Lavoro. In generale il lavoro compiuto dalle forze su un sistema di corpi è: F i dl i = E ci L F =

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1 Lavoro In generale il lavoro compiuto dalle forze su un sistema di corpi è: L F = F i dl i = E ci i C i Usando il teorema di Koenig sull energia cinetica siamo in grado di esprimere i E c i in termini dell energia cinetica del centro di massa e dell energia cinetica calcolata nel sistema del centro di massa: E ci = 1 2 M totvcm m i (v 2 i) 2 i i 1 / 20 Occorre notare che per forze intendiamo sia forze interne che forze esterne!

2 Lavoro su un corpo rigido Per un corpo rigido poi è possibile esprimere l energia cinetica calcolata nel sistema del centro di massa in termini del momento d inerzia di un corpo e della velocità angolare (se abbiamo un asse fisso di rotazione): E ci = 1 2 M totvcm I asseω 2 i Visto che il corpo è rigido il lavoro compiuto dalle forze interne si annulla (perchè?). Possiamo scrivere quindi per il lavoro compiuto dalle forze esterne al variare della velocità del centro di massa e/o della velocità angolare: L F (E) = 1 2 M tot (v 2 CM) I asse (ω 2 ) = = 1 2 M tot((v F CM) 2 (v I CM) 2 ) I asse(ω 2 F ω 2 I ) 2 / 20

3 Potenza sviluppata su un corpo rigido La media sviluppata dalle forze esterne su un corpo rigido è in un intervallo di tempo è semplicemente: Per la istantanea abbiamo: P F (E)(t) = L F (E) t = Ec t P F (E)(t) = dl F (E) dt Se conosciamo l andamento temporale della velocità del centro di massa e della velocità angolare - abbiamo: 3 / 20 P F (E) = dl F (E) dt dl F (E) dt = 1 2 Mtot d v CM v CM dt = M a CM v CM + Iω dω dt = = F (E) v CM + Iω dω dt I d(ω2 ) dt =

4 Fluido ideale Un fluido può essere modellizzato come un corpo esteso non rigido a cui è possibile applicare alcuni dei concetti visti per il corpo rigido. Le caratteristiche dinamiche di un fluido restano definite dalle equazioni cardinali quando ne conosciamo la densità in ogni punto M(x) ρ(x) = lim e le forze che agiscono tra elementi del V (x) 0 V (x) fluido. Un volumetto V del fluido può essere pensato come un elemento del fluido stesso. In maniera elementare parliamo di fluido ideale nel caso di: 4 / 20 non compressibilità: il volume totale occupato dal fluido non può essere variato, ovvero la forza che il fluido oppone ad una sua variazione di volume è arbitrariamente elevata. viscosità nulla: tra due elementi del fluido non esistono forze tangenziali, l attrito interno è nullo. Come conseguenza, il lavoro compiuto dalle forze interne al variare della forma del fluido è nullo.

5 Equilibrio di un fluido Sugli elementi di un fluido pesante agiscono forze per mantenere l equilibrio. 5 / 20

6 Equilibrio di un fluido Sugli elementi di un fluido pesante agiscono forze per mantenere l equilibrio. F = mg = πr 2 hρ g = = Shρg F S = hρ g 6 / 20

7 Equilibrio di un fluido Sugli elementi di un fluido pesante agiscono forze per mantenere l equilibrio. F = mg = πr 2 hρ g = = Shρg F S = hρ g F S = m S g = S hρ g F S S = hρg = F S 7 / 20

8 Pressione 8 / 20 Risulta conveniente introdurre una nuova grandezza fisica, la pressione. La pressione è una grandezza VETTO- RIALE che si definisce data una forza applicata su un punto di una superficie. La pressione esercitata sulla superficie è P (x) = F (x) n(x) n((x)). S Nel sistema internazionale l unità di misura della pressione è il kg s 2 m 1. Una forza di 1 N che agisce su una superficie di 1 m 2 esercita una pressione di 1 Pa. Un altra unità di misura è la pressione atmosferica standard: 1 atm = Pa. Viene usato normalmente anche il bar (1 bar = 10 5 Pa), per cui approssimativamente 1 bar 1 atm.

