Appunti, parte 9 - Trasformazioni di coordinate. Fotogrammetria Topografia e Tecniche Cartografiche

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1 Vittorio Casella Appunti, parte 9 - Trasformazioni di coordinate Fotogrammetria Topografia e Tecniche Cartografiche Anno Accademico Dipartimento di Ingegneria Edile e del Territorio Università degli Studi di Pavia

2 Capitolo 1 Trasformazioni di coordinate nel piano Siano (uv) e (xy) sistemi di riferimento (nel seguito sr) nel piano; siamo interessati a caratterizzare matematicamente la relazione fra i due, principalmente con due scopi: Problema diretto: trasformare coordinate da un sr all altro, noti i parametri del loro orientamento reciproco; Problema inverso: determinare i parametri a partire dalle coordinate in entrambi i sr di un numero sufficiente di punti, detti punti doppi o punti di controllo. Queste note prenderanno in considerazione alcune trasformazioni di coordinate fra le più semplici ed utili. Di un certo punto P, indicheremo con x p = (x p, y p ) t le coordinate rispetto al sr (xy) e indicheremo con u p = (u p, v p ) t quelle rispetto al sr (uv). 1.1 Le traslazioni Assumiamo che (uv) e (xy) coincidessero in origine e che l origine di (uv) sia stata traslata di una quantità espressa dal vettore di traslazione [ ] Tx T = (1.1) Si può facilmente concludere che, per uno stesso punto P, le singole componenti si trasformano secondo le leggi T y x p = T x + u p (1.2) y p = T y + v p (1.3) 1

3 che possono essere sintetizzate usando la notazione vettoriale x p = T + u p (1.4) Il vettore T rappresenta la posizione occupata dall origine del sr (uv) rispetto al sr (xy), come di può verificare applicando la 1.4 al vettore u = (0, 0). La relazione appena ottenuta può essere facilmente invertita: 1.2 I cambiamenti di scala u p = x p T (1.5) Se i due sr (uv) e (xy) hanno origini coincidenti e assi paralleli ed equiversi, ma l unità di misura con cui vengono misurate le coordinate rispetto all uno o all altro sono diverse, si può scrivere che equivale, in notazione vettoriale, a x p = λ u p (1.6) y p = λ v p (1.7) x p = λ u p (1.8) Consideriamo ora un punto sull asse x e indichiamo con (x, 0) le sue coordinate rispetto al sr (xy) e con (u, 0) le sue coordinate rispetto al (uv). Essendo x = λu, dalla 1.6, si può concludere u x = 1 λ (1.9) cioè 1/λ è il rapporto di scala del del sr (uv) rispetto a (xy). Consideriamo per maggiore chiarezza un semplice esempio: se (uv) fosse il sr di una carta e (xy) il sr della realtà, il rapporto 1/λ rappresenterebbe il rapporto di scala della carta. Il reciproco del rapporto di scala, λ è detto talvolta fattore di scala. I rapporti fra coordinate omologhe x/u e y/v di uno stesso punto coincidono e valgono λ. E talvolta interessante studiare il caso in cui essi, cioè i rapporti di scala lungo x (u) e lungo y (v), sono diversi. Indicando con x u = λ x (1.10) y v = λ y (1.11) (1.12) si possono generalizzare le relazioni 1.6 e 1.8 introducendo una matrice di scala ( ) λx 0 Λ = (1.13) 0 λ y 2

4 e scrivendo x p = Λu p (1.14) u p = Λ 1 x p (1.15) (1.16) 1.3 Le rotazioni Supponiamo che il sr (uv), inizialmente coincidente con (xy), sia ruotato in senso antiorario di un angolo α. Per uno stesso punto P del piano si può dimostrare che valgono le relazioni [ ] [ ] [ ] xp cos α sin α up = (1.17) sin α cos α y p che possono essere sintetizzate in notazione vettoriale, introducendo la matrice di rotazione R α x p = R α u p (1.18) v p La matrice di rotazione R α [ ] cos α sin α R α = sin α cos α (1.19) è ortogonale in quanto gode delle seguenti proprietà R t αr α = R α R t α = I (1.20) R 1 α = R t α (1.21) Di conseguenza si ha R 1 α = R t α = [ cos α ] sin α sin α cos α (1.22) e anche u p = R t α x p (1.23) 1.4 Le rototraslazioni con cambiamento di scala Consideriamo ora alcune trasformazioni di coordinate composte: supponiamo che il sr (uv), inizialmente coincidente con (xy), venga progressivamente trasformato applicando in sequenza: traslazione, cambio di scala, rotazione. Per chiarezza considereremo, oltre a (xy) e (uv), alcuni sr intermedi, (uv) (1) e (uv) (2) ; i rapporti che legano i vari sr considerati sono i seguenti (uv) (1) è traslato rispetto a (xy) di una quantità T; 3

