Questo risultato può essere ottenuto anche riconoscendo che questa è una funzione di produzione Cobb-Douglas e che.

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1 Esercitazione 5 del 12/04/2018 Dott.ssa Sabrina Pedrini Esercizio 1 (rendimenti di scala) Le seguenti funzioni sono caratterizzate da rendimenti di scala crescenti, costanti o decrescenti? Che cosa accade al prodotto marginale di ciascun fattore quando la quantità di un fattore aumenta e quella dell altro fattore rimane costante? a) q= 3L + 2K b) q = 3LK 2 c) q = L 1/2 K 1/2 a) Si noti intanto come questa sia una funzione lineare in L e K. Per questa impresa, quindi, i due fattori sono perfetti sostituti. Gli isoquanti sono lineari e con una pendenza costante pari al negativo del rapporto tra i coefficienti dei due fattori nella funzione, ossia -3/2 (e dunque, SMST=3/2). Inoltre, questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti. Per esempio, se L è 2 e K è 2, allora q è 10. Se L è 4 e K è 4 allora q è 20. Quando le quantità dei fattori raddoppiano, raddoppia anche la produzione. Per questa funzione di produzione, il prodotto marginale di ciascun fattore è costante. Dato K, quando L aumenta di 1, q aumenta sempre di 3. Dato L, quando K aumenta di 1, q aumenta sempre di 2. Soluzione generale per i rendimenti di scala. Questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti. Infatti F(tK,tL)=3tL+2tK =t(3l+k) =tf(k,l) b) Se L è 2 e K è 2, allora q è 24. Se L è 4 e K è 4 allora q è 192. Quando le quantità dei fattori raddoppiano, la produzione diventa più che doppia. Per un dato valore di K, quando L viene incrementato di 1 unità, q aumenta di 3K 2 unità, per cui la produttività marginale del lavoro è costante rispetto a L. Per la produttività marginale del capitale potete fissare un valore di L, scegliere un valore di partenza per K e trovare q. Poniamo per esempio L = 1. Se K è 1 allora q è 3, se K è 2, fermo restando L, allora q è 12 e se K è 3, sempre fermo restando L, allora q è 27. Il prodotto marginale della seconda unità di K è 12 3 = 9 e il prodotto marginale della terza unità di K è = 15>9. Il prodotto marginale del capitale è quindi crescente. Soluzione generale per i rendimenti di scala. Questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala crescenti. Infatti F(tK,tL)=3tL(tK) 2 =t 3 3LK 2 =t 3 F(K,L)>tF(K,L) Questo risultato può essere ottenuto anche riconoscendo che questa è una funzione di produzione Cobb-Douglas e che. c) Questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti. Per esempio, se L è 2 e K è 2 allora q è 2. Se L è 4 e K è 4 allora q è 4. Quando le quantità dei fattori raddoppiano, la produzione diventa esattamente doppia. Per calcolare la produttività marginale del capitale, potete fissare un valore di L, scegliere un valore di partenza per K e trovare q. Poniamo per esempio L = 4. Se K è 4

2 allora q è 4, se K è 5, fermo restando L, allora q è 4,47 e se K è 6, sempre fermo restando L, allora q è 4,90. Il prodotto marginale della quinta unità di K è 4,47 4 = 0,47 e il prodotto marginale della sesta unità di K è 4,90 4,47 = 0,43. Il prodotto marginale del capitale è quindi decrescente. Si può procedere allo stesso modo per il lavoro, facendo variare di una unità per volta, mantenendo fermo il valore di K. Soluzione generale per i rendimenti di scala. Questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti. Infatti F(tK,tL)=(tL) 1/2 (tk) 1/2 =t 1/2 t 1/2 L 1/2 K 1/2 =t L 1/2 K 1/2 =tf(k,l) Questo risultato può essere ottenuto anche riconoscendo che questa è una funzione di produzione Cobb-Douglas e che α+β=1. Esercizio 2 (combinazione ottimale con funzione di produzione Cobb -Douglas) Una impresa ha una funzione di produzione data da F(L,K)=LK I prezzi degli input sono w = 1 e r = 4, 1) Si derivi e si rappresenti graficamente l isoquanto associato al livello di produzione Q = 4. 2) Sapendo che il saggio marginale di sostituzione tecnica tra i fattori è pari a SMST LK = K/L, si calcoli e si rappresenti la scelta ottima dei fattori quando il livello desiderato di produzione è pari a 4. 3) Quanto vale il costo di produzione in corrispondenza della scelta ottima? Punto 1 Si tratta di eguagliare la funzione di produzione F(L,K)=LK a 4 e risolvere per K in funzione di L ovvero LK=4da cui K=4/L, che è una iperbole che passa per i punti (1,4), (2,2), (4, 1). Punto 2 Per trovare la combinazione ottimale dei fattori si deve risolvere il sistema che nel nostro caso diventa Punto 3

