 = 0 i 1 i 4 i 5 = 0 i 1 i 2 i 3 = 0 i 3 i 4 i 5 = 0 i 1 i 2 i 4 i 6 = 0 i 5 i 6 = 0 LKT LKT LKT v 1 v 2 = 0 v 2 v 3 v 4 = 0 v 1 v 3 v 4 = 0 v 1 v 3 v 4 = 0 v 2 v 3 = 0 v 4 v 5 = 0 v 1 v 3 v 5 = 0 v 1 v 2 v 4 = 0 v 1 v 2 v 5 = 0 v 1 v 2 = 0 v 2 v 3 v 4 = 0 v 4 v 5 v 6 = 0 v 1 v 3 v 4 = 0 v 2 v 3 v 5 v 6 = 0 v 1 v 3 v 5 v 6 = J.

4 1.8 Esercizi J

5 94 2 Analisi di circuiti semplici Esercizi 1. Si determinino la tensione e la potenza elettrica erogata dal generatore di corrente del circuito adinamico rappresentato in figura. R 1 J v J J = 2 A, R 1 = 10 W, = 5 W. 2. Si determinino la corrente e la potenza elettrica erogata dal generatore di tensione del circuito adinamico rappresentato in figura. i E E = 25 V, E R 1 R 1 = 10 W, = 10 W. 3. Si determinino la tensione e la potenza elettrica assorbita dal generatore di corrente del circuito adinamico rappresentato in figura. J = 4 A, J v J R 1 R 1 = 10 W, = 30 W. 4. Si determinino le intensità di corrente e le tensioni degli elementi del circuito adinamico rappresentato in figura. i 1 E = 10 V, i R gp i 2 1 R 1 = 10 W, E = 20 W, ri 1 r = 5 W. 5. Si utilizzi il metodo di NewtonRaphson per trovare (in via approssimata) il punto di lavoro del circuito in figura.

6 2.5 Esercizi 95 E i R 1 E = 10 V, v R 1 = 10 W, g(v) = v 3v Si studi la dinamica del circuito rappresentato in figura. J R i L L J = 1 A, R = 10 W, L = 50 mh, i L (0) = 1 A. 7. Si determini l evoluzione forzata per il circuito RC rappresentato in figura. Inoltre si calcoli la potenza istantanea erogata dal generatore J. J R C J = 1 A, R = 1 W, C = 500 µf. 8. Si determini l evoluzione forzata per il circuito RL rappresentato in figura. Inoltre si calcoli la potenza istantanea erogata dal generatore j(t). j(t) R i L L j (t) = cos(1000t), R = 1 W, L = 1 mh. 9. Il circuito RL rappresentato in figura è in evoluzione libera a partire dalla condizione iniziale indicata. Verificare che l energia dissipata dal resistore nell intervallo (0, ) è esattamente pari a quella immagazzinata nell induttore all istante t 0. R i L L i L (0) = 2 A, R = 1 W, L = 1 mh.

7 96 2 Analisi di circuiti semplici Soluzioni 1. Il circuito ha gli elementi tutti in serie tra loro. Scegliendo opportunamente i versi di riferimento per le correnti (ad esempio tutti congruenti con il generatore), fatta la convenzione dell utilizzatore sui due resistori avremo (LKT): v J = v R1 v R2 = J (R 1 ) = 30 V. Tenuto conto che sul generatore abbiamo considerato la convenzione del generatore, la potenza erogata vale: P = v J J = 60 W. 2. Il circuito ha gli elementi tutti in parallelo tra loro. Scegliendo opportunamente i versi di riferimento per le tensioni (ad esempio tutti congruenti con il generatore), fatta la convenzione dell utilizzatore sui due resistori avremo (LKC): i E = i R1 i R2 = E (1/R 1 1/ ) = 5 A. Tenuto conto che sul generatore abbiamo considerato la convenzione dell utilizzatore, la potenza erogata vale: P = Ei E = 125 W. 3. Il circuito ha gli elementi tutti in parallelo tra loro. Scegliendo opportunamente i versi di riferimento per le tensioni (ad esempio tutti congruenti con la v J ), fatta la convenzione dell utilizzatore sui due resistori, le equazioni da risolvere saranno: (LKC): da cui ricaviamo facilmente: J = i R1 i R2, v J = v R1 = v R2 = R 1 i R1 = i R2, v J = 30 V. Tenuto conto che sul generatore abbiamo considerato la convenzione del generatore, la potenza erogata vale: P = v J J = 120 W.

8 2.5 Esercizi Considerati i versi delle correnti come in figura e la convenzione dell utilizzatore sui resistori avremo da risolvere il sistema: R 1 i 1 ri 1 = E, ri 1 = i 2, i 1 i gp i 2 = 0, che fornisce i seguenti risultati: i 1 = E R 1 r = 2 3 A, v 2 = i 2 = ri 1 = 10 3 V, i 2 = ri 1 = 1 6 A, i gp = i 1 i 2 = 1 2 A. 5. Facilmente si perviene al sistema di equazioni: { i = E v R = 10 v 10, i = g(v) = v 3v 3, dunque: F (v) = 3v 3 1.1v 1, per trovare uno zero di F (v) utilizziamo l algoritmo di NewtonRaphson: v h1 = v h F (v(h) ) F (v (h) ), come punto iniziale di tentativo usiamo la soluzione di 1.1v 1 = 0 v = La derivata F (v) di F (v) è: F (v) = 9v Usando iterativamente la formula si ha: h v (h) F (v (h) ) i L (t) = [i L (0) i Lp (0)] e R L t i Lp (t) = 2e 200t 1.

9 98 2 Analisi di circuiti semplici 7. v C (t) = RJ ( 1 e t/rc) = 1 e 2000t, p (t) = vj = RJ ( 1 e t/rc) J = 1 e 2000t. 8. i L (t) = [ i Lp (0)] e R L t i Lp (t) = e 1000t cos(100t π/4) L espressione della corrente richiesta è i (t) = I 0 e t/τ, dove τ = L R è la costante di tempo del circuito RL. Ricordando l espressione dell energia inizialmente immagazzinata nell induttore W i (0) = 1 2 LI2 0, e valutando l integrale della potenza assorbita dal resistore si ottiene: W R (0, ) = 0 Ri 2 (t) dt = Infine, sostituendo i valori numerici proposti avremo: 0 ( ) R I 0 e t/τ 2 1 dt = 2 LI2 0. i (t) = 2e 1000t A e W R (0, ) = J.