5 (uv) (2) è scalato rispetto a (uv) (1) in modo che il rapporto di scala del primo rispetto al secondo sia 1/λ; (uv) è ruotato rispetto a (uv) (2) di un angolo antiorario α. E possibile applicare ai sr introdotti le trasformazioni elementari già introdotte e, in particolare, passaggio da (uv) a (uv) (2) ; applicando la 1.18 passaggio da (uv) (2) a (uv) (1) ; applicando la 1.8 passaggio da (uv) (1) a (xy); mediante la 1.4 u (2) p = R α u p (1.24) u (1) p = λ u (2) p (1.25) x p = T + u (1) p (1.26) Tali relazioni possono essere composte in cascata nel modo seguente u (2) p = R α u p u (1) p = λ u (2) p = λ R α u p x p = T + u (1) p = T + λ R α u p Le equazioni di una rototraslazione (TPC4, Trasformazione Piana di Coordinate a 4 parametri) sono dunque x p = T + λ R α u p (1.27) u p = λ 1 R t α (x p T) (1.28) 1.5 Altre trasformazioni piane di coordinate Modificando leggermente la 1.27, si ottengono le relazioni formali che descrivono altre trasformazioni di coordinate, come ad esempio la rototraslazione pura x p = T + R α u p (1.29) la rototraslazione con cambiamento di scala anisotropo x p = T + ΛR α u p (1.30) dove la matrice Λ è definita in Si usa anche la trasformazione affine [ ] a b x p = T + u c d p (1.31) 4

6 Capitolo 2 Trasformazioni di coordinate nello spazio Consideriamo ora alcune trasformazioni di coordinate nello spazio. Occupiamoci anzitutto di generalizzare il concetto di rotazione. 2.1 Le rotazioni piane nello spazio Supponiamo che il sr (uvw), inizialmente coincidente con (xyz), venga ruotato attorno all asse x di un angolo ω in senso antiorario. Per uno stesso punto P dello spazio varranno le relazioni x p y p = 0 cos ω sin ω z p 0 sin ω cos ω u p v p w p (2.1) che generalizzano in modo ovvio le Se la rotazione avviene attorno all asse y, di un angolo ϕ in senso antiorario, la relazione fra (uvw) e (xyz) è del tipo x p cos ϕ 0 sin ϕ y p = z p sin ϕ 0 cos ϕ u p v p w p (2.2) I concetti di senso orario e senso antiorario non possono fare a meno di alcune convenzioni: un angolo disegnato su un vetro in modo da apparire in senso antiorario a un osservatore, sembrerà diretto in senso orario a un osservatore posto dall altra parte dal vetro. Considerazioni su questo tipo di problemi, che vengono omesse, conducono alla conclusione che la 2.2 è corretta, e non, invece x p cos ϕ 0 sin ϕ y p = z p sin ϕ 0 cos ϕ 5 u p v p w p

7 Consideriamo per finire una rotazione attorno all asse z, di un angolo κ in senso antiorario; in tal caso la relazione sarà x p cos κ sin κ 0 u p y p = sin κ cos κ 0 v p (2.3) z p w p Le tre matrici coinvolte vengono usualmente indicate con R ω, R ϕ e R κ R ω = 0 cos ω sin ω (2.4) 0 sin ω cos ω cos ϕ 0 sin ϕ R ϕ = (2.5) sin ϕ 0 cos ϕ cos κ sin κ 0 R κ = sin κ cos κ 0 (2.6) Le rotazioni nello spazio Sfrutteremo il ben noto risultato per cui una rotazione nello spazio può essere espressa come composizione di tre rotazioni attorno a tre assi ortogonali. Supporremo pertanto che il sr (uvw), inizialmente coincidente con (xyz), sia sottoposto a una successione di tre rotazioni piane e, per chiarezza considereremo, come in altre occasioni, oltre a (xyz) e (uvw), alcuni sr intermedi, (uvw) (1) e (uvw) (2) ; i rapporti che legano i vari sr considerati sono i seguenti (uvw) (1) è ruotato rispetto a (xyz) di un angolo ω, in senso antiorario, attorno all asse x; (uvw) (2) è ruotato rispetto a (uvw) (1) di un angolo ϕ, in senso antiorario, attorno all asse v (1) ; (uvw) è ruotato rispetto a (uvw) (2) di un angolo κ, in senso antiorario, attorno all asse w (2) ; E possibile applicare ai sr introdotti le trasformazioni elementari già introdotte e, in particolare, passaggio da (uvw) a (uvw) (2), applicando la 2.3 u (2) p = R κ u p (2.7) passaggio da (uvw) (2) a (uvw) (1), applicando la 2.2 u (1) p = R ϕ u (2) p (2.8) 6

