NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI CONFRONTO DI PIU MEDIE IL METODO DI ANALISI DELLA VARIANZA

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1 NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI CONFRONTO DI PIU MEDIE IL METODO DI ANALISI DELLA VARIANZA

2 IL PROBLEMA Supponamo d voler studare l effetto d 4 dverse dete su un campone casuale d 4 cave rlevando per cascuna cava l peso n gr.. Suddvdamo le 4 cave n 4 grupp, quant sono trattament, n modo casuale (random) Trattament Replche A B C D

3 Popolazone Campon randomzzat A C B D Dat S dspone del peso n gramm delle 4 cave che sono assegnate casualmente a 4 dvers trattament. le osservazon relatve a cascun trattamento, le possamo ndcare genercamente y j. Con =1,,3,,k grupp j=1,,3,4,,n osservazon

4 Assunzon Dstrbuzone della varable : Gauss. Campon ndpendent. Varanze omogenee. Ipotes H 0 : µ a =µ b =µ c =µ d = =µ k =µ H 1 : µ r µ s L potes da saggare è che tutt trattament sano ugual contro un potes alternatva che almeno due sano dvers tra loro.

5 Replche 1 k 1 y 11 y 1 y 1 y 1k y 1 y y y 1k j y j1 y j y j y jk N y n1 y n y n y nk Σy j =T T 1 T T T k T y y 1 y y y k y T /n T 1 /n 1 T /n T /n T k /n k Σ (T /n ) Σy j =S S 1 S S S k S

6 RIEMPITE LA TABELLA PRECEDENTE CON I DATI DEL PROBLEMA E CALCOLATE LE DIFFERENTI QUANTITA

7 Nel nostro esempo la tabella precedente dventa: Trattamento Replche A B C D Σy j =T T=1779 y 760,8 681,7 73, 789, =738,7 y T /n Σ(T /n ) = S =Σy j S =

8 Costruzone della Statstca test Costruzone della Statstca test ) ( ) ( y y y y y y j j + = = = + = = = = = k n j y y k n j y j y k n j y j y devanza totale = devanza entro grupp + dev. tra grupp. G.l. N-1 N-k k-1 Con =1,,3,,k grupp j=1,,3,4,,n osservazon

9 La statstca test consste nel valutare quanta parte della varabltà totale è attrbuble alla dfferenza tra trattament. La statstca test sarà : F = k k = 1 j= 1 n n = 1 j= 1 ( y y) k 1 = varanza tra grupp (g.l. k -1) ( ) varanza entro grupp (g.l. N - k) y y j N k

10 Dstrbuzone della statstca test La dstrbuzone della statstca test è F-Fsher, dpende da grad d lbertà del numeratore (k-1) e del denomnatore (n-k) Regola d decsone Fsso α (lvello d sgnfcatvtà, errore d I tpo) accettablmente basso (0,05). e n corrspondenza de grad d lbertà del numeratore e del denomnatore s determna un valore tabulato che delmta la zona d rfuto. Zona d accettazone Zona d rfuto F tab

11 Tavola per l calcolo dell anals della varanza (ANOVA) Sorgent d varazone Devanze Grad d lbertà Varanza Fcalcolato Trattamento Dev. tra grupp k-1 S f =Dev. tra grupp/k-1 F=S f / S e Errore Dev. entro grupp N-k S e =Dev. entro grupp/n-k Totale Dev. totale N-1 Dev. tot/n-1

12 SSqTOT y j j ( y y y = S j j ) = j j = N T N SSqENTRO= ( y y j j ) y j j = y n j j T = n S SSqTRA y y j j j j T y y T n n = ( j ) = = N N S = ΣΣy j T = ΣΣ y j T = Σy j N = num.. delle osservazon