3 Il costo è dato da ovvero Esercizio 3 (combinazione ottimale con fattori di produzione perfetti sostituti) Un impresa ha una funzione di produzione data da con prezzo del lavoro e prezzo del capitale. 1) Si calcoli e si rappresenti graficamente l isoquanto di livello 20. 2) Qual è la combinazione ottimale dei fattori scelta dall impresa per produrre 20 unità di output? 3) Qual è la combinazione ottimale per produrre 50 unità di output? A quale costo? 1) L isoquanto di livello 20 è dato dalla retta di equazione 20=L+2K ovvero K= 10-(1/2)L. Ha intercetta verticale 10, intercetta orizzontale 20, pendenza1/2. 2) I beni sono perfetti sostituti e la combinazione ottimale dei fattori dipende dalla pendenza relativa dell isocosto e dell isoquanto. La prima è pari a 2/3, la seconda a 1/2<2/3. I costi sono quindi minimizzati scegliendo solo capitale, ossia K=10. Il costo sarà pari a: C= wl+rk= 3µ10= 30 3) Per ottenere Q=50 recuperiamo la funzione di produzione: otteniamo 50=L+2K che esplicitata per K mi da K=25-(1/2)L. Rispetto al precedente isoquanto questo è spostato parallelamente e verso l alto. La pendenza rimane la stessa (1/2), cambiamo le intercette verticale (25) e orizzontale (50). Il vincolo di costo rimane uguale perché non è cambiato il rapporto tra i prezzi. Ancora avremo una soluzione d angolo con K=25, poiché la pendenza (come prima) dell isocosto è maggiore di quella dell isoquanto e la scelta ottimale si ottiene con la sola scelta del bene che si trova sull asse verticale (K). Avremo quindi una funzione di produzione pari a F(K)= 2K e una funzione di costo pari a C=rK= 3K= 3(25)=75.

4 Esercizio 4 Un impresa è caratterizzata dalla seguente funzione di produzione: Q(K, L)= 10KL Se i prezzi dei fattori di produzione K e L sono rispettivamente w = 2 e r = 5 e il saggio marginale di sostituzione tecnica è K/L a) Determinare le funzioni di costo totale, marginale e medio di breve periodo quando è il fattore lavoro ad essere fisso e pari a L=5. b) Determinare le funzioni di costo totale, marginale e medio di lungo periodo a) Nel breve periodo l output è solo funzione del capitale K, perché L è fisso. Per determinare le funzioni di costo di breve periodo partiamo dalla funzione di produzione, andiamo a sostituire il valore di L ed esprimiamo in funzione del fattore di produzione variabile. Otteniamo K=Q/50 dove possiamo notare che la relazione tra livello di input e auput è diretta e positiva: all aumentare dell ouput prodotto aumenta l input richiesto. Andiamo ora a sostituire tutti i fattori noti all interno della funzione di costo totale: CT=wL+rK= 10+(Q/10) da cui il costo medio totale (10/Q)+(1/10) e il costo marginale (1/10), pari al costo medio variabile. b) Per determinare le funzioni di costo di lungo periodo dobbiamo ricordare che nel lungo periodo tutte gli input sono variabili. Ricordando che vale sempre la condizione di ottimo della produzione in base alla quale SMST=w/r da cui K/L=2/5 esprimiamo in funzione di K ottenendo K=(2/5)L. Sostituendo all interno della funzione di produzione ed esprimendo in funzione di L otteniamo L=(Q 1/2 )/2. Andiamo infine a sostituire l espressione di L all interno di qualle che definisce K e otteniamo K=(Q 1/2 )/5. Andando a sostituire quanto ottenuto all interno della funzione di costo avremo: CT=wL+rK= 2(Q 1/2 ) (questo calcolo richiede la regola di differenziazione per le funzioni Potenza) C = Q -1/2 CMT=(2/Q 1/2 ) Esercizio 5 (funzioni di costo di breve e di lungo periodo) Si consideri un impresa con la seguente funzione di produzione: q(l,k)=l 1/2 K 1/2 dove i costi dei fattori di produzione sono rispettivamente w=2 per il lavoro e r=1 per il capitale (e dove SMST= K/L - si ricordino in proposito le proprietà delle funzioni Cobb-Douglas). Determinare: a) la domanda di lavoro nel breve periodo, supponendo che l impresa utilizzi una quantità fissa di capitale pari a K=3. A quanto ammonta tale domanda se l impresa intende produrre 12 unità di output?