8 passaggio da (uvw) (1) a (xyz), mediante la 2.1 x p = R ω u (1) p (2.9) e tali relazioni possono essere composte in cascata nel modo seguente u (2) p = R κ u p Introducendo allora la matrice si può allora scrivere u (1) p = R ϕ u (2) p = R ϕ R κ u p x p = R ω u (1) p = R ω R ϕ R κ u p R ωϕκ = R ω R ϕ R κ (2.10) x p = R ωϕκ u p (2.11) La matrice R ωϕκ è ortogonale in quanto prodotto di matrici ortogonali, dunque la sua inversa può essere facilmente ricavata R 1 ωϕκ = R t ωϕκ = R t κ R t ϕ R t ω (2.12) e, di conseguenza, la 2.11 può essere agevolmente invertita 2.3 Le rototraslazioni nello spazio u p = R t ωϕκ x p (2.13) E possibile a questo punto generalizzare al caso tridimensionale quanto visto al Par. 1.4, utilizzando i risultati del Par Supporremo che il sr (uvw), inizialmente coincidente con (xyz), venga progressivamente trasformato applicando in sequenza: traslazione spaziale (T), cambio di scala (λ), rotazione spaziale (R ωϕκ ): le relazioni che legano le coordinate rispetto ai due sr saranno x p = T + λ R ωϕκ u p (2.14) u p = λ 1 R t ωϕκ (x p T) (2.15) Questa relazione è la base dell orientamento assoluto in fotogrammetria. 2.4 Il cambio di datum in geodesia La rototraslazione piana a 7 parametri viene anche impiegata in geodesia per effettuare i cambi di datum. Se u p rappresenta le coordinate cartesiane 7

9 geocentriche di un punto riferite a un certo datum, come ad esempio WGS- 84, e u p rappresenta le coordinate geocentriche dello stesso punto, riferite a un altro datum, come ad esempio Roma40, è possibile dimostrare che la relazione che le lega è analoga alla Vi sono delle leggere differenze: anzitutto il coefficiente di scala è prossimo a uno, dunque, invece di λ, si usa un coefficiente K, legato al precedente dalla relazione λ = K (2.16) che normalmente ha un valore assoluto non maggiore di 20. Inoltre gli angoli di rotazione vengono di norma indicati con α x, α y, e α z e le corrispondenti matrici con R x, R y, R z ; la differenza maggiore tuttavia consiste nel diverso ordine in cui si immagina che le rotazioni avvengano, per cui la matrice complessiva risulta R zyx = R z R z R x (2.17) Il cambio di datum viene pertanto espresso nella maniera seguente x = T + ( K) R zyx u (2.18) 8

10 Capitolo 3 Stima ai MQ dei parametri delle trasformazioni di coordinate Nei problemi pratici capita spesso di dover stimare i parametri di una trasformazione di coordinate, prima di poterla usare direttamente. Tale stima può essere portata a termine se si dispone di un numero sufficiente di punti doppi, punti per i quali sono note le coordinate in entrambi i sr. Nel caso della fotogrammetria, per esempio, è ragionevole ipotizzare che il legame fra le coordinate strumentali (uv) e le coordinate lastra (xy) sia del tipo 1.27; lo strumento restitutore sul quale un certo fotogramma è inserito fornirà le coordinate strumentali dei punti collimati, che dovranno essere convertite in coordinate lastra; noti i parametri (T x, T y, α, λ), si tratterà di applicare semplicemente la 1.27; tuttavia dopo aver appoggiato un fotogramma sul carrello non saranno noti a priori i parametri della trasformazione fra il sr strumentale e quello lastra, che dovranno essere stimati. Le marche fiduciali hanno, fra l altro, questo scopo: se ne possono misurare le coordinate strumentali, come per qualunque altro punto, e se ne conoscono, dal certificato di taratura, le coordinate lastra. Tali elementi sono sufficienti a stimare ai MQ i parametri della TPC4 che connette i dei sr. 3.1 Stima di una TPC4 Ipotizziamo anzitutto che la relazione fra le coordinate lastra e quelle strumentali sia del tipo TPC4. Supponiamo inoltre di aver misurato le coordinate strumentali (u i, v i ) di un certo numero di punti, n p e di conoscere le coordinate lastra degli stessi punti, (x i, y i ); tali punti sono dunque punti doppi. E da notare come l identificazione delle (uv) come coordinate strumentali e delle (xy) come coordinate lastra sia del tutto accidentale e 9