9 Pressione in un fluido ideale La forza che un fluido ideale esercita su una superficie è sempre perpendicolare alla superficie stessa - non ci sono forze di attrito: ne deriva che la pressione su una superficie è indipendente dall orientamento della superficie stessa. mg = F 1 + F 2 + F 3 m = V ρ = 1 2 b3 cos(θ) sin(θ)ρ F 1 = p(x) ds = p S = S = p b 2 F 1 = x p b 2 sin(θ) ŷ p b 2 cos(θ) F 2 = x p x b 2 sin(θ) F 3 = ŷ p y b 2 cos(θ) p x = p p y = p b sin(θ)ρg 9 / 20 lim py = lim px = lim p = S 0 S 0 S 0

10 Legge di Stevino Possiamo determinare la pressione in un fluido in funzione della profondità nel fluido. dm g = F + df F = df ρgs dz = S dp dp dz = ρg z2 p(z 2 ) p(z 1 ) = gρ(z) dz z 1 p(z 2 ) p(z 1 ) = ρg(z 2 z 1 ) 10 / 20

11 Vasi comunicanti p(h 1 ) p(h 3 ) = gρ 1 (h 1 h 3 ) p(h 2 ) p(h 3 ) = gρ 2 (h 2 h 3 ) 11 / 20

12 Vasi comunicanti p(h 1 ) p(h 3 ) = gρ 1 (h 1 h 3 ) p(h 2 ) p(h 3 ) = gρ 2 (h 2 h 3 ) 1 atm p(h 3 ) = gρ 1 (h 1 h 3 ) 1 atm p(h 3 ) = gρ 2 (h 2 h 3 ) 12 / 20

13 Vasi comunicanti p(h 1 ) p(h 3 ) = gρ 1 (h 1 h 3 ) p(h 2 ) p(h 3 ) = gρ 2 (h 2 h 3 ) 1 atm p(h 3 ) = gρ 1 (h 1 h 3 ) 1 atm p(h 3 ) = gρ 2 (h 2 h 3 ) ρ 1 (h 1 h 3 ) = ρ 2 (h 2 h 3 ) 13 / 20

14 Vasi comunicanti ρ 1 (h 1 h 3 ) = ρ 2 (h 2 h 3 ) ρ 1 = ρ 2 h 1 = h 2 14 / 20

15 Esempio: diga df = P (z) ds df = Lρg(h z) dz h F = Lρg(h z) dz = 0 = 1 2 Lρgh2 15 / 20

16 Esempio: diga df = P (z) ds df = Lρg(h z) dz h F = Lρg(h z) dz = 0 = 1 2 Lρgh2 dm = P (z)z ds dm = Lρg(h z)z dz h M = Lρg(h z)z dz = 0 = 1 6 Lρgh3 16 / 20

17 Legge di Archimede La legge di Archimede dice che un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l alto pari al peso del fluido spostato. Semplicemente in assenza del corpo il suo volume è occupato da fluido all equilibrio, sul quale agisce per effetto della pressione circostante una forza tale da equilibrare il suo peso: da cui la legge. Verso l alto significa in direzione opposta alla forza - peso solo nel caso in cui la gravità sia l unica forza che agirebbe sul volume di fluido - che agirebbe sul volume di fluido. 17 / 20

18 Esempio Una spugna di forma sferica, di raggio R e di massa M, viene appoggiata sull acqua e dopo un po, quando l assorbimento di acqua si arresta resta immersa per la metà del suo volume. Determinare la massa M ass dell acqua assorbita dalla spugna (si supponga che l acqua sia distribuita uniformemente all interno della spugna, sia nella parte immersa che nella parte emersa) A questo punto la spugna viene spremuta, sott acqua, in modo da far uscire parte dell aria rimasta intrappolata e consentire, nel successivo rilassamento verso la forma sferica, ulteriore assorbimento d acqua. Quanta deve essere l acqua assorbita perché la spugna resti immersa completamente nell acqua senza affondare? 18 / 20

19 Esempio Una pentola, di forma arbitraria, ma il cui interno è un cilindro del diametro d, e di massa M galleggia sopra il pelo dell acqua in un lavandino a forma di cubo, di lato l. Da un rubinetto viene versata acqua nell interno della pentola, e se ne misura il livello all interno, pari a h 1. Determinare il volume V occupato dalla parte immersa della pentola. A partire da questa situazione viene aggiunta ulteriore acqua nella pentola, fino a quando la pentola non è completamente immersa, con la superficie superiore a pelo dell acqua. Si nota che il livello dell acqua nel lavandino è salito di un altezza h l. Determinare in questa seconda situazione l altezza dell acqua nella pentola h 2. In queste condizioni si nota che la distanza tra il livello del acqua nella pentola e il bordo della pentola è h p. Determinare la densità della pentola. 19 / 20

20 Esempio Una sfera metallica cava di raggio esterno R e raggio interno ignoto R i galleggia, in equilibrio, immersa in acqua distillata esattamente per metà. Attaccando al fondo della sfera un corpo di massa m e volume trascurabile, la sfera e il suo carico stanno in equilibrio completamente immersi. Determinare la massa m dell oggetto aggiunto. Si prova ad ottenere lo stesso effetto di affondamento spingendo giù la sfera tramite un raddoppio p a = 2p a della pressione esterna dell aria. Determinare di quanto si immerge la sfera, motivando la risposta. Sapendo che il materiale di cui è composto la sfera ha densità ρ 20 / 20 determinare il raggio interno R i.