13 UTILIZZATE LE FORMULE PRECEDENTI E CALCOLATE LE DIFFERENTI DEVIANZE NONCHE LA TAVOLA DI ANALISI DELLA VARIANZA

14 Applcando le formule precedent s ottene: devanza totale = S ( T / N )= = devanza entro grupp = S Σ( T / n )= =34658 devanza tra grupp = Σ ( T / n ) - ( T / N )= =39185 Da cu: TAVOLA DI ANALISI DELLA VARIANZA Sorgent Devanze Grad d lbertà Tra grupp Entro grupp Varanze ,67 7, ,90 Totale F

15 Concluson Dato che l valore calcolato F = 7,54 è maggore del valore tabulato per α=0,05 F 3,0 = 3,10 allora posso rfutare H 0 Almeno due dete sono dfferent tra loro.

16 TEST DI BARTLETT PER L OMOGENEITA DELLE VARIANZE Dat k grupp d osservazon, le corrspondent varanze devono tutte rsultare stme della stessa varanza ncognta della popolazone, e n base a questo presupposto la varanza d errore può essere ottenuta come meda ponderata delle k varanze stmate n cascun gruppo H 0 : σ 1 = σ =.= σ k = σ contro l alternatva che almeno uno de valor σ rsult dverso da rmanent k-1

17 La statstca test A B =.306 ( n k) 1+ lg n 1 S ( k 1) ( n 1 n k 1) lg 10 S La dstrbuzone della statstca test è χ con k-1 grad d lbertà S è la varanza resdua e S è la varanza del gruppo -esmo S rfuta l potes se l valore calcolato d A/B rsulta maggore del valore tabulato χ con k-1 grad d lbertà

18 ( n ) k ( n 1) 1+ A B A B = = =,306 0 lg 1 n 1 10 [( ) ] n k lg10 S ( n 1) lg10 S 1 1 n 1 n k S lg ( k 1) ( k 1) 3( 4 1) [ 0 3,1 63,4] 1, n k S = lg = , = 1,79 3,1 = 17, , , ,49 = = = 1,049 63,4 χ con 3 grad d lbertà = 7,81>A/B=1,79 Varanze omogenee

19 CONFRONTI MULTIPLI Vanno effettuat quando l ANOVA ha portato al rfuto dell potes nulla Nella valutazone della sgnfcatvtà bsogna stare attent pochè quest tests possono comportare una dstorsone dell errore d I tpo così come della potenza del test

20 Procedura LSD d Fsher esegue tutt possbl test t (Least Sgnfcant Dfference = Mnma dfferenza sgnfcatva) Se eseguta solo nel caso n cu l potes nulla su tutte le mede vene rfutata rsulta puttosto effcente nel mantenere un ragonevole grado d controllo su fals error. LSD = t α/ ( Var Resdua/n) t α/ Valore della t-student con grad d lbertà N-k

21 S ordnano le mede dalla pù pccola alla pù grande S confronta la meda pù grande con la pù pccola - calcolando la dfferenza - confrontando la dfferenza ottenuta con l valore LSD Se la dfferenza supera l valore LSD s conclude che le due mede sono dverse S procede confrontando la pù grande con la seconda pù pccola e va d seguto Nessuna coppa d mede può essere dcharata sgnfcatvamente dversa, se s trova all nterno d un altra coppa gà dcharata non dfferente

22 UTILIZZATE LE FORMULE PRECEDENTI E CALCOLATE LA MINIMA DIFFERENZA SIGNIFICATIVA (LSD) DETERMINATE LA DIFFERENZA TRA LE MEDIE DEI GRUPPI CONFRONTATE IL VALORE DI LSD CON LA DIFFERENZA TRA LE MEDIE

23 LSD = t α/ ( Var Resdua/n) =.086 (x173.90/6) = y Df1 = = > 50,14 mede dfferent Df = = 66.0 > 50,14 Df3 = = 8.4 < 50,14 mede dfferent mede ugual Df4 = = 79.1 > mede dfferent Df5 = = 37.6 < mede ugual Df6 = = 41.5 < mede ugual

