incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale h:
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- Michele Lombardi
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1 CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: settembre 07 Matricola: Anno di corso: ( x. (8 pt Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = y è il vettore delle z incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale h: ( ( h h 0 A =, B =. h h + h (a Determinare il rango di A al variare di h: (b Determinare per quali valori di h il sistema ammette soluzioni: (c Determinare per quali valori di h l insieme delle soluzioni ha dimensione : (d Sia h =. Determinare una rappresentazione parametrica della varietà delle soluzioni:. (8pt Sia R(O, î, ĵ, ˆk un riferimento cartesiano ortonormale nello spazio; asse- gnati i punti A = (, B = ( 0, e Q = (, determinare: (a una rappresentazione cartesiana della retta r = AB; (b una rappresentazione cartesiana del piano π che contiene r e passante per l origine O; (c la distanza di Q da π; (d l intersezione di r con il piano coordinato xoy.
2 3. (8pt Si considerino le matrici A = ( 0 ( e B = (a Determinare gli autovalori di A specificandone molteplicità algebriche µ e geometriche m. (b Determinare le equazioni cartesiane di ciascun autospazio di A. (c Determinare una base di ciascun autospazio di A. (d Discutere se la matrice B è simile alla matrice A; in caso positivo esibire una matrice invertibile N tale che B = N AN. In caso negativo giustificare la risposta.
3 CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: settembre 07 Matricola: Anno di corso: ( x. (8 pt Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = y è il vettore delle z incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale h: ( ( h h + A =, B =. h h h (a Determinare il rango di A al variare di h: (b Determinare per quali valori di h il sistema ammette soluzioni: (c Determinare per quali valori di h la varietà soluzione ha dimensione : (d Sia h =. Determinare una rappresentazione parametrica della varietà delle soluzioni:. (8pt Sia R(O, î, ĵ, ˆk un riferimento cartesiano ortonormale nello spazio; asse- gnati i punti A = ( 3, B = ( 0, e Q = (, determinare: (a una rappresentazione cartesiana della retta r = AB; (b una rappresentazione cartesiana del piano π che contiene r e passante per l origine O; (c la distanza di Q da π; (d l intersezione di r con il piano coordinato xoz.
4 3. (8pt Si considerino le matrici A = ( e B = 4 ( (a Determinare gli autovalori di A specificandone molteplicità algebriche µ e geometriche m. (b Determinare le equazioni cartesiane di ciascun autospazio di A. (c Determinare una base di ciascun autospazio di A. (d Discutere se la matrice B è simile alla matrice A; in caso positivo esibire una matrice invertibile N tale che B = N AN. In caso negativo giustificare la risposta.
5 CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: settembre 07 Matricola: Anno di corso: ( x. (8 pt Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = y è il vettore delle z incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale h: ( ( h + h h A =, B =. + h h 0 (a Determinare il rango di A al variare di h: (b Determinare per quali valori di h il sistema ammette soluzioni: (c Determinare per quali valori di h l insieme delle soluzioni ha dimensione : (d Sia h = 0. Determinare una rappresentazione parametrica della varietà delle soluzioni:. (8pt Sia R(O, î, ĵ, ˆk un riferimento cartesiano ortonormale nello spazio; asse- gnati i punti A = (, B = ( 0, e Q = ( (a una rappresentazione cartesiana della retta r = AB;, determinare: (b una rappresentazione cartesiana del piano π che contiene r e passante per l origine O; (c la distanza di Q da π; (d l intersezione di r con il piano coordinato xoy.
6 3. (8pt Si considerino le matrici A = ( ( 0 4 e B = (a Determinare gli autovalori di A specificandone molteplicità algebriche µ e geometriche m. (b Determinare le equazioni cartesiane di ciascun autospazio di A. (c Determinare una base di ciascun autospazio di A. (d Discutere se la matrice B è simile alla matrice A; in caso positivo esibire una matrice invertibile N tale che B = N AN. In caso negativo giustificare la risposta.
7 CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: settembre 07 Matricola: Anno di corso: ( x. (8 pt Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = y è il vettore delle z incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale h: ( ( h + h A =, B =. + h h (a Determinare il rango di A al variare di h: (b Determinare per quali valori di h il sistema ammette soluzioni: (c Determinare per quali valori di h la varietà soluzione ha dimensione : (d Sia h = 0. Determinare una rappresentazione parametrica della varietà delle soluzioni:. (8pt Sia R(O, î, ĵ, ˆk un riferimento cartesiano ortonormale nello spazio; asse- gnati i punti A = ( 3, B = ( 0, e Q = (, determinare: (a una rappresentazione cartesiana della retta r = AB; (b una rappresentazione cartesiana del piano π che contiene r e passante per l origine O; (c la distanza di Q da π; (d l intersezione di r con il piano coordinato yoz.
8 3. (8pt Si considerino le matrici A = ( ( e B = 0. (a Determinare gli autovalori di A specificandone molteplicità algebriche µ e geometriche m. (b Determinare le equazioni cartesiane di ciascun autospazio di A. (c Determinare una base di ciascun autospazio di A. (d Discutere se la matrice B è simile alla matrice A; in caso positivo esibire una matrice invertibile N tale che B = N AN. In caso negativo giustificare la risposta.
(c) Determinare per quali valori di k lo spazio delle soluzioni ha dimensione 2:
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