Produzione. Prof.ssa Sabrina Pedrini. Determinare i rendimenti di scala delle seguenti funzioni di produzione:

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1 Produzione Prof.ssa Sabrina Pedrini Esercizio : Rendimenti di scala Determinare i rendimenti di scala delle seguenti funzioni di produzione: a) q b) q c) q ( L + K) d) q αy Soluzione I rendimenti di scala indicano come varia il livello di produzione a seguito di una variazione equiproporzionale di tutti gli input. Vediamo quindi come varia q se facciamo variare entrambi i fattori nella proporzione λ (cioè lambda volte il valore vecchio). a) f ( λ, λ ) ( λ ) + ( λ ) λ ( ) + λ λq + Quindi questa funzione ha rendimenti di scala costanti, perché moltiplicando entrambi i fattori per λ f λ, λ ) si ottiene esattamente λ volte il livello di produzione iniziale ( λ q ). ( 5 5 ) λ λ 5 5 b) f ( λ, λ ) ( λ ) ( λ λ λ q 5 5 Poiché 5 λ è inferiore a λ (per definizione λ > visto che stiamo guardando un aumento dei fattori di produzione) ovvero < 5, la funzione presenta rendimenti di scala decrescenti: ad un aumento equiproporzionale degli input, corrisponde un aumento meno che proporzionale dell output. c) f ( λ L, λk ) ( λl + λk) λ ( L + K) λq Questa funzione di produzione ha rendimenti costanti.

2 . > d) f ( λ, λy) α( λ)( λy) αλλ y λ αy λ q rendimenti crescenti di scala. Esercizio : produzione Data la funzione di produzione Y / / ) calcolare la produttività marginale e media dei fattori produttivi; ) derivare la funzione del generico isoquanto associato alla funzione di produzione e calcolarne il saggio marginale tecnico di sostituzione, ricordando che SMST/. ) descrivere i rendimenti di scala di tale tecnologia. Soluzione ) La produttività marginale dei fattori indica di quanto varia il livello di produzione in corrispondenza di una variazione nella quantità impiegata del fattore stesso. Un singolo fattore produttivo può avere produttività marginale crescente, costante o decrescente. La produttività marginale si calcola derivando la funzione di produzione rispetto ai singoli fattori produttivi. Si avrà quindi P' Y P' Y La produttività media di un fattore produttivo indica la quantità di output ottenuta per unità di input ed è pari al rapporto tra prodotto totale e quantità impiegata di un singolo fattore produttivo Y PM

3 Y PM ) Un isoquanto è una curva che mostra tutte le possibili combinazioni dei fattori produttivi che permettono di ottenere uno stesso livello di prodotto. La funzione del generico isoquanto si ottiene partendo dalla funzione di produzione ed esprimendo un fattore in funzione dell altro. Deriviamo quindi l equazione dell isoquanto rispetto ad Y / / / Y / / Y / con 0 La pendenza dell isoquanto è rappresentata dal saggio marginale tecnico di sostituzione. Tale misura indica il livello di sostituibilità tra i fattori consentito dalla tecnologia a disposizione dell impresa. Ci dice, quindi, in che misura è possibile sostituire un fattore produttivo con un altro per ottenere lo stesso livello di prodotto. Il SMTS si ottiene come rapporto tra le produttività marginali dei fattori: SMTS P', P ' ) I rendimenti di scala rappresentano la misura con cui l output cresce al crescere dei fattori produttivi impiegati. Un processo produttivo presenta rendimenti di scala costanti, crescenti o decrescenti a seconda che l ammontare totale di prodotto cresca rispettivamente in modo proporzionale, più che proporzionale o meno che proporzionale rispetto al maggior impiego di tutti i fattori. In questo caso si avrà Y (k ) / ( k ) / k / / ky Esercizio Nel breve periodo i costi di un impresa presentano la seguente funzione: CT 00 q + 0q Si determinino le seguenti espressioni dei costi in funzione di q. ) costo fisso; ) costo fisso medio; ) costo variabile totale; 4) costo variabile medio; 5) costo totale medio;