5 b) le funzioni di costo totale e medio di breve periodo, ossia CT(q) e CTM(q), sempre supponendo che l impresa utilizzi una quantità fissa di capitale pari a K=3. A quanto ammontano tali costi quando q=12? c) le domande ottimali di L e K nel lungo periodo, ipotizzando che l impresa voglia produrre 12 unità del bene. d) le domande ottimali di L e K nel lungo periodo per ogni possibile valore di q che l impresa può decidere di voler produrre. e) le funzioni di costo totale e medio di lungo periodo. A quanto ammontano tali costi quando q=12? I valori trovati sono superiori o inferiori rispetto al breve periodo? a) Partendo dalla funzione di produzione, isoliamo prima il fattore L, andando ad esprimere tutto in sua funzione. Poi sostituiamo i valori forniti nel testo. L espressione che otteniamo è la funzione di domanda di lavoro, che è l unico fattore di produzione variabile di breve periodo (essendo K=3): L 1/2 = q/k 1/2 da cui L 1/2 = q/3 1/2. Elevando al quadrato entrambi lati si ottiene appunto la domanda di lavoro: L d = q 2 /3 Quando q=12, tale domanda è pari a L d = 12 2 /3=48 b) Per quanto riguarda il calcolo delle funzioni di costo di breve periodo, partiamo dalla espressione del costo totale CT=wL+rK e sostituiamo i valori ottenuti nel precedente passaggio per la domanda di lavoro, insieme ai dati iniziali del problema, in modo da poterla esprimere in funzione del livello di output q: CT bp (q)=2(q 2 /3)+3= (2/3)q Questa funzione presenta una componente variabile CTV= [(2/3)q 2 ] e una fissa CTF= 3. Il costo totale medio si ottiene dividendo il costo totale per la quantità di output prodotta: CMT bp (q) =CT bp (q)/q= [(2/3)q 2 +3]/q= 2q/3+(3/q) Quando q=12, CT bp =99 mentre CMT bp =8,25. c) Nel lungo periodo i fattori di produzione possono essere variati. Per determinare le loro grandezze ottimali quando q=12 risolviamo il sistema che mette in relazione la condizione di ottimo nella produzione con la funzione di produzione. In tal modo, procedendo per sostituzione, otterremo i valori di K ed L. La condizione di ottimo non è altro che la tangenza tra l isoquanto q=12 e la più bassa possibile delle curve di isocosto e richiede quindi l uguaglianza tra il SMST (saggio marginale di sostituzione tecnica, il quale indica a quante unità di un fattore produttivo si dovrà rinunciare per ottenere un'unità in più di un altro fattore produttivo, mantenendo costante la quantità di output) e il rapporto tra i prezzi dei fattori. In particolare, il SMST è sempre pari al rapporto tra le produttività marginali del lavoro e del capitale, e per le funzioni Cobb-Douglas (come nel nostro caso) è sempre pari a αk/βl, dove α e β sono gli esponenti rispettivamente di L e di K nella funzione di