24 Test t multplo d Bonferron E basato sulla costruzone degl ntervall d confdenza per la dfferenza delle mede poste a confronto S 1 α m, g. l. r µ s r s + t1 α m, g. l. resdua ( y y ) t µ ( y y ) r s n S resdua n m rappresenta l numero d ntervall predetermnat per l confronto g.l sono grad d lbertà della varanza resdua ottenut nell ANOVA α è l lvello d sgnfcatvtà stablto per l ANOVA Se l ntervallo ottenuto non contene lo zero le mede poste a confronto possono rteners dverse

25 UTILIZZATE LE FORMULE PRECEDENTI E CALCOLATE L INTERVALLO DI CONFIDENZA SECONDO LA CORREZIONE DI BONFERRONI

26 S 1 α m, g. l. r µ s r s + t1 α m, g. l. resdua ( y y ) t µ ( y y ) r s n S resdua n y α/1 = Int ±.84 x 4.03 = ± Int ±.84 x 4.03 = 66.0 ± Int ±.84 x 4.03 = 8.4 ± Int ±.84 x 4.03 = 79.1 ± Int ±.84 x 4.03 = 37.6 ± Int ±.84 x 4.03 = 41.5 ±

27 QUANDO NON E POSSIBILE FARE L ASSUNZIONE DELLA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA SULLA VARIABILE, IL CONFRONTO DI PIU GRUPPI SI EFFETTUA CON IL METODO DELL ANALISI DELLA VARIANZA NON PARAMETRICA

28 IL PROBLEMA S vuole studare l effetto d due farmac sul tempo d reazone ad un certo stmolo su anmal da laboratoro; l terzo gruppo è quello d controllo. Possamo affermare che tre campon s dfferenzano rspetto a temp d reazone (msurat n second)? GRUPPO GRUPPO GRUPPO

29 ANALISI DELLA VARIANZA NON PARAMETRICA TEST DI KRUSKAL-WALLIS Le n 1, n,, n k osservazon provenent da k campon sono aggregate n un unca sere d dat d dmensone n e messe n ordne crescente Alle n osservazon vengono assegnat rangh. Quando due o pù osservazon hanno lo stesso valore, ad ogn osservazone vene assegnata la meda de rangh d tutte le osservazon con lo stesso valore I rangh assegnat alle osservazon n ognuno de k grupp vengono sommat tra loro ottenendo k somme de rangh

30 SEGUENDO I PASSI DESCRITTI NEL PRECEDENTE ALGORITMO EFFETTUATE I CALCOLI

31 Su nostr dat Gr I R1 Gr. II R Gr III R , , I valor n gallo sono dat orgnar I valor n banco rappresentano rangh I valor n verde sono le somme de rangh

32 La statstca test H = n 1 ( n + 1) k j = 1 R n j j 3 ( n + 1) Dove: K= numero de campon nj = numero d osservazon nel j-esmo campon n = numero totale delle osservazon Rj =somma de rangh nel j-esmo campon

33 ADESSO CALCOLATE LA STATISTICA TEST E PRENDETE LA DECISIONE

34 Per l nostro nseme d dat: H = ( + 1) ( + 1) = Per α=0,009 Htab=7.76 Rfuto l potes nulla I temp d reazone sono dvers

35 RICORDATE Quando c sono tre campon e 5 o meno osservazon n ogn campone, la sgnfcatvtà d H vene determnata usando le tavole d Kruskal-Walls. Quando c sono pù d 5 osservazon n uno o pù campon H vene confrontato con valor tabulat del χ con k-1 grad d lbertà.

36 Se c sono osservazon con l medesmo valore (tes ) bsogna correggere la statstca H T 1 n 3 T = t t 3 n H corr H = 1 n 3 T n

37 Nel nostro caso Correzone T=t 3 -t= 3 -=6 T 1 n 3 T = t t 3 n Correzone = 1 - ( 6 / ) = 0,9973 H corr = H 1 3 n T n = = 10.71