Preparazione alle gare di II livello delle Olimpiadi della Fisica 2016

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1 Preparazione alle gare di II livello delle Olimpiadi della Fisica 016 Incontro su temi di fisica moderna Angelo Merletti Liceo Scientifico Curie di Pinerolo Sommario dei quesiti e problemi discussi durante l incontro. Testi e soluzioni sono estratti dal sito delle Olimpiadi della fisica olifis/problemi di secondo livello Gare 015 Gare 011 1

2 Radioattività Gli atomi di un radioisotopo si disintegrano progressivamente in modo che il numero di quelli rimasti varia nel tempo secondo la legge N ( t) = N o e λ t dove λ è una costante caratteristica dell isotopo. Per il radon λ vale s 1. Se, ad un certo istante, in un campione di radon si registrano 7400 disintegrazioni al secondo, quanti atomi di radon sono presenti in quell istante nel campione? Se N o è il numero di atomi iniziali, dopo 1 secondo il numero N 1 di atomi che sono ancora vivi è N 1 = N o e 0.016, perciò il numero N dis di disintegrazioni che avvengono in 1 secondo è pari a N dis = N o N 1 = N o (1 e ) = N o Sapendo che N dis = 7400, si ottiene N dis = Gare 004

3 Gare 006 Gare 01 3

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5 Q/OLIFIS 1987 Un campione contiene 74 atomi di materiale radioattivo e presenta un attività di 1, 85 Bq. Qual è la vita media, cioè la costante di tempo del decadimento del radionuclide presente nel campione? 5 Legge di decadimento: n( t) = n e 0 t /τ Attività A(t) (n di decadimenti per unità di tempo): n t = 0 τ = = = 4 s 46, 3 giorni A , dn A( t) = dt = n0 e τ t / τ Effetto fotoelettrico Q7/OLIFIS 1987 Selezione regionale Il grafico in figura rappresenta il risultato di un esperimento sull effetto fotoelettrico. Si rappresenta l energia cinetica E massima degli elettroni emessi in funzione della frequenza della luce. Si suggeriscono tre possibili modifiche delle condizioni sperimentali: 1. Usare una luce incidente con lunghezza d onda minore di quelle usate nell esperimento. Usare luce delle stesse lunghezze d onda ma di maggiore intensità. 3. Usare un metallo con diverso potenziale di estrazione.... Per quali delle modifiche suggerite i risultati dell esperimento giacciono sulla stessa retta o su un suo prolungamento? A solo il caso 1 B solo i casi 1 e C solo i casi 1 e 3 D solo i casi e 3 E tutti e tre i casi B La pendenza della retta sperimentale corrisponde alla costante di Planck h; l intercetta con l asse E corrisponde al potenziale di legame dell elettrone nel metallo ( W0 ). Solo il caso 1 può corrispondere ad un cambiamento dei parametri della retta del grafico. OLIFIS 1988 Selezione regionale Un fascio di radiazione ultravioletta colpisce il catodo di una cella fotoelettrica; la lunghezza d onda del 7 fascio è λ = 3, 00 m. La tensione V AC, fra anodo e catodo, può essere variata, e si osserva che il potenziale di arresto vale V 0 = 0,40 V. 1. Determinare il lavoro di estrazione del metallo e calcolare la lunghezza d onda della soglia fotoelettrica. 5

6 Stabilendo una tensione V AC = 80 V si rileva una corrente anodica di saturazione i = 5, 0 A.. Si calcoli in queste condizioni la massima velocità di un elettrone che raggiunge l anodo Sapendo che solo 8 fotoni su danno luogo all estrazione di un elettrone dal metallo, si determini l energia della radiazione che giunge in un secondo sulla superficie del metallo. (tratta da: G. Cavaggioni, D. L. Censi, F. Minosso, P. Nesti, U. Penco, Le Olimpiadi della Fisica, Zanichelli (1995)) Quesito 1 Un elettrone estratto dal catodo C viene a trovarsi in una regione di spazio sede di un campo elettrico conservativo; applicando perciò la conservazione dell energia al suo moto verso l anodo A, possiamo scrivere K A KC = evc + eva = evac (1) Dove e è la carica dell elettrone e K A e K C sono, rispettivamente, l energia cinetica dell elettrone quando arriva sull anodo e l energia cinetica dell elettrone appena uscito dal catodo (per i vari elettroni tale energia varia da 0 a un valore massimo K max ). Se il potenziale dell anodo è negativo rispetto a quello del catodo, e viene progressivamente abbassato, un numero sempre minore di elettroni ha l energia sufficiente per arrivarci; quando infine viene applicato il cosiddetto potenziale di arresto V AC = V 0 < 0, allora solo gli elettroni con energia K C = Kmax riescono appena a raggiungere l anodo con energia cinetica nulla. In questa situazione possiamo scrivere K max = ev 0 () Per la legge dell effetto fotoelettrico, la massima energia degli elettroni al catodo è la differenza fra l energia hν dei fotoni incidenti e il lavoro di estrazione W 0 : hc K max = hν W0 = W 0 (3) λ Usando la () otteniamo hc 19 W0 = + ev0 = 3, 74eV = 5, 99 J λ La soglia fotoelettrica si ha quando l energia cinetica massima degli elettroni estratti è nulla; indicando con λ s la lunghezza d onda di soglia, dalla (3) abbiamo hc hc 7 = W 0 da cui λ s = = 3, 3 m λs W0 Quesito In questa situazione gli elettroni vengono accelerati verso l anodo, che adesso è posto a potenziale positivo rispetto al catodo; riferendosi agli elettroni che hanno energia cinetica massima e indicando con K A,max e con v A, max l energia cinetica e la velocità con cui arrivano sull anodo, dalle equazioni (1) e () abbiamo 1 K A,max = mva,max = Kmax + evac = ev0 + evac = e( VAC V0 ), essendo m la massa dell elettrone, e perciò ( V ) 6 1 e VAC 0 va,max = = 5, 31 ms m Quesito 3 Si ha saturazione quando il numero di elettroni estratti dal catodo nell unità di tempo, n C, è pari a quello degli elettroni che nello stesso tempo raggiungono l anodo, n : nc = na = i / e Il numero n di fotoni incidenti, necessari per determinare l estrazione di n C elettroni dal catodo, è f A 8 6