6 produzione. In conclusione, la domanda dei fattori quando q=12 si trova risolvendo il seguente sistema di 2 equazioni in 2 variabili, L e K: (1) SMST = 1 2 q = K L w r = 1 2 K L = K L 1 2 Dalla prima equazione si ottiene facilmente che K= 2L. Sostituendo questa espressione nella seconda equazione si ottiene 12=L 1/2 (2L) 1/2, che può essere scritta come 12= 2L, da cui è facile trovare la domanda di lavoro nel lungo periodo quando q=12, ossia L*=12/ 2= 8,51. Sostituendo infine il valore nella prima equazione K= 2L, la domanda di K nel lungo periodo quando q=12 è K*=2(8,51)=17,02. Come si può facilmente notare, quando anche K può variare, la combinazione ottimale nel lungo periodo può differire significativamente rispetto al breve. In questo caso si passa da (L,K)=(48,3) a (L*,K*)=(8,51; 17,02). d) Se nel punto c) abbiamo individuato le domande di L e K per un dato livello di produzione, ora ci dedichiamo alla ricerca delle vere e proprie funzione di domanda condizionali di L e K, ossia della combinazione ottimale (L*,K*) che l impresa intende acquistare per ogni possibile valore di q. A tale scopo, è sufficiente risolvere il sistema (1) lasciando q in forma parametrica (ossia, senza più imporre q=12). La prima equazione del sistema resta identica e da essa si ottiene, come prima, che K=2L. Ora, sostituendo tale relazione nella funzione di produzione e risolvendo per L, si ottiene L d (q)= q/ 2, che è appunto al funzione di domanda di lavoro. Sostituendo nella prima equazione, si ottiene poi facilmente la funzione di domanda di capitale, ossia K d (q)= 2 2q. e) Le funzioni di domanda dei fattori trovate nel punto d) possono essere sostituite nelle espressioni del costo totale e medio, in analogia con quanto svolto nel punto b) per il breve periodo, trovando così le funzioni di costo totale e medio di lungo periodo, che ci informano sull andamento di tali costi al variare di q. Esercizio 6 CT lp (q)=wl d (q)+rk d (q)= 2(q/ 2) + ( 2)q=(4/ 2)q Per la funzione di costo medio di lungo periodo: CM lp (q)=ct lp (q)/q=4/ 2. Quando q=12, CT lp (12)=33,84. Come si nota, non sorprendentemente i due valori del costo sono inferiori rispetto al breve periodo. La possibilità di variare anche K rende più ampio lo spettro delle opzioni disponibili nel lungo periodo, consentendo di investire in K in maniera ottimale e riducendo i costi. Considerate il mercato delle magliette nel quale operano, nel breve periodo, n=100 imprese di piccole dimensioni, tutte caratterizzate dalla stessa funzione di costo totale CT= 5q q e costo marginale C =10q La funzione di domanda di mercato è Q D = p. a) derivare la funzione di costo medio; b) determinare la funzione di offerta per la singola impresa e per il mercato; c) calcolare prezzo, quantità di equilibrio e profitto di breve periodo per la singola impresa;

7 d) calcolare l equilibrio di mercato e rappresentarlo graficamente; e) calcolare il surplus del consumatore; a) Per calcolare la funzione di costo medio ricordiamo che questa è data dal rapporto tra la funzione di costo totale e la quantità di output prodotto. Avremo quindi CM=CT/q. Con CT= 5q q avremo CM=5q+100 b) Per quanto riguarda le funzioni di offerta della singola impresa ricordiamo che la funzione di offerta dell'impresa è descritta da quel tratto di curva dei costi marginali che rimane al di sopra del costo medio variabile. In quel tratto la funzione di offerta è uguale al costo marginale: p S = 10q da cui q S =(p/10)-10. Nel mercato sono presenti 100 imprese identiche, caratterizzate dalla stessa funzione di costo, quindi di offerta. Per ottenere la funzione di offerta di mercato è sufficiente sommare tutte le singole funzioni di offerta. Nel nostro caso, con n=100 avremo Q S = 100[(p/10)-10]=10p c) Per calcolare le grandezze di equilibrio, ricordiamo di eguagliare le funzioni di domanda e offerta di mercato: da Q D =Q S otteniamo 10p-1000= p 20p=5000 p*=25 che sostituito all'interno della funzione di domanda (o di offerta, in equilibro il risultato non cambia) permette di ottenere Q*=1500 come quantità scambiata sul mercato e q*=q*/n=1500/100=15 come quantità scambiata da parte della singola impresa. I profitti si ottengono (sempre per la singola impresa) come diferenza tra ricavi (dati dal prodotto tra prezzo di mercato e quantità scambiata) e i costi sostenuti dall'impresa: Π=R-C=pq-C=250(15)-5(15)2-100(15)=1125 d) Graficamente:

8 e) Per quanto riguarda il surplus del consumatore, graficamente lo individuiamo come l'area compresa tra la funzione di domanda e il livello di prezzo di equilibrio. Nel nostro caso, l'area compresa tra il prezzo di riserva 400, quello di equilibrio 250 e la quantità scambiata sul mercato Si calcola quindi l'area del triangolo rettangolo compresa tra questi vertici [(b.h)/2]: SC= [1500( )]/2=(1500µ150)/2= Esercizio 7 L impresa Gamma produce palloni da calcio utilizzando capitale e lavoro come fattori produttivi secondo la funzione Q(L,K )=min[2l;5k]. Il costo unitario del lavoro è pari a w =6 Euro e quello del capitale r =3 Euro. Il budget che l impresa Gamma si è prefissata di spendere per acquistare gli input ammonta a 600 Euro. 1) Disegnate la mappa degli isoquanti dell impresa Gamma: commentate il valore del saggio tecnico di sostituzione. 2) Rappresentate in un grafico l isocosto dell impresa Gamma, evidenziandone pendenza, intercetta orizzontale ed intercetta verticale. 3) Calcolate la combinazione ottima di impiego dei fattori di produzione. 4) In corrispondenza del punto di ottimo, a quanto ammonterà la quantità totale prodotta Q? 7) Con riferimento alla funzione di produzione dell impresa Gamma, cosa si può dire dei rendimenti di scala? 1) Ricordiamo che la funzione di produzione è di tipo Leontiev e questo implica che capitale e lavoro sono perfetti complementi. I due input sono quindi utilizzati secondo una proporzione fissa e non sono tra loro sostituibili. Gli isoquanti di questa f.d.p. sono ad angolo retto ed i vertici si trovano allineati lungo la semiretta di equazione 2L=5K.

9 2) L isocosto dell impresa Gamma sarà C = wl + rk οssia 600 = 6L + 3K ï K = 200 2L Pendenza = - 2 Intercetta verticale = 200 Intercetta orizzontale = 100 3) Per calcolare le coordinate del punto di ottimo E(L*;K*) devo risolvere un sistema in due equazioni per individuare l intersezione tra l isocosto e la retta dei vertici. Le funzione che vengono messe in relazione sono K=200-2L e 2L=5K, da cui si ottieme K*=100/3 e L*=250/3. 4) In corrispondenza di E il livello di output sarà determinato dalla funzione di produzione. Occorre dunque sostituire L* e K* nella f.d.p.: Q(L*;K*)=min[2(250/3);5(100/3)]=500/3 5) I rendimenti di scala dell impresa Gamma saranno costanti. Infatti moltiplicando gli input produttivi per una medesima costante t>0 avremo che l output aumenta in modo equi-

10 proporzionale: Q (tl;tk)= min[2tl;5tk ]= tmin[2l;5k ]= tq (L;K ) Domande a risposta multipla 1) Il costo opportunità di un attività di un impresa è uguale a: a) l importo che l impresa avrebbe potuto guadagnare affittando sul mercato l attività. b) zero se l attività non ha impiego alternativo e perciò non può essere affittata sul mercato. c) le spese di deprezzamento dell attività. d) a e b. 2) La differenza tra costi medi totali e costi medi variabili è uguale a: a) Costi medi fissi b) Costi fissi c) Costi marginali d) Costi totali e) Nessuna delle risposte indicate è corretta 3) Se produco 40 unità di prodotto ho un costo totale pari a 80 euro, se ne produco 50 il costo totale è 110 euro. Quindi, nell intervallo produttivo considerato, ho a) Economie di scala b) Diseconomie di scala c) Rendimenti costanti di scala d) Prodotto marginale decrescente e) Nessuna delle risposte indicate è corretta 4) Una funzione di produzione di breve periodo: a) illustra il massimo livello di produzione ottenibile in un determinato periodo di tempo variando le combinazioni di tutti i fattori produttivi utilizzati. b) si focalizza sul livello di produzione aggiuntivo ottenuto aumentando la quantità di fattori produttivi, tenendone costante almeno uno.