10 160 3 Proprietà dei circuiti Esercizi 1. Per il circuito di bipoli in figura, determinare a) tutti i possibili alberi b) un insieme di maglie fondamentali c) un insieme di n 1 tagli indipendenti (a) (b) 2. Per il circuito precedente determinare un insieme di equazioni indipendenti alle maglie ed ai nodi. 3. Considerato un qualsiasi albero del circuito precedente, mostrare che le colonne corrispondenti ad i lati dell albero nella matrice d incidenza ridotta risultano indipendenti. 4. Per il circuito di bipoli in figura, determinare le equazioni circuitali in forma canonica e risolverle con il metodo di sostituzione. R 4 J R 1 R 3 E R 1 = 20 W, = 10 W, v J R 3 = R 4 = 20 W, E = 20 V, J = 5 A. i E 5. Analizzare il circuito dell esercizio 4 con il metodo dei potenziali nodali modificato. 6. Analizzare il circuito dell esercizio 4 con il metodo delle correnti di maglia.

11 3.9 Riepilogo Per il circuito dell esercizio 4 verificare la conservazione delle potenze. 8. Analizzare il circuito in figura con il metodo dei potenziali nodali modificato, determinando la corrente i 3. i 1 i 3 J E R 1 R 3 i 1 R 1 = 2 W, = 4 W, R 3 = 6 W, E = 10 V, J = 5 A, β = 3.

12 162 3 Proprietà dei circuiti Soluzioni 1. a) I possibili alberi sono indicati in figura: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) b) in relazione all albero mostrato nella sottofigura (b) le maglie fondamentali sono quelle delle sottofigure (c,d,e) (a) (b) (c) (d) (e)

13 3.9 Riepilogo 163 c) I tre tagli indicati in figura (c,d,e) sono indipendenti tra loro: difatti ciascuno contiene in esclusiva un diverso lato dell albero (a) (b) T 1 T T 3 (c) (d) (e) 2. Per le leggi di Kirchhoff alle correnti considerando i primi tre nodi otteniamo: i 1 i 2 i 3 = 0, i 2 i 5 i 6 = 0, i 1 i 4 i 5 = 0. per le maglie considerato l albero in figura (b) (con il tratteggio indichiamo i lati del coalbero), avremo le maglie fondamentali come riportate in figura (c), (d), (e). Le equazioni (indipendenti) corrispondenti sono: v 1 v 2 v 5 = 0, v 2 v 3 v 6 = 0, v 4 v 5 v 6 = 0.

14 164 3 Proprietà dei circuiti (a) (b) (c) (d) (e) 3. La matrice di incidenza A a risulta: 1O 2O 3O 4O La corrispondente ridotta A (rispetto al nodo 4O) è: O 2O 3O Tale sottomatrice (quadrata) ha rango pieno! Difatti det(a) = 1 (1) = Le equazioni circuitali sono: i 1 i 2 = J, i 2 i 3 i 4 = 0, i 4 i E = 0, n 1 = 3 nodi, v J R 1 i 1 = 0, R 1 i 1 i 2 R 3 i 3 = 0, R 3 i 3 R 4 i 4 = E, l (n 1) = 3 maglie,

15 3.9 Riepilogo 165 Risolvendo per sostituzione segue: i 1 = J i 2, i 2 = i 3 i 4, R 1 (J (i 3 i 4 )) = (i 3 i 4 ) R 3 i 3, R 3 i 3 = R 4 i 4 E i 4 = R 3i 3 E, R 4 R 1 J R 1 (i 3 i 4 ) = i 3 i 4 R 3 i 3, R 1 J (R 1 R 3 )i 3 = (R 1 )( R 3i 3 E ), R 4 ( ) (R1 )R 3 (R 1 R 3 ) i 3 = R 1 J (R 1 )E, R 4 R 4 i 3 = E = A, v 3 = R 3 i 3 = 32.5 V, 80 i 4 = A, v 4 = R 4 i 4 = 12.5 V, i 2 = 2.25 A, v 2 = i 2 = 22.5 V, i 1 = 2.75 A, v 1 = R 1 i 1 = 55 V. 5. Scriviamo le correnti attraverso i potenziali di nodo: i 1 = u 1 R 1, i 2 = u 1 u 2, i 3 = u 2 R 3, dunque le LKC: u 1 R 1 u 1 u 2 = J, i 4 = u 2 E R 4, risolvendo: u 1 u 2 u 2 R 3 u 2 E R 4 = 0, u 1 = 55 V, u 2 = 32.5 V, 6. Scriviamo le LKT: risolvendo: K 1 = J, R 1 (K 1 K 2 ) = K 2 R 3 (K 2 K 3 ), R 3 (K 2 K 3 ) = R 4 K 3 E, K 1 = 5 A, K 2 = 2.25 A, K 3 = A.

16 166 3 Proprietà dei circuiti 7. v 1 i 1 v 2 i 2 v 3 i 3 v 4 i 4 Ei e v j J = = Per trovare la corrente richiesta applichiamo il metodo dei potenziali di nodo. Considerando le leggi di Kirchhoff per le correnti ai due nodi essenziali 1O e 2O si ricavano le equazioni: J u 1 u 1 e 2 E = 0 R 1 u 2 u 1 E u 2 β u, 1 = 0 R 3 R 1 che risolte danno u 1 = 2.7, u 2 = 2.0. Pertanto i 3 = u 2 /R 3 = 0, 33.

17 4.5 Esercizi 217 Esercizi 1. Calcolare la resistenza equivalente ai terminali ao bo per il bipolo in figura. a R 1 R 3 R 1 = 10 W, = 30 W, R 3 = 30 W, R 4 = 5 W. b R 4 2. Calcolare la resistenza equivalente ai terminali ao bo per il bipolo in figura. a R 1 R 3 R 4 R 5 R 6 R 1 = R 3 = R 5 = R 6 = 10 W, = R 4 = 20 W. b 3. Utilizzando la riduzione serieparallelo determinare la tensione ai capi del generatore J. J R 1 R 4 R 3 R 5 R 1 = 10 W, = 5 W, R 3 = 10 W, R 4 = R 5 = 20 W, J = 2 A. 4. Utilizzando la riduzione serieparallelo ed i partitori determinare l intensità di corrente i 4. R 1 R 3 E i 4 R1 = 15 W, = 5 W, R 3 = R 4 = 10 W, E = 10 V. R 4

18 218 4 Circuiti adinamici lineari 5. Utilizzando la sovrapposizione determinare l intensità di corrente del resistore R 3. E R 3 R J 1 R 5 R 4 R 1 = = 4 W, R 3 = 1 W, R 4 = R 5 = 2 W, E = 5 V, J = 1 A. 6. Utilizzando la sovrapposizione calcolare la potenza erogata dal generatore di tensione. R 1 J R 4 R 3 E R 1 = = 2 W, R 3 = 1 W, R 4 = 4.5 W, E = 5 V, J = 2 A. 7. Utilizzando Thévenin calcolare l intensità di corrente del resistore R 5. R 1 a R 5 b R 1 = 2 W, = 4 W, R 3 = 6 W, R 4 = 3 W, R 3 R 4 J R 5 = 6 W, 2 J 1 = 6 A, J 2 = 2 A. J 1 8. Utilizzando Norton calcolare la potenza assorbita da R 4. J R 3 R 1 = = 2 W, R 1 R 4 R 3 = R 4 = 1 W, J = 1 A. a b 9. Applicando Thévenin ai terminali ao bo determinare l intensità di corrente del resistore R 4.