7 000 i n f = nc = e L energia incidente sul catodo nell unità di tempo, P, è i hc P = n f hν = 150 =, 59 e λ Q8/OLIFIS Selezione regionale Un fascetto di raggi X monocromatici colpisce un cristallo dove la separazione tra gli atomi del reticolo è d. Quando l angolo di deviazione θ è non inferiore a 30 si rileva un intenso fascio riflesso. Si veda in figura una rappresentazione schematica del fenomeno. Qual è il rapporto λ/d tra la lunghezza d onda dei raggi X impiegati e la separazione d degli atomi nel cristallo? A - 0,13 B - 0,6 C - 0,5 D - 0,97 E -,00 corretta C: Dalla legge di Bragg si ha interferenza costruttiva se: d senϑ = kλ k = 1 senϑ = sen15 λ = sen15 = d 3 0, 5 4 W Massa, energia, quantità di moto in relatività Atomo che emette un fotone (E. Fabri, Insegnare relatività nel XXI secolo, Quaderno 16, Suppl. a LFNS, gennaio-marzo 005) Un atomo inizialmente fermo, che si trova in uno stato eccitato, emette un fotone. a) Calcolare la relazione tra l energia del fotone e la variazione di massa dell atomo. b) Considerare in particolare il caso di un atomo di idrogeno nel livello n =. Indichiamo con M 1 la massa dell atomo nello stato fondamentale; quella nello stato eccitato sarà maggiore, e la indichiamo con M. Siano poi: E 1 l energia dell atomo dopo emesso il fotone; ε l energia del fotone, p = ε/c il suo impulso. L impulso dell atomo sarà opposto a quello del fotone, ma di uguale modulo. a) La conservazione dell energia dice che M c = E 1 + ε e 4 4 E 1 = M1 c + c p = M1 c + ε Eliminando E 1 si ottiene 7

8 ( M M ) 1 c ε = M che è minore di Δ = ( M M1) c. La ragione è che parte dell energia Δ si ritrova come energia cinetica dell atomo. Infatti Δ E1 M1c = Δ ε = M c Si vede che Δ - ε è del secondo ordine in Δ. b) I dati per un atomo di idrogeno sono: M1 c = 0, 94 GeV, Δ =, ev. Perciò la differenza 8 (Δ ε)/δ vale circa e per atomi più pesanti è ancora minore. Massa di un sistema di particelle (da: Taylor, Wheeler, Fisica delle spazio-tempo, Zanichelli (1996), capitolo 8) Consideriamo due particelle di massa uguale m, pari a 8 unità, viaggianti nel sistema del laboratorio con velocità uguali in modulo ma versi opposti. Le loro quantità di moto sono quindi opposte e uguali in modulo pari a 6 unità. Qual è la massa M del sistema composto dalle due particelle? E = (m c ) + (p c) = ( ) u E = u E sistema = E ; p sistema = 0 M sistema = E sistema = E sistema M sistema = E sistema = E = 0 u > 8u + 8u : in teoria della relatività l energia è additiva, la quantità di moto è additiva, la massa non è additiva! Massa di un sistema di particelle materiali (da: Taylor, Wheeler, Fisica delle spazio-tempo, Zanichelli (1996), capitolo 8) Calcolate M sistema per ognuno dei seguenti sistemi fisici. Le particelle che li compongono non interagiscono tra di loro. Esprimete la massa del sistema in funzione dell unità di misura dell energia u scelta pari a mc. Sistema a (energia E 1 = 4u) m (in quiete) m Sistema b m (energia E 1 = 6u) m (energia E = 6u) Sistema c (energia E 1 = 8u) m (in quiete) Sistema f (fotone E fotone = 3u) m (in quiete) 8