4 e se ne poi calcoli il valore per q 5. Svolgimento ) costo fisso CF (q) 70, costante rispetto a q, e quindi CF (q) 70 anche per q5. ) costo fisso medio CFM (q) CF/q 70/q. Sostituendo q5, CFM (5) 4 ) costo variabile totale CVT (q) CT-CF 00q + 0q + 70 (70) 00 q + 0q. Sostituendo q5, CV (5) ) costo variabile medio CVM (q) CVT/q (00q + 0q )/q00 q + 0. Sostituendo q5, CVM (5) ) costo totale medio CTM (q) CT/q (00q + 0q + 70)/q 00q+0+(70/q) CVM + CFM. Sostituendo q5, CTM (5) Esercizio 4 Un impresa ha una funzione di produzione data da F(L,K)L+4K con w4 prezzo del lavoro e r 6 prezzo del capitale. ) Si calcoli l isoquanto di livello 40. ) Qual è la combinazione ottimale dei fattori scelta dall impresa per produrre 0 unità di output? ) Qual è la combinazione ottimale per produrre 60 unità di output? A quale costo? Svolgimento ) L isoquanto di livello 40 è dato dalla retta di equazione 40L+4K ovvero K (40-L)/4 0-(/4)L. Ha intercetta verticale 0, intercetta orizzontale 40, pendenza/4. ) I beni sono perfetti sostituti e la combinazione ottimale dei fattori dipende dalla pendenza relativa dell isocosto e dell isoquanto. Nel primo caso w/r4/6/ nel secondo /4. I costi sono minimizzati scegliendo solo capitale K0. Il costo sarà pari a: C wl+rk ) Per ottenere Q60 recuperiamo la funzione di produzione: otteniamo 60L+4K che esplicitata per K mi da K (60-L)/45-(/4)L. Rispetto al precedente isoquanto questo è spostato parallelamente e verso l alto. La pendenza rimane la stessa (/4), cambiamo le intercette verticale (5) e orizzontale (60). Il vincolo di costo rimane uguale perché non è cambiato il rapporto tra i prezzi. Ancora avremo

5 una soluzione d angolo con K5, poiché la pendenza (come prima) dell isocosto é maggiore di quella dell isoquanto e la scelta ottimale si ottiene con la sola scelta del bene che si trova sull asse verticale (K). Avremo quindi una funzione di produzione pari a F(K) 4K e una funzione di costo pari a CrK6K 6(5)50. Esercizio 5 Si consideri un impresa con la seguente funzione di produzione: q(k,l)k / L / dove i costi dei fattori di produzione sono rispettivamente w per il lavoro e r per il capitale (e dove SMST L/K). Determinare: a) la domanda di lavoro nel breve periodo, supponendo che l impresa utilizzi una quantità fissa di capitale pari a K. A quanto ammonta tale domanda se l impresa intende produrre unità di output? b) le funzioni di costo totale e medio di breve periodo, ossia CT(q) e CTM(q), sempre supponendo che l impresa utilizzi una quantità fissa di capitale pari a K. A quanto ammontano tali costi quando q? c) le domande ottimali di L e K nel lungo periodo, ipotizzando che l impresa voglia produrre unità del bene. d) le domande ottimali di L e K nel lungo periodo per ogni possibile valore di q che l impresa può decidere di voler produrre. e) le funzioni di costo totale e medio di lungo periodo. A quanto ammontano tali costi quando q? I valori trovati sono superiori o inferiori rispetto al breve periodo? Svolgimento a) Partendo dalla funzione di produzione, isoliamo prima il fattore L, andando ad esprimere la relazione in funzione del fattore di produzione L. Poi sostituiamo i valori forniti nel testo. L espressione che otteniamo rappresenta la funzione di domanda di lavoro, che è l unico fattore di produzione variabile di breve periodo (essendo K): L / q/k / da cui L / (q/) /. Elevando al quadrato entrambi lati dell espressione si ottiene appunto la domanda di lavoro: L d q / Quando q, tale domanda. pari a L d /48 b) Per quanto riguarda il calcolo delle funzioni di costo di breve periodo, partiamo dall espressione del costo totale CTwL+rK e sostituiamo i valori ottenuti nel precedente passaggio per la domanda di lavoro, insieme ai dati iniziali del problema, in modo da poterla esprimere in funzione del livello di output q: CT bp(q)(q /)+ (/)q +. Questa funzione presenta una componente variabile CTV [(/)q ] e una fissa CTF. Il costo totale medio si ottiene dividendo il costo totale per la quantità di output prodotta: CMT bp(q) CT bp(q)/q [(/)q +]/q q/+(/q) Quando q, CT bp99 mentre CMT bp8,5. c) Nel lungo periodo i fattori di produzione possono essere variati. Per determinare le loro grandezze