19 4.5 Esercizi 219 r i 1 a i 1 R 1 = = 2 W, J R 3 = R 4 = 1 W, R 1 R 3 R 4 r = 2 W, J = 1 A. b 10. Sfruttando le trasformazioni stella triangolo determinare la tensione v ab per il circuito in figura a E R 1 R 5 R 4 J R 3 R 6 R 1 = 4.5 W, = R 3 = R 4 = 3 W, R 5 = R 6 = 9 W, J = 5 A, V = 20 V. b

20 220 4 Circuiti adinamici lineari Soluzioni 1. Si tratta di ridurre il bipolo in esame per serie parallelo, a partire dal lato destro. Avremo: R eq = R 1 R 3 R 4 = = 30 W Si tratta di ridurre il bipolo in esame per serie parallelo, a partire dal lato destro. Avremo: R eq = R 6 R 5 = 20 W, R eq = R eq R 4 = 10 W, R eq = R eq R 3 = 20 W, ed infine: R eq = R 1 R eq = 20 W. 3. Al lato destro del generatore J vi sono i resistori R 3, R 4, R 5 in parallelo tra loro ed in serie con il resistore. Calcolandone la resistenza equivalente avremo: R eq = R 3 R 4 R 5 = 10 W. Tale resistenza equivalente risulta a sua volta in parallelo con R 1. Pertanto il generatore di corrente vede ai suoi terminali una resistenza equivalente complessiva: R eq = R 1 R eq = 5 W, dunque la tensione ai suoi terminali è: v = R eq J = 10 V. 4. L intensità di corrente erogata dal generatore può facilmente essere calcolata: i = E E = = 0.53 A. R eq R 1 (R 3 R 4 ) A questo punto, applicando il partitore di corrente avremo: i 4 = i (R 3 R 4 ) = 0.11 A.

21 4.5 Esercizi Per trovare l intensità di corrente richiesta, applichiamo la sovrapposizione considerando dapprima agente il solo generatore di tensione E. In tal caso la resistenza equivalente complessiva vista dal generatore sarà: e, conseguentemente: R eq = R 3 (R 4 R 5 ) (R 1 ) = 4 W, i 3 = E R eq = 5 4 A. Quando agisce il solo generatore di corrente J abbiamo in parallelo due coppie di resistori equivalenti: R 1 = 2 W, R 3 R 4 R 5 = 2 W. In tal caso è immediato verificare applicando il partitore che l intensità di corrente i 3 vale: i 3 = J 2 = 0.5A. Con la convenzione considerata, dunque, l intensità di corrente cercata vale: i 3 = i 3 i 3 = = 7 4 A. 6. Per trovare la potenza erogata dal generatore di tensione, scelta la convenzione del generatore su quest ultimo, si tratta di calcolare l intensità di corrente i E che lo attraversa. Essa può essere facilmente trovata applicando la sovrapposizione degli effetti al circuito in esame. Consideriamo anzitutto il caso in cui il generatore di corrente sia spento. In tal caso il generatore di tensione vede una resistenza equivalente R eq data da: Pertanto si ha i E = E/ R eq = 1A. R eq = R 4 (R 1 R 3 ) = 5 W, Quando invece è acceso il solo generatore di corrente, basterà applicare la regola del partitore di corrente tra il resistore R 4 ed il parallelo tra R 1, ed R 3, tenuto conto del verso scelto per i E si ha: i (R 1 R 3 ) E = J R 4 (R 1 R 3 ) = 1 5 A, Dunque, sovrapponendo le correnti si avrà i E = i E i E = 4 / 5 A. Infine, per la potenza erogata, con le convenzioni considerate, avremo: P (e) = v E i E = 4W.

22 222 4 Circuiti adinamici lineari 7. Per trovare l intensità di corrente richiesta, applichiamo Thévenin come suggerito. Per quanto riguarda la resistenza equivalente avremo: R T h = (R 1 ) R 3 R 4 = 6 W. Per la tensione a vuoto invece avremo: E 0 = V ab = J 1 (R 1 ) R 3 J 2 R 4 = 18 6 = 12V. Infine: i 5 = E 0 = 12 R T h R 5 12 = 1A. 8. Per applicare Norton calcoliamo i parametri R T h e J cc : R T h = R 3 R 1 = 2 W, R 1 J cc = J = 0.5 A. R 1 R 3 A questo punto è possibile calcolare l intensità di corrente in R 4 e dunque la potenza dissipata: R T h i 4 = J cc = 0.33 A, R T h R 4 p 4 = R 4 i 2 4 = 0.11 W. 9. Una volta rimosso dal circuito il resistore R 4, per la tensione a vuoto di Thévenin potremo scrivere: E 0 = R 3 i 3. Per determinare il valore dell intensità di corrente i 3 risolviamo le equazioni: { J = i1 i 3 R 1 r i R 1 i 1 ri 1 R 3 i 3 i 3 = J 3 R 1 R 3 r. Con i valori dei parametri assegnati avremo dunque: E 0 = R 3 i 3 = 0.57 V. Per determinare la R T h dobbiamo poi caratterizzare il bipolo dai terminali ao bo una volta spento il generatore di corrente J. È immediato verificare che la corrente entrante nel terminale ao è data dalla somma di quella nel

23 4.5 Esercizi 223 resistore R 3 e di quella nella serie dei resistori R 1 ed con il generatore controllato. Pertanto: dunque: i a = i 3 i 1 = v ab v ab R 3 R 1 r, R T h = v ab = R 3 (R 1 r) = 0.85 W. i a R 1 R 3 r A questo punto, applicando il teorema di Thévenin, la corrente richiesta è data da: E 0 i 4 = = 0.31 A. R T h R I resistori, R 3, R 4 risultano collegati a stella, e possono essere sostituiti da un triangolo equivalente con R = 9 Ω (osservando che essi hanno lo stesso valore). A questo punto il triangolo, assieme ai resistori R 5 ed R 6, può essere ridotto ad un unico resistore equivalente: R eq = R ( R R 5 R R 6 ) = 4.5 W. che fa capo proprio ai nodi ao e bo del circuito. Applicando la sovrapposizione degli effetti, avremo: R eq v ab = E = 10 V, R 1 R eq v ab = J R eq R 1 = V, e dunque v ab = v ab = v ab = 21, 25 V.