11 c) si focalizza sul livello di produzione aggiuntivo ottenuto variando le quantità di tutti i fattori produttivi utilizzati nel processo di produzione. d) è una funzione di produzione in cui i fattori produttivi sono utilizzati in proporzioni fissate. 5) Se due lavoratori producono ciascuno una media di 300 unità, e quando si assume un terzo lavoratore il livello di produzione cresce a 810 unità, a) il prodotto medio del lavoro è negativo. b) il prodotto medio del lavoro è 270. c) il prodotto medio del lavoro è decrescente. d) sono vere entrambe le risposte b e c. 6) La curva del prodotto marginale e quella del prodotto medio: a) sono sempre parallele b) non si intersecano mai c) si intersecano sempre d) si intersecano quando la produttività media è massima e) si intersecano quando la produttività marginale è massima 7) I profitti sono massimizzati quando l impresa: a. produce a un livello a cui il ricavo marginale supera il costo marginale. b. produce al livello a cui il ricavo totale è massimizzato. c. cattura la massima quota del proprio mercato. d. produce al livello di produzione a cui il ricavo marginale è uguale al costo marginale. 8) Una curva di offerta di lungo periodo inclinata verso l alto indica: a. un industria in cui si hanno prezzi crescenti per alcuni o tutti i fattori produttivi con l espansione dell industria stessa. b. un industria in cui si ha un prezzo di equilibrio crescente con l espansione dell industria stessa. c. un industria a costo crescente. d. tutte le risposte precedenti sono vere. 9) Il surplus del produttore nel breve periodo: a. è uguale al profitto quando il costo fisso è maggiore di zero. b. è maggiore del profitto quando il costo fisso è maggiore di zero. c. è uguale al ricavo meno il costo variabile meno il costo fisso. d. è uguale al costo fisso di produzione. 10) La curva di offerta di breve periodo dell impresa perfettamente concorrenziale: a. è la curva di costo variabile medio sopra il costo variabile minimo. b. è la porzione della curva di costo marginale che giace sopra la curva di costo totale medio.

12 c. è la porzione della curva di costo marginale che giace sopra la curva di costo variabile medio. d. è la porzione con inclinazione verso l alto della curva di costo marginale. 11) Se il costo totale di un impresa è 500 quando la produzione è zero, 1000 quando la produzione è 10 e 1400 quando la produzione è 20, il costo fisso è uguale a: a b c d. nessuna delle risposte precedenti è vera. 12) La curva del costo totale di lungo periodo può essere stimata e tracciata utilizzando il percorso di espansione, che è: a. la curva che traccia le combinazioni di due fattori produttivi a costo minimo utilizzabili per produrre ciascun livello di produzione quando entrambi i fattori produttivi possono essere variati. b. la curva che traccia vari livelli di due fattori produttivi utilizzabili per produrre un dato livello di produzione quando entrambi i fattori produttivi possono essere variati. c. la curva che traccia le combinazioni di costo risultanti dalla variazione dei due fattori produttivi utilizzabili per raggiungere un dato livello di produzione. d. sono vere entrambe le risposte a e c. 13) Quando in una funzione di produzione si stabiliscono rendimenti marginali decrescenti: a. il costo marginale diminuisce ma il costo totale continua ad aumentare. b. il costo marginale il costo totale diminuiscono. c. il costo marginale inizia ad aumentare. d. il costo marginale di produzione non può essere determinato con le informazioni fornite. 14) Il costo opportunità di un attività di un impresa è uguale a: a. l importo che l impresa avrebbe potuto guadagnare affittando sul mercato l attività. b. zero se l attività non ha impiego alternativo e perciò non può essere affittata sul mercato. c. le spese di deprezzamento dell attività. d. a e b.