6 ottimali quando q risolviamo il sistema che mette in relazione la condizione di ottimo nella produzione con la funzione di produzione. In tal modo, procedendo per sostituzione, otterremo i valori di K ed L. La condizione di ottimo non è altro che la posizione di tangenza tra l isoquanto q e la più bassa possibile delle curve di isocosto e richiede quindi l uguaglianza tra il SMST (saggio marginale di sostituzione tecnica, il quale indica a quante unità di un fattore produttivo si dovrà rinunciare per ottenere un'unità in più di un altro fattore produttivo, mantenendo costante la quantità di output) e il rapporto tra i prezzi dei fattori. In particolare, il SMST è sempre pari al rapporto tra le produttività marginali del lavoro e del capitale, e per le funzioni Cobb-Douglas (come nel nostro caso) è sempre pari a αk/βl, dove α e β sono gli esponenti rispettivamente di L e di K nella funzione di produzione. In conclusione, la domanda dei fattori quando q si trova risolvendo il seguente sistema di equazioni in variabili, L e K: SMSTw/r q k /.L / Dalla prima equazione si ottiene facilmente che L K. Sostituendo questa espressione nella seconda equazione si ottiene Lq /K, da cui è facile trovare la domanda di lavoro nel lungo periodo quando q, ossia K*/ 8,5. Sostituendo infine il valore nella prima equazione K L, la domanda di K nel lungo periodo quando q è L*.(8,5)7,0. d) Se nel punto c) abbiamo individuato le domande di L e K per un dato livello di produzione, ora ci dedichiamo alla ricerca delle vere e proprie funzione di domanda di L e K, ossia della combinazione ottimale (L*,K*) che l impresa intende acquistare per ogni possibile valore di q. A tale scopo, è sufficiente risolvere il sistema sopra indicato, che mette in relazione la posizione di ottimo con la funzione di produzione, lasciando q in forma parametrica (ossia, senza più imporre q). La prima equazione del sistema resta identica e da essa si ottiene, come prima, che LK e Kq/. Ora, sostituendo tale relazione nella funzione di produzione e risolvendo per L, si ottiene L d(q) (/ )q, che è appunto al funzione di domanda di lavoro. Sostituendo nella prima equazione, si ottiene poi facilmente la funzione di domanda di capitale, ossia K d(q) q/. e) Le funzioni di domanda dei fattori trovate nel punto d) possono essere sostituite nelle espressioni del costo totale e medio, in analogia con quanto svolto nel punto b) per il breve periodo, trovando così le funzioni di costo totale e medio di lungo periodo, che ci informano sull andamento di tali costi al variare di q. CT lp(q)wl(q)+rk(q) (/ q) + (q/ )(5/ )q Per la funzione di costo medio di lungo periodo: CM lp(q)ct lp(q)/q5/. Quando q, CT lp()4,8. Come si nota, non sorprendentemente i due valori del costo sono inferiori rispetto al breve periodo. La possibilità di variare anche K rende più ampio lo spettro delle opzioni disponibili nel lungo periodo, consentendo di investire in K in maniera ottimale e riducendo i costi.

7 Domande a risposta multipla. Nella funzione di produzione rappresentata in figura la produttività media è: (a) crescente fino a L e decrescente dopo L (b) decrescente fino a L e crescente dopo L (c) crescente fino a L e decrescente dopo L (d) decrescente fino a L e crescente dopo L (e) sempre crescente. La curva del prodotto marginale e quella del prodotto medio: (a) sono sempre parallele (b) non si intersecano mai (c) si intersecano sempre (d) si intersecano quando la produttività media è massima (e) si intersecano quando la produttività marginale è massima. Data la funzione di produzione in figura, quale delle seguenti affermazioni è errata? (a) la massima produttività marginale è ottenuta in corrispondenza di L0 (b) la massima produttività media è ottenuta in corrispondenza di L (c) dopo L la produttività marginale diventa pari zero (d) la produttività media è sempre crescente (e) in L la produttività marginale è più bassa che in L

8 4. Se Giorgia lavora 0 ore al giorno, il suo prodotto medio del lavoro è: a. Crescente. b. Decrescente. c. Costante. d. In mancanza di ulteriori informazioni, non è possibile stabilirlo. 5. La funzione di produzione Q L / K presenta: a. Rendimenti di scala decrescenti. b. Rendimenti di scala costanti. c. Rendimenti di scala crescenti. d. Non è possibile stabilirlo. 6. Perché la funzione di produzione Q L / K a abbia rendimenti di scala costanti, quale valore deve assumere il parametro a? Dovrebbe valere a!!