24 5.10 Esercizi 319 Esercizi 1. Per il circuito di figura, in regime sinusoidale, determinare la tensione del resistore. R 1 L j(t) = 10 cos 500t A, j(t) v R2 C R 1 = 5 W, = 10 W, L = 10 mh, C = 200 µf. 2. Il circuito in figura è in regime sinusoidale. Determinare la potenza complessa assorbita dal condensatore C. e(t) R 3 L C R 1 j(t) j(t) = 5 cos 100t A, e(t) = 10 cos(100t π/4) V, R 1 = 10 W, = R 3 = 5 W, C = 1000 µf, L = 200 mh. 3. Il circuito in figura è in regime sinusoidale. Determinare la potenza complessa erogata dal generatore di tensione. e(t) R 1 C L e(t) = 100 cos 50t V, R 1 = 10 W, = 20 W, C = 1000 µf, L = 500 mh. 4. Il circuito in figura è in regime sinusoidale. Utilizzando Thévenin ai terminali della capacità C, determinare l intensità di corrente i C. j(t) R 1 L 2 C i C L 1 j(t) = 0.2 cos 500t A, R 1 = = 50 W, L 1 = L 2 = 100 mh, C = 20 µf.

25 320 5 Circuiti dinamici lineari a regime 5. Il circuito in figura è in regime sinusoidale. Utilizzando Norton ai terminali 1O 2O determinare la potenza media dissipata sul resistore. R 1 e(t) C e(t) = 50 cos 314t V, L R R 1 = = 50 W, 2 L = 10 mh, C = 10 µf. 6. Il circuito in figura è in regime sinusoidale. Determinare l energia dissipata in un periodo dai due resistori. e(t) R 1 L 1 e(t) = 100 cos 200t V, R 1 = 100 W, = 200 W, L 2 L 1 = 10 mh, L 2 = 20 mh. 7. Il circuito in figura è in regime permanente. Determinare la potenza media assorbita dal resistore. R 1 j(t) C L e(t) j(t) = 5 cos 100t A, e(t) = 10 V, R 1 = 10 W, = 5 W, C = 1000 µf, L = 200 mh. 8. Il circuito in figura è in regime permanente. Determinare l intensità di corrente i(t) dell induttore. e 1 (t) R L i(t) C e 2 (t) e 1 (t) = cosω 1 t V, e 2 (t) = cosω 2 t V, ω 1 = 10 4 rad/s, ω 2 = 4ω 1, R = 1 W, C = 25 µf, H = 25 µh. 9. Il circuito in figura è in regime permanente. Determinare la potenza media assorbita dal resistore.

26 5.10 Esercizi 321 e(t) R 1 C L j(t) j(t) = 10 cos 500t A, e(t) = 20 V, R 1 = = 25 W, L = 50 mh, C = 200 µf. 10. Il circuito in figura è in regime sinusoidale. Applicando Thévenin ai terminali 1O 2O, calcolare la tensione v C (t) della capacità C. e(t) R C L R j(t) e(t) = cos 10 6 t V, j(t) = cos 10 6 t A, R = 1 W, L = 1 µh, C = 1 µf.

27 322 5 Circuiti dinamici lineari a regime Soluzioni 1. Possiamo applicare la riduzione per serieparallelo ed i partitori al circuito di impedenze per calcolare quanto richiesto. Osserviamo anzitutto che X L = 5 W, X C = 10 W. Effettuando prima il parallelo tra e C e successivamente la serie con L otteniamo: Ż eq1 = ŻR2 ŻC 10 ( j10) = Ż R2 ŻC 10 j10 = 5 j5, Ż eq2 = ŻL Żeq1 = j5 5 j5 = 5. Applicando ora il partitore di corrente possiamo calcolare facilmente l intensità di corrente in Żeq2: Ż R1 Ī L = J Ż R1 Żeq2 = = 5. Infine: V R2 = ĪL Żeq1 = 25 25j v R2 (t) = 35.4 cos(500t 0.79). 2. Applichiamo il metodo dei potenziali di nodo. Considerando le leggi di Kirchhoff per le correnti ai primi due nodi in alto da sinistra (il potenziale del terzo nodo è un termine noto in quanto collegato ad un generatore di tensione) avremo le equazioni: J Ū2 Ū2 Ū1 Ū2 Ū1 = 0, R 1 jx C che risolte danno: Ū 1 Ū2 Ū1 Ū1 Ū2 Ū1 E = 0, jx L jx C R 3 Ū 1 = j, Ū 2 = j. Pertanto: ed infine: V C = Ū1 Ū2 = j, ˆP C = 1 2 j V C 2 = j6.0 VA. X C

28 5.10 Esercizi Possiamo agevolmente calcolare il fasore corrispondente all intensità di corrente erogata dal generatore riducendo le impedenze ad esso connesse per serie parallelo. Osserviamo anzitutto che X L = 25 W, X C = 20 W. Effettuando prima il parallelo tra R 1 e ŻC e successivamente la serie con Ż L ed otteniamo: Ż eq1 = ŻR1 ŻC 10 ( j20) = Ż R1 ŻC 10 j20 = 8 j4, Ż eq2 = Żeq1 ŻL = 28 j21. Pertanto l intensità di corrente erogata dal generatore è Ī = j, e la potenza complessa erogata risulta: Ē Ż eq2 = ˆP E = 1 2Ē Ī = j VA. 4. Per utilizzare Thévenin dobbiamo anzitutto calcolare l impedenza equivalente ŻT h e la tensione a vuoto Ē0. Per quanto riguarda l impedenza equivalente vista dai terminali del condensatore, una volta spento il generatore di corrente, è utile osservare come essa, tenuto conto dei valori numerici, risulti il parallelo di due impedenze uguali: ( ) ) Ż T h = R 1 ŻL2 (ŻL1 = 25 25j, La tensione a vuoto Ē0 può agevolmente essere calcolata come differenza tra quelle su R 1 e su ŻL2 quando sia presente il generatore di corrente: Ē 0 = V R1 VŻL2 = J ( ) R 1 2 ŻL2 = 5 5j. A questo punto è immediato calcolare l intensità di corrente i C : Ē 0 Ī C = = j, Ż T h ŻC i C (t) = cos (500t 0.46). 5. Per utilizzare Norton dobbiamo anzitutto calcolare l impedenza equivalente ŻT h e l intensità di corrente di corto circuito J cc. Esse risultano: ) Ż L (ŻC R 1 Ż T h = = j, Ż L ŻC R 1

29 324 5 Circuiti dinamici lineari a regime J cc = Ē Ż C R 1 = j. Il resistore risulta in parallelo con ŻT h nello schema equivalente. Pertanto è immediato calcolare la tensione del parallelo e la potenza assorbita da : V R2 = J Ż T h cc = j, Ż T h P R2 = 1 VR2 2 = 2.4 mw L energia dissipata in un periodo sui resistori sarà pari al prodotto della potenza media assorbita per la durata del periodo T. Pertanto possiamo direttamente calcolare la potenza attiva assorbita dai due resistori. Osservando però che essa coincide con quella erogata dal generatore andiamo in definitiva a determinare quest ultima. Osserviamo anzitutto che X L1 = 2 W, X L2 = 4 W. L impedenza vista dal generatore risulta: ) Ż L2 (ŻL1 Ż eq = R 1 = 100 4j. Ż L2 ŻL1 Pertanto l intensità di corrente erogata dal generatore è Ī = 0.04j, e la potenza attiva erogata risulta: { } 1 P E = Re 2Ē Ī = 49.9 W. Ē Ż eq = 0.99 In un periodo T = 2π/ω = s l energia assorbita dai resistori risulterà pari a: W T = P E T = 1.57 J. 7. Abbiamo in questo caso la sovrapposizione di un regime sinusoidale e di uno stazionario, possiamo dunque calcolare separatamente le potenze medie e sommarle. Considerando agente il solo generatore stazionario e(t), è immediato calcolare la potenza istantanea assorbita da come p 2 = E 2 / = 20 W. Essa coincide con la potenza media P 2, essendo stazionaria. Quando agisce invece il solo generatore sinusoidale j(t), invece, dovremo considerare il circuito di impedenze corrispondente al circuito in regime sinusoidale. Il fasore Ī2 può essere calcolato applicando due volte il partitore di corrente, ottenendo:

30 R 1 Ż L Ī 2 = J ) = 2 2j. R 1 ŻC (ŻL // Ż L In tal caso la potenza media ha l espressione: 2 = 1 2 R 2 Ī 2 = 20 W. P Infine, sommando i due risultati otteniamo: P 2 = P 2 P 2 = 40 W Esercizi Il circuito è forzato da due generatori non isofrequenziali. Possiamo applicare la sovrapposizione degli effetti, naturalmente osservando che, essendoci due pulsazioni differenti, la corrispondenza con i fasori va costruita con due diversi circuiti di impedenze. Pertanto i risultati potranno essere sommati solo nel dominio del tempo. Calcoliamo dapprima il contributo all intensità di corrente i (t) dovuto al generatore e 1 (t). Utilizzando il circuito di impedenze corrispondente, e risolvendo per serieparallelo, posto: otteniamo: dunque: ŻC1 ŻL1 Ż eq1 = = 0.27j, Ż C1 ŻL1 E 1 Ż C1 Ī L = = j, R Żeq1 Ż C1 ŻL1 i (t) = 1.03 cos ( 10 4 t 0.26 ). Il contributo all intensità di corrente i (t) dovuto al generatore e 2 (t) può essere ricavato in modo analogo. Definendo un secondo circuito di impedenze a pulsazione ω 2 e risolvendo per serieparallelo, posto: otteniamo: dunque: Ż eq2 = R ŻL2 = j, R ŻL2 Ī L = E 2 R = 1, Ż C2 Żeq2 R ŻL2 i (t) = cos ( t ). Infine, sommando i due contributi, avremo:

31 326 5 Circuiti dinamici lineari a regime i (t) = i (t) i (t) = 1.03 cos ( 10 4 t 0.26 ) cos( t). 9. Osservando che il circuito è forzato da due generatori non isofrequenziali, la potenza media può agevolmente essere calcolata sommando i contributi dei singoli generatori. Per quanto riguarda il generatore di corrente sinusoidale, risolvendo per serie parallelo ed utilizzando il partitore di corrente è abbastanza immediato ricavare: Ī R2 = j, P R2 = 26.6 W. Il contributo dovuto al generatore di tensione costante è ancor più immediato: difatti, analizzando il circuito in condizioni stazionarie, si ottiene immediatamente che: P R2 = E2 = 20 W. Infine, sommando i due risultati precedenti si ha: P R2 = P R2 P R2 = 46.6 W. 10. Per utilizzare Thévenin dobbiamo anzitutto calcolare l impedenza equivalente ŻT h e la tensione a vuoto Ē0. Per quanto riguarda l impedenza equivalente vista dai terminali del condensatore una volta spento i generatori, essa risulta: ( ) Ż T h = R ŻL R = j. La tensione a vuoto Ē0 può essere calcolata applicando la sovrapposizione. Quando agisce il solo generatore di tensione, applicando il partitore di tensione avremo: Ē 0 = Ē Ż L R Ż L R R = j. Quando agisce il solo generatore di corrente, applicando il partitore di corrente avremo: 0 = J R R = j, Ż L R R Ē e dunque Ē0 = Ē 0 Ē 0 = 1. A questo punto è immediato calcolare la tensione del condensatore:

32 5.10 Esercizi 327 Ē 0 V C = ŻC Ż T h ŻC = j, v C (t) = cos ( 10 6 t 0.64 ).

33 6.6 Esercizi 381 Esercizi 1. Determinare la matrice delle resistenze del doppio bipolo: R 1 R R 1 = 1 W, 1 R = 2 W Determinare la caratterizzazione ibrida del doppio bipolo in figura. v 1 R 1 R 3 i 2 R 1 = 15 W, = 10 W, R 3 = 5 W. 3. Determinare la caratterizzazione controllata in tensione del doppio bipolo in figura. R 1 R 3 R 4 J R 1 = = R 3 = R 3 = 1 W, J = Determinare la caratterizzazione controllata in tensione del doppio bipolo in figura. R 1 R 3 i 1 i 2 R 1 = = R 3 = R 3 = 1 W, v 1 R 4 gv 1 v 2 g = 1 W 1.

34 382 6 Doppi bipoli 5. Considerato il doppio( bipolo ) lineare (non reciproco) descritto dalla matrice 3 4 delle resistenze R =, realizzarne la sintesi Realizzare la sintesi a T per il doppio bipolo in figura: R 1R2 R 4 R 5 R 3 R 1 = R 5 = 10 W, R 3 = 15 W, = R 4 = 5 W. 7. Il circuito in figura è in regime permanente. Determinare la tensione del resistore, v R (t). e(t) L n:1 C R e (t) = E m cos (ωt π/4) V, E m = 1 A, ω = 10 6 rad/s, R = 10 mw, C = 1 µf, L = 0.01 µh, n = Il circuito in figura è in regime sinusoidale. Determinare l andamento della tensione del condensatore v C (t). R 1 C j(t) M L 1 L 2 e(t) j (t) = 5 sin 500t A, e (t) = 100 sin 500t A, R 1 = 10 W, = 5 W, C = 100 µf, L 1 = 12 mh, L 2 = 3 mh, M = 6 mh. 9. Il circuito di figura è in regime sinusoidale. Calcolare: a) la matrice delle impedenze Ż del doppio bipolo di impedenze visto dai due generatori, b) utilizzando la matrice Ż, calcolata precedentemente, determinare la tensione v 1 (t), c) determinare la potenza complessa erogata dai singoli generatori di corrente.