9 Risposte a) M sistema = u = 3, 16 u b) M sistema = u c) M sistema = 4 u = 4, 899 u f) M sistema = 7 u =, 646 u Radiazione termica e corpo nero 1) La distribuzione spettrale della luce emessa dal sole presenta un massimo per la lunghezza d onda λ = 470 nm. Determina la temperatura della stella, supponendo che possa essere trattata come corpo nero. E un applicazione della legge dello spostamento di Wien λ Max T = b. 3 b.898 T = = = 6166 K 7 λ Max ) Che superficie dovrebbe avere un corpo nero per irraggiare un energia di 6 J al secondo, alla temperatura di 500 K? E un applicazione della legge di Stefan Boltzmann I = σ T 4 dove I è l emittanza del corpo nero, ovvero la potenza per unità di superficie, e σ la costante di Stefan Boltzmann, W/(m K 4 ). Poiché la superficie del corpo nero deve emettere 6 W dovrà essere: 6 = ( 500) 4 6 dunque: Area = = m circa 17 cm. 8 4 Area 5.67 (500) 3) Stabilisci l intensità dell irraggiamento di un corpo nero alla temperatura di 00 C. 8 4 I = = W / m Ancora la legge di Stefan Boltzmann I = σ T 4 ; ( ) 9

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13 Spettroscopia Un atomo di idrogeno emette luce alla lunghezza d onda di 11.5 nm o di.5 nm quando decade allo stato fondamentale rispettivamente dal primo o dal secondo stato eccitato. Calcolare la lunghezza d onda della luce emessa quando l atomo passa dal secondo al primo stato eccitato. L energia E -1 del fotone emesso in una transizione dal secondo al primo stato eccitato è pari alla differenza fra l energia E -f del fotone emesso nella transizione dal secondo stato eccitato allo stato fondamentale e l energia E 1-f del fotone emesso nella transizione dal primo stato eccitato allo stato fondamentale: E -1 = E -f - E 1-f La relazione tra l energia E di un fotone e la sua lunghezza d onda λ si ricava dalla relazione di Planck E = hf = hc/λ, dove h è il quanto d azione di Planck, f è la frequenza e c è la velocità della luce. Sostituendo nella relazione precedente: hc hc hc = = λ 1 λ f λ1 f λ 1 λ f λ1 f Facendo il calcolo: 1/λ -1 = (1/.5-1/11.5) nm -1 da cui λ -1 = 1 / nm -1 = nm. Q? Calcola il rapporto tra la frequenza della luce emessa quando un atomo di idrogeno passa dallo stato con n = 4 a quello con n = 1 e quella emessa nel passaggio dallo stato con n = 4 a quello con n = Per l atomo di H l energia dei livelli in funzione del numero del livello è: E n = - K/ n dove K è una costante. Dal livello 4 al livello 1 il fotone emesso ha energia hν 1 = E 4 E 1 = -K/ 4 (-K/ 1 ) Dal livello 4 al livello il fotone emesso ha energia hν = E 4 E == -K/ 4 (-K/ ) Viene richiesto il rapporto fra le frequenze emesse, dunque le costanti si elidono: ν1 1/ = = 5, la frequenza tra i livelli 4 e 1 è 5 volte la frequenza fra i livelli 4 e. ν 1/16 + 1/ 4 Gare

14 Q9/OLIFIS 1987 Selezione regionale Il diagramma in figura mostra alcuni possibili livelli energetici dell atomo di mercurio, a partire dal suo stato fondamentale. Un fotone con l energia di 9 ev urta un atomo di mercurio nello stato fondamentale. Trascurando le modifiche subite dalla quantità di moto dell atomo di mercurio, si può affermare che lo stesso atomo: energia (ev) 0 1,6 3,7 5,5,4 stato fondamentale A B C D E potrà essere eccitato solamente al livello di 1,6 ev potrà essere eccitato solamente al livello di 5,5 ev potrà trovarsi ad uno qualsiasi dei livelli seguenti: 5,5 ev; 3,7 ev; 1,6 ev si troverà ancora nello stato fondamentale potrà trovarsi in un qualsiasi stato energetico intermedio tra,4 ev e 1,4 ev D. Trascurare le modifiche subite dalla quantità di moto dell atomo di mercurio equivale a supporlo in quiete sia prima che dopo l assorbimento del fotone; quindi l atomo può portarsi solo in uno stato eccitato di energia E =,4 ev + 9 ev = 1,4 ev Nessuno degli stati eccitati ha questa energia. Quindi, poiché i livelli energetici sono quantizzati, l atomo farà semplicemente un urto elastico con il fotone rimanendo nel suo stato fondamentale. (Cfr. anche uno dei problemi seguenti: Atomo che emette un fotone ). 14