11 motivata unicamente da considerazioni di tipo didattico: lo svolgimento ha un valore generale. Ci poniamo il problema di stimare i parametri della TPC4 in forza delle coordinate dei punti doppi; fatta una scelta dei parametri incogniti, (T x, T y, α, λ), potremo calcolare le coordinate lastra dei punti doppi, a partire da quelle strumentali, x i = T x + λ (u i cos α v i sin α) y i = T y + λ ( u i sin α + v i cos α) (3.1) e confrontarle con quelle misurate, che verranno d ora in poi indicate con (u 0i, v 0i ). In un mondo perfetto sarebbe possibile trovare dei valori delle incognite tali da soddisfare in modo esatto tale richiesta, per tutti i punti doppi considerati, ma purtroppo nel mondo reale, imperfetto e afflitto dagli errori di misura, ciò non è possibile, e si è costretti a definire un criterio meno forte. Considerando il vettore Y 0 delle coordinate lastra misurate e il vettore delle coordinate lastra calcolate, ricavabili dalle 3.1 Y 0 = x 01 y 01. x 0i y 0i. x 0 np y 0 np Y = x 1 y 1. x i y i. x np y np (3.2) si cercheranno i valori delle incognite che rendono minima la distanza fra Y 0 e Y, cioè che rendono minima la norma del vettore differenza Y 0 Y. Tutto questo conduce chiaramente a un problema di minimi quadrati, dunque dobbiamo cercare di ricondurre le equazioni di osservazione 3.1 alla forma tipica dei problemi ai MQ Y = AX + a (3.3) Il vettore delle osservazioni Y è già stato esplicitato e il vettore delle incognite è X = T x T y α λ (3.4) Purtroppo non è possibile dare alle 3.1 la forma 3.3 in quanto i parametri α e λ sono combinati in modo non lineare, basti considerare che l angolo α compare come argomento di funzioni seno e coseno; sembrerebbe 10

12 necessario dunque affrontare questo come un problema di MQ non lineari, invece fortunatamente è possibile effettuare una trasformazione invertibile delle incognite che rende in problema lineare. Se infatti introduciamo due grandezze ausiliarie a e b, così definite a = λ cos α b = λ sin α (3.5) e riesprimiamo le 3.1 in modo da far comparire tali grandezze, otteniamo x i = T x + u i a v i b y i = T y + u i b + v i a (3.6) cioè relazioni lineari. Se consideriamo dunque un problema associato, le cui incognite sono X = T x T y a b (3.7) esso è facilmente riconducibile alla forma canonica ponendo..... A = 1 0 u i v i 0 1 v i u i a = (3.8) Risolto il problema lineare associato, è possibile ricavare le stime per le incognite originarie, invertendo le 3.5 Bilancio equazioni-incognite α = arctan b a λ = a 2 + b 2 (3.9) Sia n e il numero delle equazioni, pari al doppio del numero dei punti, n p. Sia ora n i il numero delle incognite, pari a 4, la disuguaglianza n e n i conduce a n p 2 (3.10) 3.2 Stima di altre trasformazioni di coordinate La stima dei parametri della altre trasformazioni piane considerate può essere fatta in modo analogo a quello presentato. Le trasformazioni 1.29 e 11

13 1.30 tuttavia devono essere stimate con la metodologia dei MQ non lineari e in questo caso la metodologia presentata nel Par. 3.1 può essere usata per trovare valori approssimati sensati. La trasformazione 1.31 è invece visibilmente lineare. E ovvio che, a seconda del numero delle incognite, varia il numero minimo di punti necessari. Per le trasformazioni spaziali considerate, 2.14 e 2.18, valgono considerazioni del tutto analoghe: scelta dei valori approssimati, linearizzazione, soluzione iterativa. 12