35 6.6 Esercizi 383 j 1 (t) R C L R j 2 (t) j 1 (t) = J cos ωt A, j 2 (t) = J sin ωt A, J = 2A, ω = 10 4 rad/s, R = 2 W, L = 0.2 mh, C = 50 µf

36 384 6 Doppi bipoli 1. La caratterizzazione richiesta sarà nella forma: ( ) ( ) ( ) v1 R11 R = 12 i1. v 2 R 12 2 i 2 È immediato verificare che: R 11 = [R 1 ( R 3 )] = 11 4 W. Essendo poi il doppio bipolo simmetrico, possiamo senz altro porre: 2 = R 11 = 11 4 W. Per quanto riguarda il calcolo di R 12 (= 1 ), partendo dalla definizione R 12 = v 1 i 2 si tratta di calcolare il valore di v 1 quando i 1 = 0. In tal i1=0 caso, ponendo v 1 = v R1 v R2 ricaviamo: e Pertanto R 12 = 1 = v R1 = R 1 i 2 R 1 R 1 R 1, v R2 = i 2. 1 R 1 R 1 = 5 4 W. 2. La caratterizzazione richiesta sarà nella forma: ( ) ( ) ( ) i1 H11 H = 12 v1. v 2 H 12 H 22 i 2 Applicando le definizioni per i diversi parametri avremo: H 11 = i 1 = [( R 3 ) R 1 ] 1 = 2 15 W 1, v 1 i2 =0 H 22 = v 2 i 2 v1=0 H 12 = H 21 = i 1 i 2 v1=0 = R 3 = W, = R 3 R 3 = 5 15.

37 3. La caratterizzazione richiesta sarà nella forma: ( ) ( ) ( ) i1 G11 G = 12 v1 i 2 G 12 G 22 v 2 ( I01 I 02 ). 6.6 Esercizi 385 Applichiamo la sovrapposizione spegnendo dapprima il generatore interno e caratterizziamo in tensione il doppio bipolo resistivo risultante: G 11 = G 4 G 1(G 2 G 3 ) G 1 G 2 G 3 = 5 3 W 1, G 22 = (G 1 G 2 )G 3 G 1 G 2 G 3 = 2 3 W 1, G 12 = G 21 = (G 1 G 2 )G 3 G 1 G 2 G 3 R 1 = 1 3 W 1. Poi, con i generatori di caratterizzazione spenti, ricaviamo il contributo del generatore interno: I 01 = J = 1 A, I 02 = Osserviamo che il generatore controllato è spento quando v 1 = 0, quindi non dà contributo nel calcolo dei termini G 22 e G 12, inoltre il generatore controllato, pur non essendo spento, non dà contributo nel calcolo del termine G 11 (per convincersene basta considerare il relativo circuito di caratterizzazione). Ponendo G 1 = 1/R 1, G 2 = 1/, G 3 = 1/R 3, G 4 = 1/R 4, partendo dalle definizioni dei singoli elementi avremo: Posto: G 11 = i 1 G 22 = i 2 v 1 v2 =0 v 2 v1 =0 avremo: G 12 = i 1 = G 22 v1 =0 v 2 = G 1 (G 2 G 3 ) G 1 G 2 G 3 = 2 3 W 1, = (G 1 G 2 ) G 3 G 1 G 2 G 3 G 4 = 5 3 W 1, R eq = R 1 R 1 R 3 = 3 2 W, R 4 R 4 R eq R 1 = 1 3 W 1. Infine, per il termine G 21 possiamo sommare il contributo del generatore controllato a quello del doppio bipolo passivo alla sua sinistra. Denominando G 21 il termine corrispondente, e ricordando che per la reciprocità G 21 = G 12, applicando la legge di Kirchhoff al nodo del generatore controllato otteniamo:

38 386 6 Doppi bipoli G 21 = i 2 = g G 12 = 2 v2=0 3 W 1. v 1 5. La sintesi di un doppio bipolo non reciproco (controllato in corrente) può sempre essere immediatamente realizzata con lo schema di fig Una possibile alternativa si ha attraverso la scomposizione: v 1 = R 11 i 1 R 12 i 2 = R 11 i 1 R 12i 2 R 12i 2, v 2 = 1 i 1 2 i 2 = 1i 1 1i 1 2 i 2, dove R ( 12 ed 1 ) siano opportuni valori tali da garantire che la matrice R11 R 12 R = R 12 verifichi le condizioni per i doppi bipoli lineari passivi 2 ( 6.3.1), ed R 12, 1 i valori residui. In tal caso la sintesi può essere effettuata con una terna di resistori, che sintetizza la matrice R, con in aggiunta (in serie alle due porte) due opportuni generatori di tensione controllati in corrente. Nel caso in esame, posto: ( ) ( ) ( ) R = = R R =, avremo il circuito: R 1 R 3 i 1 i 2 v 1 ri 1 v 2 con R 1 = R 11 R 12 = 3 W, R 3 = 2 R 12 = 1 W, = R 12 = 1 W, r = R 12 = 3 W. 6. Calcoliamo anzitutto i parametri R per il doppio bipolo in esame. Avremo: R 11 = R 1 [ (R 3 R 4 )] = 14 W 2 = R 5 [R 4 ( R 3 )] = 14 W R 12 = R 4 R 3 R 4 = 1 W Pertanto, nel classico schema a T ( 6.3.4) si avrà: R a = R 11 R 12 = 13 W, R c = 2 R 12 = 13 W, = R 12 = 1 W.

39 6.6 Esercizi Il circuito può essere facilmente risolto applicando la proprietà di trasporto al primario dell impedenza Żeq costituita dal parallelo tra quella del resistore R e quella del condensatore C. Essa sarà data da: Ż eq = n 2 Ż eq = n 2 Z CR Z C R = j. La tensione del resistore R può essere immediatamente calcolata applicando il partitore di tensione tra l impedenza Ż eq e quella dell induttore L e riportando a secondario del trasformatore il valore ottenuto: Ż eq V R = 1 n Ē Ż L Żeq = j, ed infine: v R (t) = 0.1 cos ( 10 6 t 0.68 ). 8. Per il mutuo accoppiamento presente nel circuito risulta verificata la condizione di accoppiamento perfetto L 1 L 2 = M 2. Utilizzando il corrispondente circuito equivalente con il trasformatore ideale, e trasportando al primario la serie e (t), si ottiene il circuito di figura. C n 2 R 1 j(t) L 1 n e(t) Per il calcolo della tensione del condensatore possiamo applicare Thévenin ai suoi terminali. In tal caso avremo: Ż L1 Ē 0 = J R 1 nē n 2 ŻL1 = j, Pertanto: ed infine: Ż T h = R 1 n2 ŻL1 = j. n 2 ŻL1 Ż C V C = Ē0 = j, Ż C ŻT h v C (t) = sin (500t 1.70).

40 388 6 Doppi bipoli 9. Considerando il circuito di impedenze corrispondente, si ha immediatamente: Ż 11 = R ŻC = 2 0.2j, Ż 22 = ŻL ŻC R = j, Ż 12 = ŻC = 0 0.2j = Ż21. Pertanto la tensione v 1 (t) può essere agevolmente calcolata come: V 1 = Ż11 J 1 Ż12 J 2 = j, v 1 (t) = 1.81 cos ( 10 4 t 0.11 ). Per quanto riguarda la potenza complessa erogata dai generatori, avremo: ˆP 1 = 1 2 V 1 J 1 = j, ˆP2 = 1 2 V 2 J 2 = j.

41 490 7 Dinamica dei circuiti lineari Esercizi 1. Per il circuito in figura determinare: a) l equivalente di Thévenin ai terminali 1O, 2O b) l andamento della tensione della capacità v C (t) per t 0. R 1 j(t) R 3 C v C (t) R 1 = = 2 W, R 3 = 1 W, C = 0.1 F, J = 2A, v C (0) = Il circuito in figura è in regime sinusoidale per t < 0. Determinare l andamento dell intensità di corrente del resistore R 3 per t 0. R 1 e(t) { 2 cos(100t) V t < 0, e(t) = 0 V t 0, R L R 1 = = 10 W, 3 R 3 = 5 W, L = 100 mh. 3. Il circuito in figura è a regime per t < 0, prima dell intervento dell interruttore. Determinare l andamento dell intensità di corrente dell induttore i L (t) per t 0. R J i L L R t=0 R = 10 W, J = 10 A, L = 500 mh. 4. Il circuito in figura è a regime per t < 0, prima dell intervento dell interruttore. Determinare l andamento della tensione v C (t) sulla capacità. R E t=0 v C C R R = 10 W, E = 50 V, C = 500 µf.

42 7.5 Esercizi Determinare l andamento dell intensità di corrente dell induttore i L (t) per t 0 (si consiglia di applicare Norton ai nodi 1O 2O per descrivere la parte adinamica del circuito). j(t) v=ri 1 R 1 R 3 L i L R 1 = 2 W, = 4 W, R 3 = 8 W, r = 2 W, L = 100 mh, J = 5 A, i L (0) = 0 A. 6. Il circuito in figura è a regime per t < 0. Successivamente il generatore di tensione e(t) si spegne. Determinare l andamento della corrente dell induttore, i L (t), < t <. e(t) { i L 10 cos (50t) V t < 0, e(t) = 0 V t 0, R 1 J(t) = 5 A, J R 3 R 1 = = 40 W, R 3 = 20 W, L = 500 mh. 7. Per il circuito in figura determinare l intensità di corrente dell induttore i L (t) per < t <. e(t) R C R L { 1 V t < 0 i L (t) e(t) = 1 V t 0 R = 10 W, L = 5 mh, C = 100 µf. 8. Il circuito di figura è in regime stazionario per t < 0. Determinare: a) la resistenza equivalente del bipolo serie resistoregeneratore di tensione controllato in tensione,b) l andamento dell intensità di corrente che attraversa l induttore, i(t), per t 0.

43 492 7 Dinamica dei circuiti lineari e(t) R L n:1 C { 1 A t < 0, j (t) = 0 A t 0, R = 2 W, L = 1 µh, C = 1 µf, α = Il circuito in figura è in regime stazionario per t < 0. Determinare l andamento dell intensità di corrente dell induttore. { 1 V t < 0, M e(t) = 2 cos 50t V t 0, e(t) R L 1 L 2 v C (t) R = 5 W, L = 500 mh, C = 2000 µf, n = Il circuito in figura è in regime sinusoidale per t < 0. Determinare l andamento della tensione del condensatore v C (t) per < t <. e(t) R M L 1 L 2 C { 10 cos (314t) V t < 0, e(t) = 0 V t 0, R = 10 W, C = 100 µf, L 1 = 12 mh, L 2 = 3 mh, M = 6 mh.

44 7.5 Esercizi Dopo aver disconnesso la capacità C, per trovare l equivalente di Thévenin, calcoliamo anzitutto la resistenza equivalente (una volta spenti i generatori) dai terminali 1O, 2O: R T h = R 3 (R 1 ) R 3 (R 1 ) = 4 5 W. Per la tensione a vuoto E 0 possiamo applicare il partitore di tensione alla serie R 3, dopo aver calcolato la tensione del generatore J come prodotto della corrente per la resistenza complessiva vista dal generatore: E 0 = J R 1 ( R 3 ) R 1 R 3 R 3 R 3 = 4 5 V. Una volta determinato l equivalente di Thévenin ai terminali, è immediato scrivere l integrale generale della soluzione per l incognita considerata. Infatti la soluzione dell omogenea associata è: v C0 = Ae t R T hc, inoltre è immediato verificare che l integrale particolare è dato da v Cp = E 0 = 12/15. Pertanto, imponendo la condizione iniziale v C (0) = 0 si ottiene: v C (t) = e t Applichiamo Thévenin ai terminali a cui è collegato l induttore, la tensione a vuoto vale: { R cos(100t) t < 0 e 0 (t) = e(t) = R 1 R 3 0 t 0 mentre la resistenza equivalente è data da: R T h = (R 1 ) R 3 = 4W, Il circuito RL serie a cui ci siamo ricondotti in tal modo è in regime sinusoidale per t < 0, per passando ai fasori, e ponendo E 0 = 0.4, Ż L = j10, si calcola facilmente la corrente dell induttore in tale condizione: E 0 I L = R T h ŻL = j, i L (t) = cos(100t 1.19) (t < 0). Da qui si ricava la condizione iniziale per lo studio del circuito per t 0, che risulta: i L (0) = I 0 = cos( 1.19) =

45 494 7 Dinamica dei circuiti lineari La soluzione per t 0 ha dunque l espressione: i L (t) = I 0 e R T h L t = e 40t. 3. Per t < 0 il circuito è in regime stazionario. In tali condizioni, con l interruttore aperto, la corrente dell induttore risulta i L =J/2. Alla chiusura dell interruttore il resistore R risulta cortocircuitato. In tal caso si ha che l integrale dell omogenea ha l espressione: i L (t) = Ae R L t, e che la soluzione di regime per t risulta: i L = J. Imponendo la condizione iniziale i L (0) = J/2 = A J ricaviamo A = J/2, ottenendo la soluzione: i L (t) = J/2e R L t J = 5e 20t Per t < 0 il circuito è in regime stazionario. In tali condizioni, con l interruttore aperto, la tensione della capacità risulta v C =E/2. Alla chiusura dell interruttore il resistore R in serie ad esso risulta di fatto escluso dal circuito. In tal caso si ha che l integrale dell omogenea ha l espressione: v C (t) = Ae t RC, e che la soluzione di regime per t risulta: v C = E. Imponendo la condizione iniziale v C (0) = E/2 = A E ricaviamo A = E/2, ottenendo la soluzione: v C (t) = E/2e t RC E = 25e 200t Applichiamo Norton, come suggerito, ai nodi 1O 2O. Il calcolo della resistenza equivalente è pressoché immediato se si osserva che a) una volta spento il generatore indipendente J la corrente di pilotaggio del generatore controllato è proprio pari alla sua corrente, b) il bipolo equivalente visto dai nodi 1O 2O è costituito dal parallelo tra R 3 e la serie tra R 1, ed il generatore controllato. Pertanto avremo:

46 7.5 Esercizi 495 R eq = R 3 (R 1 r) = 4 W. Per quanto concerne il calcolo di J cc osserviamo anzitutto che, messi in corto circuito i nodi 1O 2O il resistore R 3 viene di fatto eliminato. Analizzando il circuito corrispondente (avendo fissato il verso di J cc dal nodo 1O 2O) potremo scrivere le equazioni: J = i 1 J cc, R 1 i 1 = ri 1 J cc. Sostituendo la prima nella seconda si ottiene subito: J cc = R 1 r R 1 R 1 r J = Possiamo utilmente applicare la sovrapposizione degli effetti. Consideriamo dunque dapprima agente il solo generatore di corrente costante J. Utilizzando al solito il circuito adinamico che otteniamo sostituendo all induttore un circuito aperto otteniamo immediatamente: i L = J 2 = 2.5 A. Per quanto riguarda gli effetti del generatore variabile e(t), avremo un regime sinusoidale per t < 0, ed una evoluzione libera per t 0. Utilizzando i fasori, posto: ) (ŻL R 3 Ż eq = R 1 = j, ŻL R 3 otteniamo subito: I L = Ė = j i Z eq ŻL L = cos (50t 0.56). R 3 In particolare, posto t = 0 nella precedente espressione otteniamo la condizione iniziale: i L (0) = = I 0. A questo punto la soluzione dinamica (evoluzione libera) per t 0 è immediata: i L (t) = I 0 e Req L t = 0.90e 42t. In definitiva avremo: { i L (t) = i L (t) i cos (50t 0.56) 2.5 t < 0 L (t) = 0.90e 42t. 2.5 t 0

47 496 7 Dinamica dei circuiti lineari 7. Il circuito è in regime stazionario per t < 0. È immediato verificare che in tal caso risulta: i L (t) = e R = 1 10 = 0.1 A, v C (t) = e = 1 V. Per l analisi per t 0 innanzitutto osserviamo che per t avremo i L = e R = 1 = 0.1 A. 10 Spento il generatore e ridotti conseguentemente in parallelo i due resistori, l equazione del circuito (in termini dell intensità di corrente i L ) è: con le condizioni iniziali: e d 2 i L dt 2 1 di L R eq C dt 1 LC i L = 0, di L dt i L (0) = 0.1 = v L(0) t=0 L = 400. Le frequenze naturali del circuito risultano: posto: λ 1,2 = σ ± jω = 1000 ± 1000j, i(t) = e σt (A cos ωt B sin ωt) i, possiamo imporre le condizioni iniziali alla soluzione generale per ricavare i valori delle costanti A e B: { { A = I0 i = 0.2 σa ωb = v A = 0.2 L B = 0.2 L 8. Caratterizziamo anzitutto il bipolo costituito dal generatore controllato e dal resistore R (quella parte di circuito può essere vista come un bipolo proprio in conseguenza del fatto che la variabile di controllo è v R ). v = αv R v R = (α 1) Ri R eq = (α 1) R = 3 W. Per calcolare l andamento della corrente dell induttore per t 0 osserviamo anzitutto che il circuito si trova in regime stazionario per t < 0. Risolvendo il circuito adinamico che otteniamo, al solito, sostituendo al condensatore un circuito aperto ed all induttore un corto circuito otteniamo le condizioni iniziali:

48 v C (0) = V 0 = 0 V, i L (0) = I 0 = 1 A. 7.5 Esercizi 497 Il generatore di corrente si spegne per t 0. Di conseguenza la dinamica della corrente richiesta rappresenta l evoluzione libera di un circuito RLC serie a partire dalle condizioni iniziali calcolate. L equazione caratteristica è in questo caso: λ 2 R eq L λ 1 LC = 0, che risolta fornisce λ 1 = , λ 2 = La soluzione ha dunque la forma: i(t) = k 1 e λ 1t k 2 e λ 2t. Per il calcolo delle costanti k 1, k 2 imponiamo le condizioni iniziali: { { k1 k 2 = 1 k1 = 1.17 λ 1 k 1 λ 2 k 2 = v L L = k 2 = Il circuito può essere facilmente analizzato applicando la proprietà di trasporto al primario al condensatore, ottenendo un condensatore di capacità C = C/n 2. A questo punto il circuito risulta un classico RLC serie. Esso è forzato da un generatore di tensione che assume valore costante per t < 0, ed ha invece un andamento sinusoidale per t 0. Di conseguenza per t < 0 il circuito risulta in regime stazionario, dopodichè si avrà una dinamica con forzamento sinusoidale a partire dalle condizioni iniziali determinate a t=0. Risolvendo il circuito adinamico che otteniamo, al solito, sostituendo al condensatore un circuito aperto ed all induttore un corto circuito, otteniamo gli andamento per t < 0: v C (t) = 1 V, i L (t) = 0 A, essi rappresentano anche, per continuità, le condizioni iniziali V 0, I 0 per la successiva dinamica. L equazione caratteristica è in questo caso: λ 2 R L λ 1 LC = 0, che risolta fornisce λ 1,2 = 5 ± 158.0j. Tenuto conto del forzamento sinusoidale, l integrale particolare potrà essere calcolato applicando i fasori. In tal modo si ottiene: Pertanto la soluzione generale sarà: i (t) = cos(50t 1.54), i(t) = e σt (A cos ωt B sin ωt) i (t).

49 498 7 Dinamica dei circuiti lineari Per il calcolo delle costanti A,B dovremo imporre: A = i I 0 { σa ωb di A = dt = v L (0) B = t=0 L 10. Notiamo anzitutto che il trasformatore presente nel circuito risulta ad accoppiamento perfetto essendo L 1 L 2 = M 2. In tal caso è possibile sostituirlo con un suo equivalente attraverso un trasformatore ideale di rapporto: n = L 1 /M = M/L 2 = 2, con in parallelo alla porta di ingresso un induttore di valore L = L 1. Con tale sostituzione, e trasportando al primario la il condensatore attraverso la relazione C = C / n 2 = 25 µf, otteniamo un circuito RLC parallelo (esso diviene tale effettivamente spegnendo il generatore). L analisi per t < 0 può agevolmente essere condotta mediante i fasori. Posto: è immediato ricavare: Ż eq = ŻLŻC Ż L ŻC = 3.88j Ż eq V C = E = j, R Żeq I L = V C Ż L = j, v C (t) = 3.6 cos (314t 1.2) (t < 0), i L (t) = 0.96 cos (314t 0.37) (t < 0). La dinamica per t 0 risulta invece un evoluzione libera a partire dalle condizioni determinate dal regime precedente per t = 0, v C (0) = V 0 = 1.310, i L (0) = I 0 = L equazione caratteristica è nel nostro caso: λ 2 1 RC λ 1 LC = 0, che risolta fornisce λ 1 = , λ 2 = La soluzione in questo caso assume la forma: v C (t) = k 1 e λ 1t k 2 e λ 2t. Imponendo le condizioni iniziali si ottengono le condizioni: